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第3章
一元一次方程

题1 已知关于x的方程 + a = x - (x -6).

(1)选择一个你喜欢的数字作为a,解这个方程.

(2)是不是对于所有的实数a,方程都有唯一的解?如果是,请说明理由;如果不是,请举出反例.

(3)当方程的解为-2 时,a的值是多少?

类型: 过程开放型

建议: 本题a的选择会对方程解的情况有所影响,学生自己选择a与后面问题相结合可以引导学生发现问题,所以让学生充分地代入不同的数字可以帮助学生生成问题.

参考答案:

(1)答案不唯一,例如:

a = 0时, =- (x -6 ),解得x = 2.

(2)不是.

整理这个方程可得 x = 1 - a ,

所以çæ x = 1 - a ,

所以(1 -| a | )x = 2(1 - a),

所以当a = 1 时,方程左右、两边为 0,等式恒成立,方程有无数解.

当a = -1 时,方程左边为 0,右边为 4,等式不成立,方程无解.

(3 )当x = -2时,原方程可化为- + a + | a | = + 1,

即| a | + a = 2.

当a > 0 时,| a | + a = 2 可化为a + a = 2,所以a = 1.

当a < 0 时,| a | + a = 2 无解.

所以当方程的解为-2 时,a = 1.

题 2

2- = 2 ×

(-1. 2)-6 = (-1. 2)× 6,

-(-1)= × (-1),

……

根据上面这些整式反应的规律,解答下列问题:

(1)上面等式反映的规律用文字语言可描述如下:存在两个实数,使得这两个实数的__等于它们的__.

(2)请你写出一个实数,使它满足下面的等式.

□ -3 = □ × 3

(3)请你再写出两个实数,使它们具有题中等式的特征.

□ -□ = □ × □

(4)符合上述特征的所有等式中,是否存在两个实数都是整数的情况?若存在,求出所有满足条件的等式;若不存在,说明理由.

类型: 策略开放型

建议: 复习课使用

参考答案:

(1)差 积

(2)-

(3)答案不唯一.

设这两个实数为x、y.可以得到x - y = xy,

所以y =

只要选择的数字满足这个等式就可以.

(4)上面的算式可变形为y = 1 - .

因为要满足x、y都是整数,所以x只能取 0 和-2.

所以当x = 0 时,y = 0;当x = -2 时,y = 2.

因此,满足两个实数都是整数的等式为 0 -0 =0 ×0;(-2)-2 = -2 ×2.

题 3 设x是实数,现在我们用{x}表示不小于x的最小整数,如{3. 2}= 4,{-2. 6}= -2,{4}= 4,{-5}= -5,….在此规定下,任一实数都能写成如下形式:x = {x} - b,其中 0≤b < 1.

(1)直接写出{x}、x、x + 1 的大小关系.

(2)根据(1)中的关系式解决下列问题.

①求满足{3x + 7}= 4 的x的取值范围.

②解方程{3. 5x -2}= 2x + .

类型: 策略开放型

建议: 复习课使用,或给学有余力的学生提高之用.

参考答案:

解:(1)x≤{x} < x + 1.

(2)①因为{3x + 7}= 4,且 3x + 7≤{3x + 7}< 3x + 7 + 1,

所以 3x + 7≤4 < 3x + 7 + 1.

解得- < x≤ -1.

②依题意得 3. 5x -2≤{3. 5x -2}< 3. 5x -2 + 1,

可得3. 5x -2≤2x + < 3. 5x -2 + 1,

解得 < x≤ ,则有:

< 2x + ,由于2x + 为整数,

所以2x + = 2或2x + = 3,解得x = 或x = .

题 4 请你根据方程 2(x + 3)+ 3x = 46 设计一道应用题.要求问题情境、内容与我们日常生活、学习相关.

类型: 结论开放型

建议: 新授课提升能力之用.爱因斯坦说提出一个问题比解决一个问题更重要.学生用数学解决实际问题就很困难,本题反其道而行之则更难.可以鼓励学生多想多思多交流.

参考答案:

答案不唯一,例如:

一支笔x元,一本笔记本比一支笔贵 3 元,买两本笔记本和 3 支笔共用了 46 元.求一本笔记本和一支笔各多少元.

题 5 有 12 名旅客要赶往 40 千米远的一个火车站去乘火车,离开车时间只有 3 小时了,他们步行速度为 4 千米/时,靠走路是来不及了,唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车,但这辆小汽车连司机在内最多能乘 5 人,汽车的速度为 60 千米/时,这 12 名旅客能赶上火车吗?

类型: 策略开放型

建议: 复习课使用,作为提高讨论问题.

参考答案:

方案 1:用汽车来回送这 12 名旅客要分 3 趟,总路程为(3 × 2 -1)× 40= 200(千米),所需的时间为200 ÷ 60 = 小时> 3 小时,因此单靠汽车来回送旅客无法让 12 名旅客全部赶上火车.

方案 2:汽车送前一趟旅客的同时,让其他旅客先步行,这样可以节省一点时间.

第一趟,设汽车来回共用了x小时,这时汽车和其他旅客的总路程为一个来回,所以4x + 60x = 40 × 2,解得x = = 1. 25(小时),此时剩下的 8 名旅客与车站的距离为40 - × 4 = 35(千米);

第二趟,设汽车来回共用了y小时,那么4y + 60y = 35 × 2,解得y= ≈1. 09(小时),此时剩下的4名旅客与车站的距离为35 - ×4 = (千米);

第三趟,汽车用了 ÷ 60≈0. 51(小时).

所以共需时间 1. 25 + 1. 09 + 0. 51 = 2. 85(小时),勉强可以赶上.

方案 3:先让汽车把 4 名旅客送到中途某处,再让这 4 名步行(此时其他8 名旅客也在步行),接着汽车回来再送 4 名旅客(剩下 4 名旅客继续步行),追上前面 4 名旅客时也让他们下车一起步行,最后回来接剩下的 4 名旅客到火车站.适当选取第一批旅客的下车地点使送最后一批旅客的汽车与前面 8 名旅客同时到达火车站.

设汽车送第一批旅客行驶x千米后让他们下车步行,此时其他旅客步行了4 × 千米,他们之间相差了 x 千米,在以后的时间里,由于步行旅客的速度一样,所以两批步行旅客之间始终相差 x 千米,而汽车要在这段距离间来回行驶两趟,每来回一趟所用时间为 x,而汽车来回两趟所用的时间恰好是第一批旅客步行(40 - x)千米所用时间,即 2 × x =

解得x =32,故所需时间为 ≈2. 53(小时),约空余28 分钟. XS3B823Wxtstm0gyXLTjWROP/zZ3UuxniMU75ZhSaxjn3DWiO8DYMUPZqfQTo9uY

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