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利用反正切函数公式arctan
F
（
n
）
＋
arctan
F
（
n＋
1）＝arctan
，根据收缩公式：若
v
k
＝f
（
k
）
＋f
（
k＋
1），则
（-1）
k
v
k
＝（-1）
a
f
（
a
）-（-1）
n＋
1
f
（
n
＋
1），
n
⩾
a
.计算出正负相间反正切函数序列封闭形和式。再用微分法得到正负相间分式序列封闭形和式，最后给出一些正负相间反正切级数与分式级数恒等式。
命题 1设 a ， b ， c ， d 为实数，则正负相间反正切序列封闭形和式为
证明
设
F
（
n
）＝
，由反正切函数公式
故（1）式成立。
在（1）式依次令 a＝ 0； b＝ 0； d＝ 0； c＝ 0得到（2），（3），（4），（5）式。
命题 2设 a ， b ， c ， d 为实数，则正负相间分式序列封闭形和式为
证明 对（2）式，依次对 b ，微分得到（6）式，（2）式对 c ， d 微分并两端乘以-1，得到（7），（8）式。
（3）式对 a 微分，得到（9）式，（3）式对 c ， d 微分并两端乘以-1，得到（10），（11）式。
（4）式对 a ， b ，微分，得到（12），（13）式；（4）式对 c 微分，并两端乘以-1，得到（14）式。
（5）式对 a ， b ，微分，得到（15），（16）式，（5）式对 d 微分，并两端乘以-1，得到（17）式。
在（1）令 a＝ 1， b＝ 2， c＝ 2， d＝ 1；在（2）令 b＝ 2， c＝ 1， d＝ 1；在（3）令 a ＝2， c＝ 1， d＝ 1；在（4）令 a＝ 1， b＝ 1， c＝ 2；
（5）式令 a＝ 1， b＝ 1， d＝ 2，得到
例 1下列正负相间反正切序列封闭形和式成立
在（6）令 b＝ 1， c＝ 1， d＝ 0；在（7）令 b＝ 1， c＝ 1， d＝ 1；在（8）令 b＝ 1， c ＝1， d＝ 1；在（9）式令 a＝ 1， c＝ 1， d＝ 1；在（10）令 a＝ 1， c＝ 1， d＝ 0；（11）令 a＝ 1， c＝ 1， d＝ 1；在（12）令 a＝ 1， c＝ 1， d＝ 1；
在（13）令 a＝ 1， b＝ 1， c＝ 1；在（14）令 a＝ 0， b＝ 1， c＝ 1；在（15）令 a＝ 1， b＝ 1， d＝ 1；在（16）令 a＝ 1， b＝ 1， d＝ 1；
在（17）令 a＝ 1， b＝ 0， d＝ 1；得到：
例 2下列正负相间分式序列封闭形和式成立
推论 1设 a ， b ， c ， d 为实数，则正负相间反正切级数为
证明 在（1），（2），（3），（4），（5）式，取极限
依次得到（18），（19），（20），（21），（22）式。
推论 2设 a ， b ， c ， d 为实数，则正负相间分式级数和式为
依次得到（23）-（34）式。