一些具有常收获率和常投放率的三种群Volterra模型的相图分析
The Phase Portrait Analysis of Three Species Volterra Model with The Rates of Constant Harvest and Constant Invest

摘 要 ： 本文对具有某些代数曲面解的具有常收获率和常投放率的三种群 Volterra 模型在 R ³ ＋ 内的相图进行了分析 ， 并举出了一些具体例子 ．

关键词 ： 三种群 Volterra 模型 ， 收获率 ， 投放率 ， 相图

三维系统的相图要比二维系统的相图复杂得多，对于二维系统相图的分析虽然也不是太容易，但其已有的成果可以说已不胜枚举．而对于三维系统的相图分析却很少见．

其主要原因是难度太大，对于一些实际问题的具体三维系统模型，在 （第一卦限）内极限环的存在性、唯一性，或平衡点的稳定性全局稳定性等，虽然也有过不少结果．例如极限环存在性方面的结果如文〔1，2〕等，平衡点稳定性，或全局稳定的如文〔3，4〕等，但是在 轨线的分布与走向状况却知之甚少，而 内轨线分布和走向恰恰是解决实际问题时所最需要的．比如对给的初始点，那些变元最终走向灭绝，那些变元始终保持存在，且将稳定在什么位置上，这些都正是实际所最需要加以解决的问题．

文〔5〕曾证明过系统： ＝ x （1- x － αy - βNz ） ＋ ε ，

＝ y （1 ＋ βx - y － az ） ＋ ε ， ＝ z （1- αx - βy - z ） ＋ ε

在满足一定条件时存在极限环，但极限环的可能形状，区域 R ³ ＋内轨线的可能分布和走向方面仍一无所知．本文将考虑以下系统

并试图探索此类系统在 内轨线可能的分布和走向．当然对一般情况下的系统（1），要较全面地解决此问题难度很大，简直无法下手．所以现在我们只研究当系统（1）具有某些代数曲面解时的特殊情形．因为这时我们就有可能将此三维系统转化为二维系统来进行研究．尽管对这类特殊的系统（1）轨线的研究结果不能代表一般的系统（1），但至少可以知道系统（1）的轨线可以出现何种类型的拓扑结构．也可以为进一步对一般的系统（1）的研究提供线索和信息．

我们有以下定理：

定理 1 系统（1）具有平面解 F （ x ， y ， z ） ＝ x ＋ y ＋ z －1 ＝ 0 的充要条件是此系统可表示成以下形式：

这里 A ， B ， C ， b ₁ ， a ₃ ， c ₂ 均为任意常数， D ＝ ε ₁ ＋ ε ₂ ＋ ε ₃ ．

证 设系统（1）具有平面解 F （ x ， y ， z ） ＝ x ＋ y ＋ z －1 ＝ 0，则对系统（1）有

即

比较系数得：

代入系统（1）即得系统（2）．条件的充分性证毕．条件的必要性是显然的．证毕．

我们假设系统（2）的三种群都具有正出生率，不妨都设为 1，即设 D － A ＝ 1， D － B ＝ 1， D － C ＝ 1，则系统（2）变成以下形式：

因三种群的密谋制约项必为负，所以可设 D －1 ＝- α （ α ＞ 0）．并记 b ₁ ＝- γ ， c ₂ ＝- δ ， α ₃ ＝- β ，于是此系统又可写成：

因为

系统（3）有初积分为：

其中 C 是任意常数．

引理 1 系统（3）在第一卦限 是有界系统．

证 因 （ x ＋ y ＋ z － N ） ＝-（ x ＋ y ＋ z －1）〔 α （ x ＋ y ＋ z －1）＋ （2 α －1）〕，

所以

当 N 充分大时 （ x ＋ y ＋ z － N ） x ＋ y ＋ z ＝ N ＜ 0，证毕．

引理 2 系统（3）

当0 ＜ α ＜ 时， （ x ＋ y ＋ z ） ＝- ， （ x ＋ y ＋ z ） ＝ 1，

当 ≤ α ＜ 1 时， （ x ＋ y ＋ z ） ＝ 1， （ x ＋ y ＋ z ） ＝- ，

当 α ＞ 1 时， （ x ＋ y ＋ z ） ＝ 1．

证明略．

引理 2 说明系统（3）有两个平行面解，即平面解Ⅰ： x ＋ y ＋ z ＝ 1，和平面解Ⅱ： x ＋ y ＋ z ＋ ＝ 0，当0 ＜ α ＜ 时，Ⅰ是负向不变集；Ⅱ是正向不变集，当 ＜ α ＜1时，则反之．当 α ＞ 1时Ⅰ是正向不变集．当 α ＝ 时，Ⅰ与Ⅱ重合，这时面向原点的一侧属负向不变集，背向原点的一侧属正向不变集．

对系统（3）设 x ＝ 1- y － x 得

这是关于 y ， z 均具有常收获或常投放的Volterra系统．如对系统（3）作变换 x ＝- － y － z 得

这也是关于 y ， z 均具常收获或常投放的Volterra系统．

如果我们能得出系统（4）和（5）在平面（ y ， z ）上第一象限内的相图，那么根据引理 2，我们就不难得知系统（3）在 内轨线分布和走向状况．二维系统（4）和（5）是可以存在极限环的，从而可知三维系统（3）也是可以存在极限环的．但是仅靠定性的方法要对一般的系统（4）和（5）给出它们丰在极限环的精确条件，难度是极大的，如果要进一步研究系统（4）和（5）的在第一象限内各种可能的轨线的拓朴结构，难度更大．由于我们现在不想纠缠在对一般二维系统（4）与（5）的冗长的讨论上，所以本文只想举一些具体的数字系统的例子来说明三维系统（3）在 内可能出现的轨线分布和走向．这对进一步揭示系统（3）的轨线结构是有益的．

例 1令 α ＝ 2， β ＝ 2， δ ＝-1， γ ＝-6， ε ₁ ＝ ε _{3 ＝ 0，} 这时系统（3）形为

系统（6）中的种群 x ， y ， z 之间的关系如图 1 所示，其中对 x 有常投放，对 y 有常收获．系统（6）通过变换 x ＝ 1- y － z 得二维系统（4）形如

系统（7）在第一象限有唯一奇点 A （ ， ），它位于区域 D ：｛（ y ， z ） ｜ y ＞ 0， z ＞0， y ＋ z ＜ 1｝内．且易验知 A 为系统（7）的一阶不稳定细焦点．系统（7）在第一象限内的相图如图2 所示．因 α ＞ 1，从引理2 知系统（6）在 的轨线当 t →∞时均趋向于平面解 x ＋ y ＋ z －1 ＝ 0，所以系统（6）在 内轨线的分布和走向大致如图 3所示．

如在系统（6）的基础上令 ε ₂ 减小，即令 α ＝ 2， β ＝ 2， δ ＝-1， γ ＝-6， ε ₂ ＝ － Δε ₂ （0 ＜ Δε ₂ ＜ 1）则系统（6）和系统（7）分别变成

和

由于这时系统（7）′在第一象限的唯一奇点 A （ ， ）变成稳定粗焦点，所以 A 外围出现了一个不稳定极限环．其相图变成图 4 所示．从而系统（6）′在 也出现了唯一不稳定极限环，它位于平面解 x ＋ y ＋ z －1 ＝ 0 上．如图 5 所示．

注 1 在系统（7）′和（6）′中，当 0 ＜ Δε ₂ ＜ 1 时极限环存在（唯一），不必一定限制 Δε ₂ 为充分小，实际上当 Δε ₂ 增大到 时，系统（7）′在第一象限将全局稳定于点 A （ ， ）．所以在间向0＜ Δε ₂ ＜ 必存在使得系统（7）′在 A 外围存在弓形分界线环的值．由于系统（7）′对 Δε ₂ 不构成旋转向量场，所以这个值不是唯一的．如设其中最小的值为 Δε ₂ ，则当 0 ＜ Δε ₂ ＜ Δε ₂ 时，系统（7）′必存在（唯一）不稳定极限环，从而系统（6）′也存在（唯一）不稳定极限环．

注 2 系统（6）′当 0 ＜ Δε ₂ ＜ Δε ₂ 时的不稳定极限环位于平面 x ＋ y ＋ z －1 ＝ 0 上完全有可能与图 5 中的线段 RQ 相交，也即沿某一轨线，当 t 到达某一有限时刻，种群 x 就灭绝了，但后又复生了，这不足为奇，因为 x 具有常投放率．

注 3 系统（6）′当 Δε ₂ 减小时，种群 x ， y ， z 不能共存，当 t 到达某有限时刻， y 必灭绝，只剩下 x 和 z ，而当 Δε ₂ 增大时， 内将出现稳定区域，即出现 x ， y ， z 共存的区域．当 Δε ₂ 增大到 时， 内全局稳定于点 ．

例 2令 α ＝ ， δ ＝ ， β ＝ ， γ ＝-8， ε ₂ ＝ ， ε ₂ ＝ 0，这时系统（3）形为

系统（8）中的种群 x ， y ， z 之间的关系如图 6 所示，对 x 有常设放，对 y 有常收获．系统（8）通过变换 x ＝ 1- y － z 所得系统（4）形为

系统（9）在第一象限有唯一奇点 A （ ， ），它位于区域 D ：｛（ y ， z ） ｜ y ＞ 0， z ＞0 y ＋ z ＜ 1｝内， y 轴上有奇点 B （ ，0）＝ B （0.916，0）和 C （ ，0）＝ C （0，112，0） A 为鞍点， B 为稳定结点， C 为不稳定结点．系统（9）在第一象限的相图如图 7 所示．

系统（8）通过变换 x ＝ － y － z 所得系统（5）形为

系统（10）全平面只有唯一奇点 A （ ，－ ），在第一象限相图如图 8 所示．

因 a ＝ ＜ 1，所以由引理 1 可知系统（8）的平面 x ＋ y ＋ z －1 ＝ 0 是正向不变集，平面 x ＋ y ＋ z － ＝ 0是负向不变集．所以系统（8）在 的相图如图 9 所示．在 内，平面I： x ＋ y ＋ z ＝ 1 上侧轨线均走向平面I；在平面I和Ⅱ： x ＋ y ＋ z ＝ 之间，轨线均远离Ⅱ而走向Ⅰ；在平面Ⅱ下侧轨线均远离Ⅱ．

注 4 系统（8）中种群 x ， y ， z 不能共存，根据初始点（ x ₀ ， y ₀ ， z ₀ ）所在的位置，有以下几种不同的结果：

1）如初始点（ x ₀ ， y ₀ ， z ₀ ）位于平面Ⅱ的上侧时有两种可能性：一种是当 t → ＋ ∞时， z 灭绝，而 x 和 y 的数量稳定在（0.084，0.916）；另一种是当 t 到达有限时刻 y 将灭绝而 x ， z 仍存在着．例如当0 ＜ δ ≪1时初始点取在（ ＋ δ ）时， y 必当 t 于有限时刻就灭绝， x ， z 存在；初始点取在（ － δ ）时，当 t →∞时， z 灭绝，而 x ， y 稳定在（0.084，0.916），初始点位置差以毫厘，后果却不大一样．

2）如初始点（ x ₀ ， y ₀ ， z ₀ ）位于平面Ⅰ的下侧．则当 t 到达有限时刻时 y 必灭绝，而 x ， z 继续存在．

以上我们只举了两个例子，如果对于系统（3）任意给定 α ， β ， γ ， δ ， ε ₂ ， ε ₃ 的一组数，我们都可以描绘出所对应的系统（3）在 内的轨线分布图．至于对系统（3）的一般性讨论，有待进一步研究．

参考文献

［1］Lo Sheag Dai，Noncoustant periodic solution in predatorprey systems with continuous time delay，Math，Biosci，53，1981，109-157．

［2］Gopalsamy，K． Aggarwala B． D． ，Limit cycles in two species competition with time delays，J． Aust Math Soc． Ser． B． 1980，21，148-160．

［3］Bowads J． M． and Cushing J． M． ，On the behavior of sofutions of predator- prey equations with bereditary term，Math，Biosci，1975，29，41-54．

［4］陈兰荪，数学生态模型与研究方法，科学出版社，北京，1988，310-321，205-232．

［5］ Grusman W，Periodic solutions of autonomous differential equations in higher dimeasion spaces Rocky Mountain J． Math． 1977，7（3）：457-466．

［6］陈兰荪，数学生态模型与研究方法，科学出版社，北京，1988，310-321，205-232．

Abstract ：This paper presents the analysis of the phase portrait of three species Volterra model with the rates of constant harvest and constant invest braic curved surface solution in R ³ ＋It also offers some practical examples．

Keywords ：Three species Volterra model，Harvest rate，Invest rate，Phase portrait．

应用数学学报

1994，17（4）：592-596 TqouHW/GX0c7oNDUlcez8J1TUb/07EibNNucbIOfBkWESSzIdY2sZG8wemPaE6BJ