第八节
关于单位分数问题

研究用单位分数的和表示一个分数问题，从方程观点上看，就是这种特殊求丢番图方程正整数解问题。首先给分数 分拆成出 n 个单位分数和方法，进而得出任何单位分数 一定能分拆成 n 个单位分数之和。另外几种不同的方法讨论了正整数1分拆成 n 个单位分数和的问题。

定理 1设整数 p ⩾1， a ₁ ⩾2，数列 a ₁ ， a ₂ ， a ₃ ，...， a _m 满足如下递推关系，

证明 考虑整数序列（1）当 n ⩾2时， a ₂ -1 ＝pa ₁ ， a ₃ -1 ＝pa ₁ a ₂ ， a ₄ -1 ＝pa ₁ a ₂ a ₃

于是递推关系， a ₄ -1 ＝pa ₁ a ₂ a ₃ ＝ pa ₁ a ₂ · a ₃ ＝（ a ₃ -1）· a ₃ ＝ a ₃ ·（ a ₃ -1），

一般地，有 a _{k＋ 1} -1 ＝a _k （ a _k -1）； k ⩾2

将分式分拆成部分分式， ＝ ＝ - ；故 ＝ -

（2）式得证。

由满足递推关系（1）确定整数序列将分数 分拆成 n 个单位分数之和。

例 1将 ， ， ， ， ， 分拆成单位分数之和

解 （1） ＝ ， p＝ 7， a ₁ ＝8由递推关系（1）确定整数 a ₁ ＝8，

故 ＝ ＋ ＋ ＋ 。

（2） ＝ ＝ ， p＝ 7， a ₁ ＝4，由递推关系（1）确定整数 a ₁ ＝4，

故 ＝ ＋ ＋ ＋

（3） 不能化成分数 形式，但可化成 ＝ ＝ ＝ ＋ 由在本例（1）中

在后面例（3）中 已分拆。于是 ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 。

故 ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ 。

于是 ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 。

（6） 有本例（2），（6）或（3），（5）合并表示成单位分数之和

也可以 ＝ ＝ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ 于是由本例（3）

例 2将 用两种形式分拆5个单位分数之和

故 ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ 。

例 3将 分拆5个单位分数之和

故 分拆为 ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ 。

定理 2单位分数 （ a ⩾2，）一定能分拆成 n 个单位分数之和

解法一 在递推关系（1）中令整数 a ₁ ⩾2， p＝ 1，我们有：

于是整数组（ a ₁ ， a ₂ ，...， a _{n- 1} ， a _n -1）为方程（3）整数解。即

将分数 分拆成单位分数之和另一方法，有：

所以，数组（ a ₁ ， a ₂ ， a ₃ ，…， a _n ）为方程（3）整数解。

于是，整数组（4），（5）为方程（3）的整数解。

例 3将 分拆成5个单位分数之和

定理 3整数1分拆成 n 个单位分数之和问题，即下面方程成立

有 ＋ ＋ … ＋ ＋ ＝1成立

是方程（6）整数解。

于是， ＋ ＋ … ＋ ＋ ＝1成立。

所以，整数组（ ， ，…， ， n ！）是方程（6）整数解。

是方程（6）的一组整数解。

于是得到整数组（7），（8），（9）是方程（6）的整数解。

所以数组（2，3，7，43，1807，541842）为（6）的一组整数解。

例 6在（8）中令 n＝ 5，计算得整数组（2，3，8，30，120）是程（6）整数解。即

例 7在整数组（9）中，令 n＝ 10，得到方程（6）的一组整数解。 yYl5VML4WtzZWHYeFwdZwqdJeFu+9TURVBqh96ri9pgHto2VD2GevTU6DztIO7eN