第2章
整式的加减

题 1 已知A ＝ 2x ² －3xy ² －1，B ＝ 3x ² －2xy ² ，C ＝ 5xy ² .

（1）当x ＝ －2 时，求A ＋ B ＋ C的值.

（2）若x，y为整数，试取出一组x，y的值，使得A ＋ B － C的值为偶数.

类型： 结论开放型

建议： 新授课使用.

参考答案：

（1）A ＋ B ＋ C ＝ 5x ² －1，当x ＝ －2 时，A ＋ B ＋ C ＝ 19.

（2）A ＋ B － C ＝ 5x ² －10xy ² －1.

因为 10xy ² 是偶数，1 是奇数，结果要想是偶数，x必须为奇数，y可以取任意实数.

答案不唯一，例如：x ＝ 3，y ＝ 1……

题 2 已知代数式M ＝ x ² ＋ 2y ² ＋ z ² －2xy －8y ＋ 2y ＋ 17.

（1）当M ＝ 0 时，求x、y、z的值.

（2）若x、y、z都是非负整数，请你探究代数式M ＋ x ² 的最小值.并写出当M ＋ x ² 取最小值时，x、y、z的值.

类型： 策略开放型

建议： 可在本章结束的复习课使用，也可给有能力的学生留作思考题.

参考答案：

（1）当M ＝ 0 时，即x ² ＋ 2y ² ＋ z ² －2xy －8y ＋ 2z ＋ 17 ＝ 0，

∴ x ² －2xy ＋ y ² ＋ y ² －8y ＋ 16 ＋ z ² ＋ 2z ＋ 1 ＝ 0，

∴ （x － y） ² ＋ （y －4） ² ＋ （z ＋ 1） ² ＝ 0，

∴ z ＝ －1，y ＝ 4，x ＝ 4.

（2）最小值是 7.

当x ＝ 1，y ＝ 2，z ＝ 0；x ＝ 1，y ＝ 3，z ＝ 0 或x ＝ 2，y ＝ 3，z ＝ 0 时得到.

策略点拨一：由第一问变形后的形式，继续进行思考，可得到：

M ＋ x ² ＝ （x － y） ² ＋ （y －4） ² ＋ （z ＋ 1） ² ＋ x ² .

根据以往的经验，这个算式的最小值应该为 0.但是，在第二问中将x，y，z这三个数字限定为了非负整数，那是不是让x，y，z都取最小的非负整数就可以解决问题呢？显然是不是的.字母z很“独立”，是可以取 0 的，而x，y这两个数字在算式里却互相制约.也就是要找到这样的x，y，在x尽可能小的情况下，让x与y的差尽量小，y与 4 的差尽量小.

策略点拨二：由于x，y，z都是非负整数，要使M ＋ x ² ＝ （ x － y） ² ＋ （ y －4） ² ＋ （z ＋ 1） ² ＋ x ² 的值最小，z只能是 0.于是可以考虑把z ＝ 0 代入，那么就得到：

由于x，y是非负整数，那么只需在 附近选取y的值，然后找到使（ x － y ）最小的x的值.

本题解题方法很多，可鼓励学生多多创造，本书提供的两种策略仅供参考.

题3 计算下列两组算式：

［（－5）＋ 3］ ² 与（－5） ² ＋ 2 × （－5）× 3 ＋ 3 ² .

［8 ＋ （－4）］ ² 与 8 ² ＋ 2 × 8 × （－4）＋ （－4） ² .

（1）从计算的结果你能发现每组中两个算式的大小有什么关系吗？

（2）你能用自己的语言表述这个规律吗？

（3）把你总结的规律用于下面的计算：

① .

②1999 ² .

类型： 综合开放型

建议： 复习课使用，课上探究.

参考答案：

（1）相等.

（2）两个数和的平方等于这两个数的平方和与这两个数的积的 2 倍的和.

即（a ＋ b） ² ＝ a ² ＋ 2ab ＋ b ² .

（3）①原式＝ ＝ 1.

②1999 ² ＝ （2000 －1） ² ＝ 2000 ² －2 × 2000 × 1 ＋ 1 ＝ 3996001.

题 4 阅读图 2 －1，并回答下列问题：

（1）若A为 785，则E ＝______.

（2）按框图流程，取不同的三位数A，所得E的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E的所有可能的值.

（3）将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为 0 的三位数A，它的百位数字减去个位数字所得的差大于 2”，其余的步骤不变，请猜想E的值是否为定值，并对你猜想的结论加以证明.

类型： 策略开放型

建议： 本题有较强的思维力度，体现了中学用字母表示数参与运算和分析问题的思维方式，同时渗透了分类讨论与归纳的方法，对提升学生的数学素养很有帮助.

参考答案：

（1）E ＝ 1089.

（2）E的值都相同.

理由如下：

设A ＝ 100a ＋ 10b ＋ c，且a － c ＝ 2，则B ＝ 100c ＋ 10b ＋ a，

∴ C ＝ A － B ＝ （100a ＋ 10b ＋ c） －（100c ＋ 10b ＋ a）

＝ 99a －99c ＝ 99（a － c） ＝ 99 × 2 ＝ 198，

∴ D ＝ 891，∴ E ＝ C ＋ D ＝ 198 ＋ 891 ＝ 1089.

（3）E ＝ 1089.

证明方法 1：设A ＝ 100a ＋ 10b ＋ c，且a － c ＞ 2，

则B ＝ 100c ＋ 10b ＋ a，

∴ C ＝ A － B ＝ （100a ＋ 10b ＋ c） －（100c ＋ 10b ＋ a）

＝ 100（a － c） ＋ （c － a）

＝ 100（a － c －1）＋ 10 × 9 ＋ （10 ＋ c － a），

∴ D ＝ 100（10 ＋ c － a） ＋ 10 × 9 ＋ （a － c －1），

∴ E ＝ C ＋ D

＝ ［100（a － c －1）＋ 10 × 9 ＋ （10 ＋ c － a）］＋

［100（10 ＋ c － a） ＋ 10 × 9 ＋ （a － c －1）］＝ 1089.

证明方法 2：设A ＝ 100a ＋ 10b ＋ c，且a － c ＞ 2，

则B ＝ 100c ＋ 10b ＋ a，

∴ C ＝ A － B ＝ （100a ＋ 10b ＋ c） －（100c ＋ 10b ＋ a） ＝ 99（a － c）.

①若a － c ＝ 3，则C ＝ 297，D ＝ 792，∴ E ＝ C ＋ D ＝ 297 ＋ 792 ＝ 1089；

②若a － c ＝ 4，则C ＝ 396，D ＝ 693，∴ E ＝ C ＋ D ＝ 396 ＋ 693 ＝ 1089；

③若a － c ＝ 5，则C ＝ 495，D ＝ 594，∴ E ＝ C ＋ D ＝ 495 ＋ 594 ＝ 1089；

④若a － c ＝ 6，则C ＝ 594，D ＝ 495，∴ E ＝ C ＋ D ＝ 594 ＋ 495 ＝ 1089；

⑤若a － c ＝ 7，则C ＝ 693，D ＝ 396，∴ E ＝ C ＋ D ＝ 693 ＋ 396 ＝ 1089；

⑥若a － c ＝ 8，则C ＝ 792，D ＝ 297，∴ E ＝ C ＋ D ＝ 792 ＋ 297 ＝ 1089.

题 5 将一个长、宽、高分别为a，b，c（a ＞ b ＞ c）的箱子进行捆扎，至少要绕箱四圈.

（1）请在图 2 －2 中画出你的方案.

例：

（2）如何捆扎又结实，又用绳最少？

类型： 过程开放型

建议： 本题适合在列代数式一节后进行练习.首先，学生可以先进行动手操作，然后根据自己的操作结果列出代数式并进行比较.然后，学生可以互相交流，进行捆扎方法的汇总，归纳总结出需要绳子最短的方案.

参考答案：

如图，这样捆扎最省绳.需用绳 8c ＋ 6b ＋ 2a.

在一个面上捆扎四圈是不行的，因为不够结实. lHWvkGksfrDJAyiwl82hfPmLHkNmH7XWXMg1G0SBaJsVQZEmEayqcg3OvFG6Owaj