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一些具有常收获率和常投放率的三种群Volterra模型的相图分析
The Phase Portrait Analysis of Three Species Volterra Model with The Rates of Constant Harvest and Constant Invest

摘 要 本文对具有某些代数曲面解的具有常收获率和常投放率的三种群 Volterra 模型在 R 3 内的相图进行了分析 并举出了一些具体例子

关键词 三种群 Volterra 模型 收获率 投放率 相图

三维系统的相图要比二维系统的相图复杂得多,对于二维系统相图的分析虽然也不是太容易,但其已有的成果可以说已不胜枚举.而对于三维系统的相图分析却很少见.

其主要原因是难度太大,对于一些实际问题的具体三维系统模型,在 (第一卦限)内极限环的存在性、唯一性,或平衡点的稳定性全局稳定性等,虽然也有过不少结果.例如极限环存在性方面的结果如文〔1,2〕等,平衡点稳定性,或全局稳定的如文〔3,4〕等,但是在 轨线的分布与走向状况却知之甚少,而 内轨线分布和走向恰恰是解决实际问题时所最需要的.比如对给的初始点,那些变元最终走向灭绝,那些变元始终保持存在,且将稳定在什么位置上,这些都正是实际所最需要加以解决的问题.

文〔5〕曾证明过系统: x (1- x αy - βNz ) + ε

y (1 + βx - y az ) + ε z (1- αx - βy - z ) + ε

在满足一定条件时存在极限环,但极限环的可能形状,区域 R 3 +内轨线的可能分布和走向方面仍一无所知.本文将考虑以下系统

并试图探索此类系统在 内轨线可能的分布和走向.当然对一般情况下的系统(1),要较全面地解决此问题难度很大,简直无法下手.所以现在我们只研究当系统(1)具有某些代数曲面解时的特殊情形.因为这时我们就有可能将此三维系统转化为二维系统来进行研究.尽管对这类特殊的系统(1)轨线的研究结果不能代表一般的系统(1),但至少可以知道系统(1)的轨线可以出现何种类型的拓扑结构.也可以为进一步对一般的系统(1)的研究提供线索和信息.

我们有以下定理:

定理 1 系统(1)具有平面解 F x y z ) = x y z -1 = 0 的充要条件是此系统可表示成以下形式:

这里 A B C b 1 a 3 c 2 均为任意常数, D ε 1 ε 2 ε 3

设系统(1)具有平面解 F x y z ) = x y z -1 = 0,则对系统(1)有

比较系数得:

代入系统(1)即得系统(2).条件的充分性证毕.条件的必要性是显然的.证毕.

我们假设系统(2)的三种群都具有正出生率,不妨都设为 1,即设 D A = 1, D B = 1, D C = 1,则系统(2)变成以下形式:

因三种群的密谋制约项必为负,所以可设 D -1 =- α α > 0).并记 b 1 =- γ c 2 =- δ α 3 =- β ,于是此系统又可写成:

因为

系统(3)有初积分为:

其中 C 是任意常数.

引理 1 系统(3)在第一卦限 是有界系统.

x y z N ) =-( x y z -1)〔 α x y z -1)+ (2 α -1)〕,

所以

N 充分大时 x y z N x y z N < 0,证毕.

引理 2 系统(3)

当0 < α 时, x y z ) =- x y z ) = 1,

α < 1 时, x y z ) = 1, x y z ) =-

α > 1 时, x y z ) = 1.

证明略.

引理 2 说明系统(3)有两个平行面解,即平面解Ⅰ: x y z = 1,和平面解Ⅱ: x y z = 0,当0 < α 时,Ⅰ是负向不变集;Ⅱ是正向不变集,当 α <1时,则反之.当 α > 1时Ⅰ是正向不变集.当 α 时,Ⅰ与Ⅱ重合,这时面向原点的一侧属负向不变集,背向原点的一侧属正向不变集.

对系统(3)设 x = 1- y x

这是关于 y z 均具有常收获或常投放的Volterra系统.如对系统(3)作变换 x =- y z

这也是关于 y z 均具常收获或常投放的Volterra系统.

如果我们能得出系统(4)和(5)在平面( y z )上第一象限内的相图,那么根据引理 2,我们就不难得知系统(3)在 内轨线分布和走向状况.二维系统(4)和(5)是可以存在极限环的,从而可知三维系统(3)也是可以存在极限环的.但是仅靠定性的方法要对一般的系统(4)和(5)给出它们丰在极限环的精确条件,难度是极大的,如果要进一步研究系统(4)和(5)的在第一象限内各种可能的轨线的拓朴结构,难度更大.由于我们现在不想纠缠在对一般二维系统(4)与(5)的冗长的讨论上,所以本文只想举一些具体的数字系统的例子来说明三维系统(3)在 内可能出现的轨线分布和走向.这对进一步揭示系统(3)的轨线结构是有益的.

1令 α = 2, β = 2, δ =-1, γ =-6, ε 1 ε 3 = 0, 这时系统(3)形为

系统(6)中的种群 x y z 之间的关系如图 1 所示,其中对 x 有常投放,对 y 有常收获.系统(6)通过变换 x = 1- y z 得二维系统(4)形如

系统(7)在第一象限有唯一奇点 A ),它位于区域 D :{( y z ) | y > 0, z >0, y z < 1}内.且易验知 A 为系统(7)的一阶不稳定细焦点.系统(7)在第一象限内的相图如图2 所示.因 α > 1,从引理2 知系统(6)在 的轨线当 t →∞时均趋向于平面解 x y z -1 = 0,所以系统(6)在 内轨线的分布和走向大致如图 3所示.

如在系统(6)的基础上令 ε 2 减小,即令 α = 2, β = 2, δ =-1, γ =-6, ε 2 Δε 2 (0 < Δε 2 < 1)则系统(6)和系统(7)分别变成

由于这时系统(7)′在第一象限的唯一奇点 A )变成稳定粗焦点,所以 A 外围出现了一个不稳定极限环.其相图变成图 4 所示.从而系统(6)′在 也出现了唯一不稳定极限环,它位于平面解 x y z -1 = 0 上.如图 5 所示.

1 在系统(7)′和(6)′中,当 0 < Δε 2 < 1 时极限环存在(唯一),不必一定限制 Δε 2 为充分小,实际上当 Δε 2 增大到 时,系统(7)′在第一象限将全局稳定于点 A ).所以在间向0< Δε 2 必存在使得系统(7)′在 A 外围存在弓形分界线环的值.由于系统(7)′对 Δε 2 不构成旋转向量场,所以这个值不是唯一的.如设其中最小的值为 Δε 2 ,则当 0 < Δε 2 Δε 2 时,系统(7)′必存在(唯一)不稳定极限环,从而系统(6)′也存在(唯一)不稳定极限环.

2 系统(6)′当 0 < Δε 2 Δε 2 时的不稳定极限环位于平面 x y z -1 = 0 上完全有可能与图 5 中的线段 RQ 相交,也即沿某一轨线,当 t 到达某一有限时刻,种群 x 就灭绝了,但后又复生了,这不足为奇,因为 x 具有常投放率.

3 系统(6)′当 Δε 2 减小时,种群 x y z 不能共存,当 t 到达某有限时刻, y 必灭绝,只剩下 x z ,而当 Δε 2 增大时, 内将出现稳定区域,即出现 x y z 共存的区域.当 Δε 2 增大到 时, 内全局稳定于点

2令 α δ β γ =-8, ε 2 ε 2 = 0,这时系统(3)形为

系统(8)中的种群 x y z 之间的关系如图 6 所示,对 x 有常设放,对 y 有常收获.系统(8)通过变换 x = 1- y z 所得系统(4)形为

系统(9)在第一象限有唯一奇点 A ),它位于区域 D :{( y z ) | y > 0, z >0 y z < 1}内, y 轴上有奇点 B ,0)= B (0.916,0)和 C ,0)= C (0,112,0) A 为鞍点, B 为稳定结点, C 为不稳定结点.系统(9)在第一象限的相图如图 7 所示.

系统(8)通过变换 x y z 所得系统(5)形为

系统(10)全平面只有唯一奇点 A ,- ),在第一象限相图如图 8 所示.

a < 1,所以由引理 1 可知系统(8)的平面 x y z -1 = 0 是正向不变集,平面 x y z = 0是负向不变集.所以系统(8)在 的相图如图 9 所示.在 内,平面I: x y z = 1 上侧轨线均走向平面I;在平面I和Ⅱ: x y z 之间,轨线均远离Ⅱ而走向Ⅰ;在平面Ⅱ下侧轨线均远离Ⅱ.

4 系统(8)中种群 x y z 不能共存,根据初始点( x 0 y 0 z 0 )所在的位置,有以下几种不同的结果:

1)如初始点( x 0 y 0 z 0 )位于平面Ⅱ的上侧时有两种可能性:一种是当 t → + ∞时, z 灭绝,而 x y 的数量稳定在(0.084,0.916);另一种是当 t 到达有限时刻 y 将灭绝而 x z 仍存在着.例如当0 < δ ≪1时初始点取在( δ )时, y 必当 t 于有限时刻就灭绝, x z 存在;初始点取在( δ )时,当 t →∞时, z 灭绝,而 x y 稳定在(0.084,0.916),初始点位置差以毫厘,后果却不大一样.

2)如初始点( x 0 y 0 z 0 )位于平面Ⅰ的下侧.则当 t 到达有限时刻时 y 必灭绝,而 x z 继续存在.

以上我们只举了两个例子,如果对于系统(3)任意给定 α β γ δ ε 2 ε 3 的一组数,我们都可以描绘出所对应的系统(3)在 内的轨线分布图.至于对系统(3)的一般性讨论,有待进一步研究.

参考文献

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[4]陈兰荪,数学生态模型与研究方法,科学出版社,北京,1988,310-321,205-232.

[5] Grusman W,Periodic solutions of autonomous differential equations in higher dimeasion spaces Rocky Mountain J. Math. 1977,7(3):457-466.

[6]陈兰荪,数学生态模型与研究方法,科学出版社,北京,1988,310-321,205-232.

Abstract :This paper presents the analysis of the phase portrait of three species Volterra model with the rates of constant harvest and constant invest braic curved surface solution in R 3 +It also offers some practical examples.

Keywords :Three species Volterra model,Harvest rate,Invest rate,Phase portrait.

应用数学学报

1994,17(4):592-596 nq3s/faL7lOWdzXnrfNJJoEmjj4dhbZts1nZp8m6hOolvCfRIcPd+tb8WICQRV93

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