第1章
有理数

题 1 现有四个有理数 3，4，－6，10.将这四个数（每个数用且只用一次）进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于 24，其三种本质不同的运算式如下：

（1）______（2）______（3）______

另有四个数 3，－5，7，－13，可通过运算式（4）_________________使其结果等于 24.

类型： 结论开放型

建议： 1.此题是生活中常见的游戏，容易引发学生的兴趣.加入负数后，又正好加强了学生对运算符号的训练.

2.在讲完有理数加、减、乘、除运算后应用此题，建议可采取竞赛形式，调动学生积极性.

参考答案： 答案不唯一.

例如：（1）3 × （－6 ＋ 4 ＋ 10） （2）4 －［10 × （－6）÷ 3］

（3）3 × （10 －4）－（－6） （4）［－13 × （－5）＋ 7］÷ 3

题 2 在 1，2，…，2002 前面任意添上正号和负号，求其非负代数和的最小值.

类型： 策略开放型

建议： 1.此题不可能一一尝试再做解答，应从奇数、偶数的性质入手，思维力度大是本题的特点；

2.此题可用于本章复习提高使用.

参考答案：

因a ＋ b与a － b的奇偶性相同，故所求代数和的奇偶性与

的奇偶性相同，即为奇数.因此所求非负代数和不会小于 1.

又因

（－1 ＋ 2）＋ （3 －4 －5 ＋ 6）＋ （7 －8 －9 ＋ 10）＋ （11 －12 －13 ＋ 14）＋ …＋ （1999 －2000 －2001 ＋ 2002）＝ 1，

所以所求非负代数和的最小值为 1.

题3 若 ， ， ，则（）

A. a ＜ b ＜ c B. c ＜ b ＜ a C. c ＜ a ＜ b D. b ＜ a ＜ c

类型： 策略开放型

建议： 1.本题方法巧妙，思维力度强.

2.可作为本章讲完后复习提高使用.

参考答案：

由于 ， ， ，

又 ，

所以 ，

即a ＋ 1 ＞ b ＋ 1 ＞ c ＋ 1，

因此有a ＞ b ＞ c.故选B.

题 4 如果a ²⁰⁰³ ＋ b ²⁰⁰³ ＝ 0，那么（）.

A. （a ＋ b） ²⁰⁰³ ＝ 0 B. （a － b） ²⁰⁰³ ＝ 0

C. （a × b） ²⁰⁰³ ＝ 0 D. （｜ a ｜ ＋ ｜ b ｜ ） ²⁰⁰³ ＝ 0

类型： 策略开放型

建议： 1.本题综合应用了有理数一章中负数的奇次方，互为相反数的两个数和为 0，零指数幂等概念，考查对基本概念的理解应用.

2.可作为本章讲完后的提高使用.

参考答案：

由a ²⁰⁰³ ＋ b ²⁰⁰³ ＝ 0 得a ²⁰⁰³ ＝ － b ²⁰⁰³ ＝ （－ b） ²⁰⁰³ ，

又因为 2003 是奇数，

所以a ＝ － b，即a ＋ b ＝ 0，

于是有（a ＋ b） ²⁰⁰³ ＝ 0.故选A.

题 5 有如下三个结论：

甲：a、b、c中至少有两个互为相反数，则a ＋ b ＋ c ＝ 0.

乙：a、b、c中至少有两个互为相反数，则（ a ＋ b） ² ＋ （ b ＋ c） ² ＋ （ c － a） ² ＝ 0.

丙：a、b、c中至少有两个互为相反数，则（a ＋ b）（b ＋ c）（c ＋ a） ＝ 0.

其中正确结论的个数为（）.

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

类型： 结论开放型

建议： 讲完相反数概念后提高使用.

参考答案：

比如令a ＝ 5，b ＝ －5，c ＝ 3.

5，－5，3 中满足“至少有两个互为相反数”，但 5 ＋ （－5）＋ 3 ＝ 3≠0，可知甲不真；

［5 ＋ （－5）］ ² ＋ （－5 ＋ 3） ² ＋ （3 －5） ² ＝ 8≠0，可知乙不真；

a、b、c中至少有两个互为相反数，比如a、b互为相反数，即a ＋ b ＝ 0，则有（a ＋ b）（b ＋ c）（c ＋ a） ＝ 0，可知丙真.

故选B.

题 6 方程｜ x －2 ｜ ＋ ｜ x ＋ 3 ｜ ＝ 7 的解的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

类型： 策略开放型

建议： 1.本题的亮点在于运用数形结合的思想解决问题.

2.讲完绝对值概念后提高使用.

参考答案： 由绝对值的几何意义知，到点A（2）和点B（ －3）的距离之和等于 7 的点有两个，即点C（ －4）和点D（3），所以原方程的解为x ＝ －4 或x ＝ 3，故选B.

题 7 定义新运算：对于任何有理数a、b，都有 ，等号的右边是通常的乘法、除法和加法.

（1）求 的值.

（2）在数轴上表示出 .

（3）当 运算次数不断增加时， 的最小值是什么？说明理由.

类型： 综合开放型

建议： 1.在有理数的认识知识点的学习中使用，作为认识有理数后的综合能力提升.

2.该题目用来培养学生适应新运算的能力，巩固有理数运算和数轴知识，同时培养学生归纳、猜想和抽象能力，同时为学习极限打下基础.

参考答案：

（1） .

（2） .

数轴上表示如下

（3） ， ， ，….

当运算的次数增加时，结果中的分数部分趋向于零，结果最小为 2. WhdDjF7JcN5gh4URtj5zVrz66laxQf23bIQYOznjGL6Z0NklxaCTEVSIgkn9lWP1