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三段论的公理是正确进行推理的基本依据，依据这个公理，逻辑学家制定出一些便于具体操作的规则，这些规则总计有7条，前3条是关于三段论大项、中项和小项的，后4条是关于三段论两个前提的。相对而言，这7条规则中，前面5条规则较为基础，后2条规则是从前面5条规则中推导出来的。
1．正确的三段论有而且只能有三个不同的词项
直言三段论的实质就是借助于一个共同的项将两个直言命题联结起来从而导出结论的。一个直言命题是由主项、谓项、联结词和量项构成的，联结词和量项合在一起构成了直言命题的常项。所谓常项就是在逻辑形式中其含义是固定不变的部分。直言命题的主项和谓项都是变项，是被不同的内容所替代的部分。因此，在一个三段论中，如果只有两个不同的项，那么大项和小项就找不到联结它们的中项，三段论的推理关系就无法形成；如果三段论中有四个项，大项与其中一个项发生联系，小项与其中另外一个项发生联系，大项和小项之间没有构成联结关系，也无法三段论的推理关系。可以想象，一个三段论出现了五个或六个项，更无法进行推理的。违反这一规则的逻辑错误，通常称之为“四词项”或“四概念”。
阿尔诺（1612—1694），法国神学家、逻辑学家、哲学家。在巴黎大学获得博士学位，后在巴黎大学神学院任教，因为抨击耶稣会而被逐出神学院，一度隐居在波尔—罗雅尔修道院。1662年，与尼科尔合著出版《逻辑学，或思维艺术》（又称为《波尔—罗雅尔逻辑》），为当时西欧流传甚广的逻辑教材，对后来的逻辑教科书的编写有较大影响，曾经译作多种文字。该书将一切推理都归结为三段论，第一次系统地表述了判断三段论式有效性的规则及各格规则。
（图片2－3） 阿尔诺
庄子是中国传统文化中的重要人物，在他极富智慧的思想中也夹杂着很多错误。据说，庄子的一个孩子夭折了，他却一点也不悲伤。他的妻子就责怪他为什么如此无情。庄子说：
例10．无子无忧，
子死无子，
____________________
所以，子死无忧。
庄子话中的“无子”显然不是同一词项。第一个前提中的“无子”是本来就没有此子的“无子”，第二个前提中的“无子”是有了这个孩子因其夭折而使得自己现在“无子”。庄子在这里犯了“四词项”的逻辑错误。一般而言，四词项或四概念的逻辑错误，多出现这种多义词的情况之中。这种情况，在日常辩论中经常会出现，有人甚至故意利用这个错误进行诡辩。
例11．有人这样证明自己是“英雄”——毛泽东主席教导我们：“群众是真正的英雄。”谁敢说我不是群众，因此，我才是真正的英雄！
这种谬论所包含的逻辑推理是：
群众是真正的英雄，
我是群众，
____________________
所以，我是真正的英雄。
这两个前提中的“群众”是中项，但却并不是同一概念。在前提“群众是真正的英雄”中，这个“群众”是指所有群众组成的整体，是一个集合概念。在前提“我是群众”中，这个“群众”并不是指群众组成的整体，它是一个非集合概念。这是故意用同一个语词表达不同概念的方式偷换概念，以达到自己诡辩的目的。
2．正确的三段论的中项至少要周延一次
中项要起到媒介作用，就必须既与大项建立联系，又与小项建立联系，而要建立这样的联系，就需要中项至少周延一次，使得它能够以全部外延与大项或小项建立一种稳定的关系，充分发挥其联系大项和小项的作用。
外延是词项的基本属性之一。词项一般具有两个基本属性，即内涵和外延。内涵是词项对思维对象“质”的规定性的反映，是说明词项所反映的那种对象究竟“是什么”。外延是词项对思维对象“量”的规定性的反映，是说明词项所反映的那种对象在数量上“有哪些”、“有多少”。
例12．社会关系是人们在社会活动过程中结成的各种关系的总称，包括经济、政治、思想、文化以及家庭等各方面的关系。
“人们在社会活动过程中结成的各种关系的总称”就是说明“社会关系”是什么的，是其内涵。“经济、政治、思想、文化以及家庭等各方面的关系”是说明“社会关系”有哪些，是其外延。周延是对词项的外延而言的，但一个孤立的词项的外延，并无周延或不周延的问题。词项外延的周延或不周延的性质是在直言命题中被体现出来。
周延性是指对直言命题的主项或谓项的外延的断定情况。一个直言命题如果断定了主项或谓项的全部外延，我们就说这个主项或谓项是周延的；反之，如果没有断定主项或谓项的全部外延，我们就说这个主项或谓项是不周延的。
例13．（1）所有科学规律都是不以人的意志为转移的。
（2）社会科学不是自然科学。
（3）有的公民是选举人。
（4）有的学生不是参加了派对的人。
在四个直言命题中，（1）命题“科学规律”是周延的，因为该命题对“科学规律”的全部外延做出了断定，但谓项“不以人的意志为转移”是不周延的，因为该命题并没有对它的全部外延做出断定。只是说“所有科学规律都是不以人的意志为转移的”，并没有说“所有科学规律都是所有不以人的意志为转移的”。（2）命题主项“社会科学”和谓项“自然科学”都是周延的，因为该直言命题不仅对“社会科学”的全部外延做出了断定，而且对“自然科学”的全部外延也做出了断定，即“所有社会科学不是所有自然科学”。人们发现，在全称肯定命题中，说主项“是什么”时，不必“是所有的什么”；在全称否定命题中，说主项“不是什么”时必须“不是所有的什么”。比如，当说“人是动物”时，并不要求人是所有的动物；但说“人不是植物”时，必然要求人不是所有的植物。（3）主项“公民”和谓项“选举人”都是不周延的，因为该命题既没有主项“公民”的全部外延做出断定，也没有对谓项“选举人”的全部外延做出断定。（4）主项“学生”是不周延的，因为该命题没有对“学生”的全部外延做出断定，但谓项“参加了派对的人”是周延的，因为该命题对“参加了派对的人”的全部外延做出了断定。
在直言三段论中，中项总是处于前提中的主项或谓项的位置，中项究竟是否周延，我们可以比照直言命题的主项和谓项的周延性情况进行判定。比如：
例14．英雄难过美人关，
我难过美人关，
____________________
所以，我是英雄。
例15．听看相先生说：有作为的人都是“头平、额宽、天庭饱满”。尔后，在报刊和电视上，有首长、专家、学者、企业家出现时，我都仔细瞧瞧，他们确实头顶平平、额头又高又阔。
这里包含着一个三段论推理，即：
凡有作为的人都是“头平、额宽、天庭饱满”，
首长、专家、学者、企业家都是“头平、额宽、天庭饱满”，
____________________
所以，首长、专家、学者、企业家都是有作为的人。
在例14中，“难过美人关”充当中项，在例15中，“头平、额宽、天庭饱满”担当中项，这两个中项都处于前提的谓项位置，都是不周延的。犯了“中项两次不周延”的逻辑错误，这种结构形式所导出的结论不具有“保真性”。
3．前提中不周延的词项在结论中也不得周延
结论中只有两个项，即大项和小项，这条规则主要是针对大项和小项而言的。三段论推理是一种必然性推理，它的必然性来自于结论所断定的范围没有超出前提所给的范围，也就是说，结论中的主项和谓项，即小项和大项所断定的范围是从前提所断定的范围中安全地过渡来的，不能从前提所断定的部分在结论中推出全部，不能从前提中的不周延词项过渡到结论中的周延词项，否则，推理就失去了它的必然性。违反这一规则的逻辑错误有“小项不当周延”和“大项不当周延”两种情况。鲁迅在《论辩的灵魂》中对诡辩者有一段精彩的描述：
例16．你说甲生疮。甲是中国人，你就是说中国人生疮了。既然中国人生疮，你是中国人，就是你也生疮了。你既然也生疮，你就和甲一样。而你只说甲生疮，则竟无自知之明，你的话还有什么价值？倘你没有生疮，是说诳也。卖国贼是说诳的，所以你是卖国贼。我骂卖国贼，所以我是爱国者。爱国者的话是最有价值的，所以我的话是不错的。我的话既然不错，你就是卖国贼无疑了。
我们从中不难提炼出这样一个三段论推理：
甲生疮，
甲是中国人，
____________________
所以，中国人生疮。
“小项不当周延”是指小项在前提中不周延，在结论中却变得周延了。这个三段论中小项“中国人”，在前提中是肯定命题的谓项，是不周延的，但在结论中成为全称肯定命题的主项，是周延，这就犯了小项外延不当扩大的错误。再如：
例17．共产党员都要遵纪守法，
我不是共产党员，
____________________
所以，我不要遵纪守法。
“大项不当周延”是指大项在前提中不周延，在结论中却变得周延了。这个三段论中小项“要遵纪守法”，在前提中是肯定命题的谓项，是不周延的，但在结论中成为否定命题的谓项，是周延，这就犯了大项外延不当扩大的错误。
例18．某公司办公大楼内一只水槽上方，挂着一块牌子，上面写着“此处不准倒剩茶叶”几个字。围绕这块牌子，几个年轻人展开了辩论。小赵说：“此处不准倒剩茶叶’，也就是说，可以倒好茶叶。”小钱说：“你理解得太片面。这句话的意思是，除了剩茶叶之外，什么东西都可以往里面倒。”小孙说：“你们两人都是在瞎说。”小李对小孙说：“你知道他们错在哪里吗？”小孙回答：“他们的话都不符合事实。”小李摇了摇头说：“这不属于事实问题，而属于逻辑问题。他们两人的话都不符合逻辑。”
那么，这几位年轻人的议论究竟谁的话不符合逻辑呢？通过分析，我们可以看出，小赵和小钱的议论中包含着三段论推理，小赵的推理是这样的：
剩茶叶是不能在此处倒的，
好茶叶不是剩茶叶，
____________________
所以，好茶叶不是不能在此处倒的。
小钱的推理是：
剩茶叶是不能在此处倒的，
除了剩茶叶之外的东西都不是剩茶叶，
____________________
所以，除了剩茶叶之外的东西都不是不能在此处倒的。
这两个推理的大项“不能在此处倒的”在大前提中都处于肯定命题的谓项位置，都是不周延的，但结论是否定命题，否定命题的谓项都是周延的，这就违反“前提中不周延的项在结论中也不得周延”的规则，小赵和小钱的推理都犯了“大项不当扩大”的逻辑错误。
4．两个否定的前提推不出结论
大前提是大项与中项的组合，小前提是小项与中项的组合，如果三段论的两个前提都是否定的，必然导致大项和小项都与中项相互排斥，中项起不到联结大项和小项的作用，这样的三段论推不出必然的结论。比如：
例19．我不是党员，
我不是军人，
____________________
所以，我？
在这个例子中，“我”可能既是党员又是军人，或者是党员但不是军人，或者是军人但不是党员，或者既不是党员又不是军人，不能必然而唯一地得出其中的某种情况。再如：
例20．姥姥从乡下带来一篮花生，听说花生发霉，人吃之后会得癌症。我仔细地查看了一番，确认不是发霉的花生，这才放下心来，津津有味地嚼起来。
这段话中包含着一个三段论推理，即：
发霉的花生不能吃，
这些花生不是发霉的花生，
____________________
所以，这些花生是能吃的。
从这个推理形式中我们可以看出，从“发霉的花生不能吃”和“这些花生不是发霉的花生”两个否定的前提中，并不能必然得出“这些花生是能吃的”这个肯定命题的结论。
5．如果前提中有一个是否定的，那么结论一定为否定；如果结论是否定，那么前提中必然有一个是否定的。
如果前提中有一个是否定的，那么小项和大项之一必然与中项相排斥，无论是小项与中项相排斥，还是大项与中项相排斥，结论中小项与大项必然是相排斥的。反之，如果结论是否定的，那么小项与大项必然是相排斥的，因此，前提中或者是大项与中项相排斥，或者是小项与中项相排斥，换句话说，前提中必然有一个是否定的。比如：
例21．相传，古时候有两户人家几乎同时生了孩子，但其中一家的孩子夭折了，就偷偷地将另一家的孩子抱回自己家。另一家发现后与这一家争吵得不可开交，于是告到官府。知县是个聪明人，只见他把惊堂木狠狠一拍，对两个妇女说：“你们不要吵了！来人，把这个孩子劈成两半，你们一人一半。”刀斧手举起冷冰冰的屠刀，对着幼小的孩子就要劈下去……“饶恕我吧，大人。把活着的孩子给她吧，可千万不要杀死孩子呀！”其中一个妇女连忙哀求道。第二个妇女却说：“劈就劈吧，我得不到孩子，你也休想得到！”知县马上宣判说：“把孩子给第一个妇女，她才是婴儿真正的母亲！”
知县的推理过程是：
亲生母亲都怕伤害自己的孩子，
第二个妇女不怕伤害孩子，
____________________
所以，第二个妇女不是孩子的亲生母亲。
在这个例子中，知县从否定的前提中得出否定的结论，即“第二个妇女不是孩子的亲生母亲”是正确的，是符合三段论第5条规则的。
6．两个特称前提推不出必然结论
如果两个前提都是特称命题，它们的排列组合情况无非是四种，即II、IO、OI、OO。如果两个前提分别是II命题，其中必然没有周延的词项，根据规则2“正确的三段论的中项至少要周延一次”，因为中项不周延而不能导出必然结论。如果两个前提分别是IO命题，那么其中的O命题谓项是周延的，根据规则2要求，这个周延的项应该是中项。但O命题是否定命题，根据规则5“如果前提中有一个是否定的，那么结论一定为否定”，结论否定，在结论中处于谓项位置的大项一定是周延的，这就犯了“大项不当周延”的逻辑错误。如果两个前提分别OI命题，其情况与IO的情况相同。如果两个前提分别是OO命题，根据规则4“两个否定的前提推不出结论”，这种情况不能导出必然结论。
例22．有些小孩是网虫，
有些网虫有孩子，
____________________
所以，有些小孩有孩子？
显然，我们不能必然从“有些小孩是网虫”和“有些网虫有孩子”这两个真前提中推导出“有些小孩有孩子”，之所以从真前提推出了假结论，是因为这个三段论推理形式存在“两个特称前提推不出必然结论”的错误。
7．如果前提中有一个是特称的，那么结论就是特称的
根据规则6“两个特称前提推不出必然结论”，因此，如果前提中有一个是特称的，另一个前提必须是全称的，这样，两个前提的排列组合无非是四种情况：AI、AO、EI、EO，我们来考察一下这四种组合的结论情况。
如果前提是AI组合，只有A命题的主项是周延的，根据规则2，这个周延的项应该是中项，大项和小项在前提都不可能周延。根据规则3“前提中不周延的词项在结论中也不得周延”，小项在结论中是命题的主项，主项不周延的命题只能是特称命题；如果前提是AO组合，A命题的主项和O命题的谓项是周延的，根据规则2，其中一个周延的项应该是中项。根据规则5“如果前提中有一个是否定的，那么结论一定为否定”，结论否定则大项在结论中周延，根据规则3，大项在前提中也必须是周延的。这样，小项在前提不可能周延。小项在前提不周延，在结论中也不能周延，小项在结论中是主项，主项不周延的命题必定是特称的；如果前提是EI组合，E命题的主项和谓项都是周延的，根据规则2，其中一个周延的项应该是中项，根据规则5，其结论一定为否定，大项在结论中周延，根据规则3，大项在前提中也必须是周延的。这样，小项在前提不可能周延。小项在前提不周延，在结论中也不能周延，小项在结论中是主项，主项不周延的命题必定是特称的；如果前提是EO组合，根据规则4“两个否定的前提推不出结论”。综合上述四种情况，一个正确的三段论，如果前提中有一个是特称的，其结论只能是特称的。
例23．中国公民都要遵守中国法律，
有些在中国的外国侨民加入了中国籍，
____________________
所以，所有在中国的外国侨民都要遵守中国法律。
这个三段论推理的结论是真的，但是却不是从真前提中必然导出的，因为这个三段论的形式存在错误，从“有些在中国的外国侨民加入了中国籍”这个特称前提中，并不能必然得出“所有在中国的外国侨民都要遵守中国法律”这个全称结论。
知道了三段论的一般规则，我们就可以鉴别日常论证中哪些三段论是正确的，哪些三段论的结论是必然能够导出的。
例24．在甲班班长的选举中，有这样的情况存在：所有安徽籍的学生都拥护桂芳当班长，所有重庆籍的学生都反对桂芳当班长，有的男生是重庆籍学生。
如果上述断定为真，以下哪项关于甲班的断定也一定是真的？
A.所有的女生都是安徽籍。
B.有的女生是重庆籍。
C.有些男生不是重庆籍。
D.有的男生反对桂芳当班长。
E.桂芳是安徽籍学生。
从题干所给的材料中，我们可以将“所有重庆籍的学生都反对桂芳当班长”，“有的男生是重庆籍学生”这个命题构成三段论的前提，由此就可以推出这样的结论：“有的男生反对桂芳当班长。”而其他的选项都不能从题干中必然推出的。