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本文将证明从二次系统的内含焦点的只有一个无限远高次奇点的无限大分界线环可以分支出两个极限环，或分支出一个二重极限环．
文［1］曾研究过以下二次系统的Poincare分支．
易知系统（1） μ ＝ 0 有通积分
当 0 ＜ h ＜ 1 时，（2）是绕 0（0，0）的一族闭曲线；当h→ ＋ 0 时，（2）成为一条抛物线2 y ＋ 1- x 2 ＝ 0；当h→-0 时，（2）成为一个孤立点 0（0，0）．
系统（1） μ ＝ 0 不是Hamilton系统，但是如果在系统（1） μ 的右边同乘以 1 ／（1＋ y） 3 ，变成了以下形式：
则系统（3） μ ＝ 0 就变成了Hamilton系统． Hamilton函数为（2）．现在我们可以根据文［2］考虑以下函数：
其中D表示闭曲线（2）（0 ＜ h ＜ 1）所围的区域，计算A（ h ）得
其中
这里
引理 1
证 先计算（5）式中的 I n ．设 1 ＋ y ＝ z ，则
其中
则
分别计算 I 2 ， I 3 ， I 4 得
所以
证毕．
如设21 （ γ ＋ δ ）＝ γ′ （6）式又可改写成以下形式
根据文献［2］，我们讨论函数A（ h ）在区间 0 ＜ h ＜ 1 内零点的个数，也即讨论函数 ϕ （ h ）在区间 0 ＜ h ＜ 1 内零点的个数．
任取 h 1 ， h 2 ，0 ＜ h 1 ＜ h 2 ＜ 1，使 ϕ （ h 1 ）＝ 0， ϕ （ h 2 ）＝ 0，即
因方程组（8）中关于未知数 α ， β 的系数行列式 Δ ＝ h 1 － h 2 ＜ 0 所以在方程组（8）中，可以解出 α ， β ：
定理 1 对任意给定的 h 1 ， h 2 ：0 ＜ h 1 ＜ h 2 ＜ 1，如果系统的系统（1） μ 满足以下条件：
则当 0 ＜ ｜ μ ｜≪1 时，在原点外围存在两个极限环，它们分别位于两条闭曲线：
的充分小邻域内．
证 根据前段讨论可知，系统（1） μ 当条件（9）成立时， A （ h ）在 0 ＜ h ＜ 1 内有两个零点 h ＝ h 1 和 h ＝ h 2 ．而条件（10）是条件（9）的等阶条件．又
所以根据Poincar e ′分支理论 ［2］ ，可知本定理 1 的结论成立，证毕．
定理 2 系统（1） μ 的Poincar e ′分支至多只能分支出两个极限环．
证 任意给定 h 1 ， h 2 ， h 3 ：0 ＜ h 1 ＜ h 2 ＜ h 3 ＜ 1，令 φ （ h i ） ＝ 0， i ＝ 1，2，3，也即
此方程组（12）关于未知数 α ， β ， γ′ 的系数行列式
所以方程组（12）只可能有零解 α ＝ 0， β ＝ 0， γ′ ＝ 0，也就是说函数 ϕ （ h ）也即函数 A （ h ）在 0 ＜ h ＜ 1 内不可能存在三个零点，否则 A （ h ） ＝ 0．证毕．
其实如果把函数
ϕ
（
h
）看作关于
的二次多项式，则
ϕ
（
h
）在 0 ＜
h
＜ 1 上至多只有两个零点是显然的，也即定理 2 的结论是显然成立的．
如果在定理 1 的基础上令 h 1 ＝ h 2 ＝ h 0 （0 ＜ h 1 ＜ 1）系统（1） μ 将有二重极限环出现，有以下定理．
定理 3 对任意给定的 h 0 ：0 ＜ h 0 ＜ 1，系统的（1） μ 系数如满足以下条件：
则当 0 ＜ ｜ μ ｜≪1 时，原点外围存在二重极限环，它位于闭曲线（2y ＋ 1- x 2 ）／（1 ＋ y） 2 ＝ h 2 的充分小邻域内．
证 令 ϕ （ h 0 ）＝ 0 ．ϕ′ （ h 0 ）＝ 0，也即
显然从方程组（14）中可解出
它与条件（13）等价．注意到
ϕ″
（
h
0
）＝-
γ′
≠0，所以当条件（13）成立时，
A
（
h
）在 0 ＜
h
＜ 1 内有一个二重根
h
＝
h
0
．根据
分支理论［2］可知本定理 3的结论成立．证毕．
本文以上所得的结果与文［1］相比有两个优点：第一．本文先化可积系统（1） μ ＝ 0为Hamilton系统（3） μ ＝ 0 ，避开了求可积系统（1） μ ＝ 0的参数解的过程，使计算过程大大简化．第二，本文以上结论中的极限环位置具有任意性．正是这种任意性，可以用来讨论重环，还可以用来研究以无限大分界线环分支出极限环的个数问题．
如在定理 1 的基础上令 h 1 → ＋ 1 则条件（10）变成
于是有以下推论：
推论 1 对任意给定的 h 2 ：0 ＜ h 2 ＜ 1 如果（1） μ 的系统满足条件（15），则当 0 ＜｜ μ ｜≪1，原点外围存在一个极限环和一个无限大分界线环．
证 极限环的存在性是显然的，其证略．再证无限大分界线环的存在性，用反证法．如不然，则在条件（15）下，系统（1） μ 当 0 ＜ ｜ μ ｜ ≪1 时是结构稳定系统．当 0 ＜ h 1 ≪1 时，在满足条件（15）的系统（1） μ 的右端分别加上微扰项：
和
系统（1） μ 就变成了满足条件（10）的系统．根据定理 1，在原点外围将出现一个充分大的极限环．这与原系统是结构稳定的条件相矛盾．证毕．
如再在推论 1 的基础上令 h 2 → ＋ 0 则条件（15）又变成了
推论 2 如果系统（1） μ 的系统满足条件则当 0 ＜ ｜ μ ｜≪1 时，原点外围只存在一个无限大分界线环．
证明类似于推论 1，不重复．
我们可以在满足推论 2 条件的系统（1） μ 的基础上，举出一个从无限大分界线环分支出两个极限环的例子，例如考虑满足条件（16）的系统
根据推论 2，此系统当 0 ＜ ｜ μ ｜≪1 时，在原点外围有一个无限大分界线环，在系统（17）右端分别加上 0 ＜ h 1 ≪ h 2 ≪1 是的微扰项：
此系统就变成了
根据定理 1 可知当 0 ＜ ｜ μ ｜≪1 时，此系统在原点外围出现两个充分大的极限环，它们都是经微扰项系统（17）后，从无限大分界线环跳出来的．
这样，我们首次举出了内含焦点的无限大分界线环分支出两个极限环的二次系统的例子，而且写出了系统的具体形状．
更有趣的是，我们还可以在满足推论 2 条件的系统（17）的基础上微扰系数，使得从无限大分界线环直接跳出一个二重极限环．例如，我们在系统（17）右端分别加上当 0 ＜ h 0 ≪1 时的微扰项．
变成
根据定理 3 可知，当 0 ＜ ｜ μ ≪1 ｜时，此系统在原点外围出现一个充分大的二重极限环，它是系统（17）经微扰系数后，从无限大分界线跳出来的．
致谢：作者对陈孝秋同志曾指出本文初稿中计算上的问题，并给予指正表示感谢！
参考文献
［1］陈孝秋．一类二次系统存在 Poincare 分支的条件，汕头大学学报，1987，2 （1 ）：12-16．
［2］叶彦谦等．极限环论．上海：上海科学技术出版社，1984，83-88．
Abstract ： In this paper we use the Poincare bifurcation theory to prove that there may be just one double limit cycle or just two single limit cycles jumping out of the periodic cycle region in a quadratic system， and that there may be just one double limit cycle or just two single limit cycles jumping from an infinite separatrix cycle with only one infinite critical point in a quadratic system． And we give respective specific examples for them．