第3章
一元一次方程

题1 已知关于x的方程 ＋ a ＝ x － （x －6）.

（1）选择一个你喜欢的数字作为a，解这个方程.

（2）是不是对于所有的实数a，方程都有唯一的解？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.

（3）当方程的解为－2 时，a的值是多少？

类型： 过程开放型

建议： 本题a的选择会对方程解的情况有所影响，学生自己选择a与后面问题相结合可以引导学生发现问题，所以让学生充分地代入不同的数字可以帮助学生生成问题.

参考答案：

（1）答案不唯一，例如：

a ＝ 0时， ＝－ （x －6 ），解得x ＝ 2.

（2）不是.

整理这个方程可得 ＋ － x ＝ 1 － a ，

所以çæ x ＝ 1 － a ，

所以（1 －｜ a ｜ ）x ＝ 2（1 － a），

所以当a ＝ 1 时，方程左右、两边为 0，等式恒成立，方程有无数解.

当a ＝ －1 时，方程左边为 0，右边为 4，等式不成立，方程无解.

（3 ）当x ＝ －2时，原方程可化为－ ＋ a ＋ ｜ a ｜ ＝ ＋ 1，

即｜ a ｜ ＋ a ＝ 2.

当a ＞ 0 时，｜ a ｜ ＋ a ＝ 2 可化为a ＋ a ＝ 2，所以a ＝ 1.

当a ＜ 0 时，｜ a ｜ ＋ a ＝ 2 无解.

所以当方程的解为－2 时，a ＝ 1.

题 2

2－ ＝ 2 × ，

（－1. 2）－6 ＝ （－1. 2）× 6，

－（－1）＝ × （－1），

……

根据上面这些整式反应的规律，解答下列问题：

（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的__等于它们的__.

（2）请你写出一个实数，使它满足下面的等式.

□ －3 ＝ □ × 3

（3）请你再写出两个实数，使它们具有题中等式的特征.

□ －□ ＝ □ × □

（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由.

类型： 策略开放型

建议： 复习课使用

参考答案：

（1）差 积

（2）－ －

（3）答案不唯一.

设这两个实数为x、y.可以得到x － y ＝ xy，

所以y ＝ ，

只要选择的数字满足这个等式就可以.

（4）上面的算式可变形为y ＝ 1 － .

因为要满足x、y都是整数，所以x只能取 0 和－2.

所以当x ＝ 0 时，y ＝ 0；当x ＝ －2 时，y ＝ 2.

因此，满足两个实数都是整数的等式为 0 －0 ＝0 ×0；（－2）－2 ＝ －2 ×2.

题 3 设x是实数，现在我们用｛x｝表示不小于x的最小整数，如｛3. 2｝＝ 4，｛－2. 6｝＝ －2，｛4｝＝ 4，｛－5｝＝ －5，….在此规定下，任一实数都能写成如下形式：x ＝ ｛x｝ － b，其中 0≤b ＜ 1.

（1）直接写出｛x｝、x、x ＋ 1 的大小关系.

（2）根据（1）中的关系式解决下列问题.

①求满足｛3x ＋ 7｝＝ 4 的x的取值范围.

②解方程｛3. 5x －2｝＝ 2x ＋ .

类型： 策略开放型

建议： 复习课使用，或给学有余力的学生提高之用.

参考答案：

解：（1）x≤｛x｝ ＜ x ＋ 1.

（2）①因为｛3x ＋ 7｝＝ 4，且 3x ＋ 7≤｛3x ＋ 7｝＜ 3x ＋ 7 ＋ 1，

所以 3x ＋ 7≤4 ＜ 3x ＋ 7 ＋ 1.

解得－ ＜ x≤ －1.

②依题意得 3. 5x －2≤｛3. 5x －2｝＜ 3. 5x －2 ＋ 1，

可得3. 5x －2≤2x ＋ ＜ 3. 5x －2 ＋ 1，

解得 ＜ x≤ ，则有：

＜ 2x ＋ ≤ ，由于2x ＋ 为整数，

所以2x ＋ ＝ 2或2x ＋ ＝ 3，解得x ＝ 或x ＝ .

题 4 请你根据方程 2（x ＋ 3）＋ 3x ＝ 46 设计一道应用题.要求问题情境、内容与我们日常生活、学习相关.

类型： 结论开放型

建议： 新授课提升能力之用.爱因斯坦说提出一个问题比解决一个问题更重要.学生用数学解决实际问题就很困难，本题反其道而行之则更难.可以鼓励学生多想多思多交流.

参考答案：

答案不唯一，例如：

一支笔x元，一本笔记本比一支笔贵 3 元，买两本笔记本和 3 支笔共用了 46 元.求一本笔记本和一支笔各多少元.

题 5 有 12 名旅客要赶往 40 千米远的一个火车站去乘火车，离开车时间只有 3 小时了，他们步行速度为 4 千米／时，靠走路是来不及了，唯一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，但这辆小汽车连司机在内最多能乘 5 人，汽车的速度为 60 千米／时，这 12 名旅客能赶上火车吗？

类型： 策略开放型

建议： 复习课使用，作为提高讨论问题.

参考答案：

方案 1：用汽车来回送这 12 名旅客要分 3 趟，总路程为（3 × 2 －1）× 40＝ 200（千米），所需的时间为200 ÷ 60 ＝ 小时＞ 3 小时，因此单靠汽车来回送旅客无法让 12 名旅客全部赶上火车.

方案 2：汽车送前一趟旅客的同时，让其他旅客先步行，这样可以节省一点时间.

第一趟，设汽车来回共用了x小时，这时汽车和其他旅客的总路程为一个来回，所以4x ＋ 60x ＝ 40 × 2，解得x ＝ ＝ 1. 25（小时），此时剩下的 8 名旅客与车站的距离为40 － × 4 ＝ 35（千米）；

第二趟，设汽车来回共用了y小时，那么4y ＋ 60y ＝ 35 × 2，解得y＝ ≈1. 09（小时），此时剩下的4名旅客与车站的距离为35 － ×4 ＝ （千米）；

第三趟，汽车用了 ÷ 60≈0. 51（小时）.

所以共需时间 1. 25 ＋ 1. 09 ＋ 0. 51 ＝ 2. 85（小时），勉强可以赶上.

方案 3：先让汽车把 4 名旅客送到中途某处，再让这 4 名步行（此时其他8 名旅客也在步行），接着汽车回来再送 4 名旅客（剩下 4 名旅客继续步行），追上前面 4 名旅客时也让他们下车一起步行，最后回来接剩下的 4 名旅客到火车站.适当选取第一批旅客的下车地点使送最后一批旅客的汽车与前面 8 名旅客同时到达火车站.

设汽车送第一批旅客行驶x千米后让他们下车步行，此时其他旅客步行了4 × ＝ 千米，他们之间相差了 x 千米，在以后的时间里，由于步行旅客的速度一样，所以两批步行旅客之间始终相差 x 千米，而汽车要在这段距离间来回行驶两趟，每来回一趟所用时间为 ＋ ＝ x，而汽车来回两趟所用的时间恰好是第一批旅客步行（40 － x）千米所用时间，即 2 × x ＝ ，

解得x ＝32，故所需时间为 ＋ ≈2. 53（小时），约空余28 分钟. +CjtzyK02NYeEsTDUpp4Zd2QttO3S1AsiJFXBtZHqeogSId6CVBhBee8XauzrcSv