第六节
一类分式序列和与级数封形和式

从熟知反正切三角函数关系式出发arctan F （ n ）-arctan F （ n＋ 1）＝arctan ，我们选择寻适当 F （ n ），给出计反正切函数序列封闭形和式。再用微分法得到分式序列封闭形和式，最后给出一些反正切级数与分式级数闭形和恒等式。

命题 1设 a ， b ， c ， d 为实数，则反正切序列封闭形和式为

证明 设 F （ n ）＝ ，由反正切函数公式

故（1）式成立。

在（1）式依次令 a＝ 0； b＝ 0； c＝ 0； d＝ 0；得到（2），（3），（4），（5）式。

命题 2设 a ， b ， c ， d 为实数，下列分式封闭形和式成立

证明 在（1）式两端分别依次对 a ， b ， c ， d 微分并令 A＝a ² ＋c ² ， B＝a ² ＋c ² ＋ 2 ab＋ 2 cd ，

C＝ab＋cd＋b ² ＋d ² 得到（6），（7），（8），（9）式。

例 1在（1）中令1） a＝ 1， b＝ 2， c＝ 3， d＝ 1；2） a＝ 1， b＝ 3， c＝ 3， d＝ 1；3） a＝ 2， b＝ 3， c＝ 1， d＝ 1；4） a＝ 1， b＝ 3， c＝ 2， d＝ 1。

下列反正切序列闭形和式成立

在（2），（3），（4），（5），中依次令， b＝c＝d＝ 1； a＝ 2， b＝c＝ 1； a＝ 1， c＝ 2， d＝ 1。

得到封闭形和式

例 2在命题2中令 a＝ 1， b＝ 2， c＝ 3， d＝ 1代入（6），（7），（8），（9）得到下列分式序列封闭形和式

命题 3设 a ， b ， c ， d 为实数，下列反正切级数和式成立

证明 1）在（1）中取极限 arctan ＝arctan a 得到（10）式。

2）在（10）式依次令 a＝ 0； b＝ 0； c＝ 0； d＝ 0；

得到（11），（12），（13），（14）式。

3）在（10）式，令 bc-ad＝x ， ab＋cd＝y ， a ² ＋c ² ＝1，则

命题 4设实数 a ， b ， c ， d ，下列分式级数封闭形恒等式成立

证明 在（6）中 c ≠0，

在（9）中 b ≠0，

依次得到（16），（17），（18），（19）式。在（15）式两端分别依次对 x 和 y 微分得到（20），（21）式。

例 3在（10）依次令1） a＝ 1， b＝ 2， c＝ 3， d＝ 1；2） a＝ 1， b＝ 4， c＝ 3， d＝ 2；在（11），（12），（13），（14）依次令

b＝ 2， c＝ 1， d＝ 2； a＝ 1， c＝ 1， d＝ 3；

a＝ 1， b＝ 3. d＝ 3； a＝ 2， b＝ 1， c＝ 3。反正切级数和式成立。

在（15）中依次令 x＝ 1， y＝ 1； x＝ ， y＝ 1； x＝ ， y＝ 1； x＝ 2- y＝ 1，有级数恒等式

例 4在（16），（17），（18），（19）依次令 a＝ 1， b＝ 1， c＝ 2， d＝ 0； a＝ 1， b＝ 1， c＝ 0， d＝ 2； a＝ 1， b＝ 0， c＝ 2， d＝ 1； a＝ 0， b＝ 1， c＝ 1， d＝ 2。

得到分式级数和式

例 5在（20）中令1） x＝ 1， y＝ 1；2） x＝ 2， y＝ 1；在（21）中令3） x＝ 1， y＝ 1；4） x＝ 2， y＝ 1；

则分式级数和式为 G8IT7Dr4XdaurVKg7QRX3XRJxqyGq0fpLq1UT2mxJLM37o9zwkr4PnrO6SWAIAM8