判别二次系统有界分界线环的例子

设二次系统

x ＝- y ＋ δx ＋ k ² ＋ mxy ＋ ny ， y ＝ x （1 ＋ ax ＋ by ），

在 0 （0，0）外围存在一个极限环，它随 δ 按适当方向单调变化而扩大，如果它最后变成了有限分界线环，那么如何判别此分界线环的类型．对于一般的二次系统，这是一个极困难的问题．但是要举出可以判别的二次系统的例子却是做得到的．下面是几个可以进行这种判别的例子．

例 1 从文［1］可推知系统

有以下结论：

（1）系统 原点外围的极限环当 δ ₁ 单调减少时，必扩大而变成如图 1所示的含一个鞍点和一个鞍结点的异宿轨线．

（2）系统 原点外围的极限环当 δ ₁ 单调减少时，必扩大而变成如图 2所示的含一个鞍点的异宿轨线．

（3）系统 原点外围的极限环当 δ ₁ 单调减少时，必扩大而变成如图 3所示的含两个鞍点的异宿轨线．

例 2 从文［2］可推知系统

有以下结论：

（1）系统 原点外围的极限环当 δ ₁ 单调减少时，必扩大而变成如图 4所示的含一个鞍点和一个鞍结点的 无返回映射分界线环．

（2）系统 原点外围的极限环当 δ ₁ 单调减少时，必扩大而变成如图5 所示的只含一个鞍点的同宿轨线．

（3）系统 原点外围的极限环当 δ ₁ 单调减少时，必扩大而变成如图6 所示的只含一个鞍点的无返回映射分界线环．

例 3 从文［3］可推知系统

有以下结论：

（1）系统 原点外围的极限环当 δ ₁ 单调增大时，必扩大而变成如图 7所示的含一个鞍点的无返回映射分界线环．

（2）系统 原点外围的极限环当 δ ₁ 单调增大时，必扩大而变成如图8 所示的只含一个鞍结点的同宿轨线．

（3）系统 原点外围的极限环当 δ ₁ 单调增大时，必扩大而变成如图 9所示的只含一个鞍点的同宿轨线．

以上三个例子的证明是类似的，所以只证明例 1．

证明

（1）由文［1］可知系统

x ＝ 2 xy ＋ 2（ x ² ＋ x ）， y ＝-（ y ² －2 x －1）＋ k ₂ （ x ² － x －1）＋ xy ，存在弓形分界线环，当 k ₂ ＝ 时，分界线环上奇点（0，1）是初等鞍点，（0，－1）是鞍结点．对此系统作变换 x′ ＝ 10 x －2 y ＋ 2， y′ ＝ ＋ y ＋ ．仍记 x′ ， y′ 为x，y得系统 ，其相图如图 1 所示，显然结论（1）成立．

（2）系统 的全局相图如图 10 所示．这说明系统 在 δ ₁ 减少过程中，尚未减到零以前，原点外围极限环已变成过一个鞍点的分界线环了，如图 2 所示．故结论（2）也成立．

（3）系统 的全局相图如图 11 所示，原点外围极限环当 δ ₁ 减少到零时尚未消除，当 δ ₁ 从零继续减少时，鞍结点B分裂成一个鞍点B和一个结点C，当 δ ₁ 减少到某值时，鞍点A和B的分界线必将重和，相图变成图 3．故结论（3）成立．证毕．

参考文献

［1］沈伯骞．二次系统存在三次曲线弓形分界线环的充要条件．纯粹数学与应用数学，1990，6（2）：94-96．

［2］沈伯骞．二次系统的三次曲线极限线环和分界线环的存在性问题．数学年刊，1991，12（3）：382-389．

［3］沈伯骞．二次系统的椭圆分界线环．应用数学学报，1992，15（2）：174-183．

Annals of Differential Equations

1994，9（2）：163-172 UGaHYJJf+urjoLrUp2ey6m6MZngw8wmlND+9wpEwofHtYJuWjKItbyzmGIYtrkK2