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摘 要 本文以“引子”引出欧几里得证明的疑点，指出欧氏证明原理不能对“再假设”证明进行下去，对素数中“可穷尽”“不可穷尽”现象不能做出科学解答；以素数中三个不可理解性问题为切入点，找到了素数中“可穷尽”“不可穷尽”现象的根本原因，应用素数的有效排除力原理对“为什么偶素数可穷尽”“为什么个位数为 5 的奇素数可穷尽”“为什么个位数为 1、3、7、9 的奇素数不可穷尽”诸问题做出了证明；对欧氏证明的疑点及其原因进行了解读、分析。
关键词 欧几里得 素数 可穷尽 不可穷尽 质疑 证明点
这天，数学研究爱好者钝夫与数学教授聪生一起讨论素数没有穷尽问题。钝夫请教说：“假设第 48 个梅森素数为最后一个素数，即素数至此已穷尽，那你肯定不会认同。但不知你如何来证明我的观点是错的。”聪教授笑着说：“早在公元 300 年前古希腊数学家欧几里得就已证明了素数没有穷尽问题。依照欧氏定理和你给出的假设，证明式子是‘ K ＝ 2 × 3 × 5 × ……×第48 个梅森素数＋ 1’， K 要么是素数，要么是多个素因数相乘的积， K 或其素因数都必定是‘集合’之外的更大素数，即是比第 48 个梅森素数还要大的‘更大素数’。因此，第 48 个梅森素数之后素数没有穷尽。所以，你的观点是错的。”钝夫又诚恳地说：“聪教授，你刚才的证明也许是对的。我深信根据欧氏公式完全可求得比第 48 个梅森素数还要大的‘更大素数’。现我再假设，假设素数至这个‘更大素数’已穷尽。毫无疑问，这个‘更大素数’不是续接第 48 个梅森素数之后的下一个素数，也即是说，第 48 个梅森素数至这个‘更大素数’之间必定存在未知的若干个素数。据此，你如何将第 48 个梅森素数至这个‘更大素数’之间的若干素数，按照‘从小到大依次排列’呢？假如你不能做到‘从小到大依次排列’，那你如何让证明进行下去呢？假如证明不能进行下去，又怎能说对素数没有穷尽问题做出证明了呢？”钝夫一连串推理式的连珠炮般的发问，使聪教授完全无言以对。接着，钝夫将自己的质疑及其因由细说了一遍。之后，一本正经地说：“欧氏证明疑点多多，主要疑点在于：其一，素数没有穷尽主要体现在素数随着自然数的不断扩延而扩延，‘更大素数’之后还有比之更大的‘更、更大素数’。如以求得‘集合’之外的‘更大素数’的证明方法来证明素数没有穷尽问题，其证明方法不仅仅在于求得‘集合’之外的‘更大素数’，同时还有一个续接证明下去的问题，即以第一次假设求得的‘更大素数’为依据提出再假设时，使再假设的证明进行下去。但是，由于欧氏公式所求得的素数只是‘更大素数’，而不是续接‘ P n 素数’之后的下一个素数，违背了其自身设置的‘从小到大依次排列’这一条件，因此，欧氏证明在求得‘集合’之外的‘更大素数’之后，不能对以第一次假设求得的‘更大素数’为依据而提出的再假设的证明进行下去。可见，欧几里得的证明，对素数没有穷尽问题并没做出科学证明。其二，事实告诉我们，在没有穷尽的素数中，偶素数于 3 起已穷尽，而没有穷尽的是奇素数；在没有穷尽的奇素数中，个位数为 5 的奇素数于 6 起已穷尽，而没有穷尽的是个位数为 1、3、7、9 的奇素数。据此，可以说对素数没有穷尽问题的证明，应当包括对‘为什么偶素数于 3 起可穷尽’‘为什么个位数为5 的奇素数于6 起可穷尽’‘为什么个位数为1、3、7、9 的奇素数不可穷尽’诸问题的证明。不是单一的‘没有穷尽’问题的证明。其正确的证明方法，不仅可用于‘不可穷尽’问题的证明，而且也可用于‘可穷尽’问题的证明。然而，欧氏的证明方法除了可求得‘集合’之外的‘更大素数’外，不能对素数中‘可穷尽’和‘不可穷尽’问题做出科学的、正确的解答。仅凭此两点质疑就可得出结论：欧氏证明只能是求得‘集合’之外的‘更大素数’的一种证明方法，对素数没有穷尽问题并没做出科学证明。”最后，钝夫十分自信而自豪地说：“鄙人之所以敢于对欧几里得的证明提出质疑，是因为我找到了素数中‘可穷尽’和‘不可穷尽’现象的根本原因，发现了其破解的证明方法。”
不隐瞒说，“引子”中的钝夫就是笔者。
笔者之所以以素数没有穷尽问题开篇，是因为素数没有穷尽问题是素数若干问题中最重要、最久远的话题。
笔者知道，在对素数没有穷尽问题的诸多证明中，欧几里得的证明是被数学界公认为无懈可击、最为完美的证明。笔者之所以敢于提出质疑，是在于发现了欧几里得没有真正读懂素数没有穷尽问题的内涵，弄错了素数没有穷尽问题的证明点。
在数学研究中，笔者一直坚持这样一个观点：要破解数学命题，首先必须读懂命题，只有读懂命题，才能谈得上破解命题。要破解素数没有穷尽问题，同样离不开这个“理”。笔者认为，要对素数没有穷尽问题做出正确的证明，首先要弄清楚素数没有穷尽问题的完整内涵和单一内涵，在此基础上，找准其证明点，即：对素数没有穷尽问题要做出证明的，是求证素数“集合”之外的“更大素数”，还是对素数中“可穷尽”“不可穷尽”现象做出科学解答？
笔者认为，素数没有穷尽问题有着“完整内涵”和“单一内涵”之分。
所谓“素数没有穷尽问题的完整内涵”，是指素数中各种“可穷尽”“不可穷尽”现象所反映出来的若干问题。
所谓“素数没有穷尽问题的单一内涵”，是指“完整内涵”中具体的、与之最直接的某个问题。
在此，笔者应指出的，本文说的“完整内涵”和“单一内涵”，与我们通常所说的“广义”“狭义”是有本质区别的。
事实告诉我们，在没有穷尽的素数中，偶素数于 3 起已穷尽，而没有穷尽的是奇素数；在没有穷尽的奇素数中，个位数为 5 的奇素数于 6 起已穷尽，而没有穷尽的是个位数为 1、3、7、9 的奇素数。据此，笔者认为，素数没有穷尽问题的完整内涵应包括如下五个问题：
问题 1 素数为什么不可穷尽？
问题 2 偶素数为什么于 3 起已穷尽？
问题 3 奇素数为什么不可穷尽？
问题 4 个位数为 5 的奇素数为什么于 6 起已穷尽？
问题 5 个位数为 1、3、7、9 的奇素数为什么不可穷尽？
根据上述的素数没有穷尽问题的完整内涵，笔者认为，素数没有穷尽问题的单一内涵，具体是指“个位数为 1、3、7、9 的奇素数为什么不可穷尽”之问题。
事实告诉我们，任何数学命题都是来自于对数学中若干现象的发现。要破解来自于对数学中若干现象的数学命题，就是对这些数学现象进行科学分析，然后做出科学解答。笔者认为，不论是从素数没有穷尽问题的完整内涵来看，还是从素数没有穷尽问题的单一内涵来看，素数没有穷尽问题的证明点都不应是求证素数“集合”之外的“更大素数”。而事实也证明这一点。
事实 1 “没有穷尽”外延的证明
为使人们真正读懂素数没有穷尽问题的证明点不是求证素数“集合”之外的“更大素数”，笔者将欧氏证明原理的应用延伸到对其他数没有穷尽的证明。我们知道，在自然数这个家族中，自然数是没有穷尽的，偶数是没有穷尽的，奇数是没有穷尽的。如果说，素数没有穷尽的证明，就是求得“集合”之外的“更大素数”，那么，对自然数、偶数、奇数没有穷尽的证明，同样是求得“集合”之外的该类“更大数”。现依照欧氏证明原理做出证明。
例 1 对自然数没有穷尽的证明。
设有限个自然数为 n ，那么，依照欧氏公式得：
K ＝ P 1 × P 2 × P 3 × ……× P n
式中“ P 1 ， P 2 ， P 3 ，……， P n ”为自然数从小到大依次排列。多个自然数相乘之积必定是自然数。因此， K 必定是“集合”之外的更大自然数。所以，自然数没有穷尽。此证。
例 2 对偶数没有穷尽的证明。
设有限个偶数为 n ，那么，依照欧氏公式得：
K ＝ P 1 × P 2 × P 3 × ……× P n
式中“ P 1 ， P 2 ， P 3 ，……， P 4 ”为偶数从小到大依次排列。多个偶数相乘之积必定是偶数。因此， K 必定是“集合”之外的更大偶数。所以，偶数没有穷尽。此证。
例 3 对奇数没有穷尽的证明。
设有限个奇数为 n ，那么，依照欧氏公式得：
K ＝ P 1 × P 2 × P 3 × ……× P n
式中“ P 1 ， P 2 ， P 3 ，……， P n ”为奇数从小到大依次排列。多个奇数相乘之积必定是奇数。因此， K 必定是“集合”之外的更大奇数。所以，奇数没有穷尽。此证。
显然，以上诸例证明苍白无力，难以令人信服。
本来，事实已清楚地告诉我们，自然数没有穷尽是在于更大自然数之后还有比之更大的自然数，永远只有更大自然数，没有最后的最大自然数；偶数没有穷尽是在于更大偶数之后还有比之更大的偶数，永远只有更大偶数，没有最后的最大偶数；奇数没有穷尽是在于更大奇数之后还有比之更大的奇数，永远只有更大奇数，没有最后的最大奇数；素数没有穷尽是在于更大素数之后还有比之更大的素数，永远只有更大素数，没有最后的最大素数。既然事实已告诉我们这样一个结果，那么，以求得“集合”之外的该类“更大数”来证明该类数没有穷尽问题，这是不是显得没有多大实际意义呢？！
事实 2 素数没有穷尽现象的证明
我们知道，在没有穷尽的素数中，奇素数是没有穷尽的；又，没有穷尽的奇素数实际是指个位数为 1、3、7、9 的奇素数没有穷尽。如果依照欧氏证明原理分别对奇素数以及个位数为 1、3、7、9 的四支个位数不同的奇素数没有穷尽问题予以证明，其结果将会如何呢。
例 1 对奇素数没有穷尽的证明，
设有限个奇素数为 n ，那么，依照欧氏公式得：
K ＝ P 1 × P 2 × P 3 × ……× P n ＋ 2
式中“ P 1 ， P 2 ， P 3 ，……， P n ”为奇素数从小到大依次排列。设 N ＝ P 1 × P 2 × P 3 × ……× P n ，那么 N ＋ 2（即 K ）是奇素数或是多个奇素数相乘之积。 K 或 K 的素因数必定是“集合”之外的更大奇素数。
如：3 × 5 ＋ 2 ＝ 17（是素数）
3 × 5 × 7 ＋ 2 ＝ 107（是素数）
3 × 5 × 7 × 11 ＋ 2 ＝ 1157 1157 是合数，但其两个因数 13、89 是“集合”之外的素数。
因此，奇素数没有穷尽。此证。
尽管在提法上“奇素数没有穷尽”比“素数没有穷尽”更为精准，我想，恐怕数学界的同仁们不会认同笔者的证明吧。
例 2 对四支个位数不同的奇素数没有穷尽问题的证明。
a.个位数为 1 的素数没有穷尽问题的证明结果。
如将 n 个个位数为 1 的素数“从小到大依次排列”集于“合”子相乘再加1 个其他正整数，可推知， n 个个位数为 1 的素数相乘，其积的个位数必定是1，唯有加上大于 1、个位数为 0 的正整数，其 K 的个位数方为 1，但 K 的素因数的个位数就未必是 1。现予以验证。
设有限个个位数为 1 的奇素数为 n ，那么，依照欧氏公式得：
K ＝ P 1 × P 2 × P 3 × ……× P n ＋ 10 （式中“P 1 ，P 2 ，P 3 ，……，P n ”为个位数为 1 的奇素数从小到大依次排列）
11 × 31 ＋ 10 ＝ 351 351 是合数，为 13 × 27 之积，而 27 是合数。因此，不成立。现改换为“＋ 60”：
11 × 31 ＋ 60 ＝ 401 401 是素数。
11 × 31 × 41 ＋ 60 ＝ 14041 14041 是合数，为 19 × 739 之积，14041 的两个素因数的个位数为 9，不是 1。因此，不成立。
从以上证明可见，欧氏证明方法不能找到正确答案。
b.个位数为 3、7、9 的素数没有穷尽问题的证明结果。
可推知， n 个个位数为 3 的素数相乘，其积的个位数是循着“9、7、1、3”次序变化的； n 个个位数为 7 的素数相乘，其积的个位数是循着“9、3、1、7”次序变化的； n 个个位数为 9 的素数相乘，其积的个位数是循着“1、9、1、9”次序变化的。由此可知， n 个个位数为 3、7、9 的奇素数相乘，其积加任何 1 个正整数，其 K 的个位数都是有变化的，其 K 的素因数的个位数同样是有变化的。
可见，依照欧氏证明原理分别对个位数为 1、3、7、9 的奇素数没有穷尽问题予以证明，不可能找到正确答案。从而证明欧几里得对素数没有穷尽问题不能做出科学证明。
事实 3 对素数中“可穷尽”现象分析的答案
近年科学研究表明，一些动物走向灭绝，不是这些动物繁衍能力出现了问题，而是人类大量捕杀所致，亦即人类对这些动物的捕杀量大于这些动物的繁衍生存量。笔者由此联想到素数没有穷尽问题。我们知道，除 1 之外，自然数是由素数、合数两大部分组成。据此，可以说，素数就是将合数这部分自然数排除出去后剩留的自然数。自然数的不断扩延好比动物繁衍，被排除出去的自然数（即是合数的自然数）的量好比人类对动物的捕杀量。很显然，假如被排除出去的自然数（即是合数的自然数）的量大于或等于自然数的扩延量，那么，素数必定穷尽，唯有在被排除出去的自然数（即是合数的自然数）的量小于自然数的扩延量的条件下，素数才有可能没有穷尽。而事实也正是如此。
经分析，偶素数之所以于 3 起已穷尽，是因为所有大于 2 的偶数均为合数而全部被排除出素数之外；同理，个位数为 5 的奇素数之所以于 6 起已穷尽，是因为所有大于 6 的个位数为 5 的奇数均为合数而全部被排除出素数之外。这也就是说，两者的被排除的量等于扩延的量。
由此可推知，素数没有穷尽与一种排除力有着密切联系。由此可见，素数没有穷尽问题的证明点，并不是寻求“素数集合”之外的“更大素数”的证明，而是寻求对素数中“可穷尽”“不可穷尽”现象做出正确解答的证明，也就是求证将合数排除出素数之外的这种排除力的证明。笔者正是以此作为破解素数没有穷尽问题的关键点，以素数中三种不可理解现象为切入点，从中发现素数中“可穷尽”和“不可穷尽”现象的根本原因，找到正确的证明方法的。
对素数的结构进行分析研究，就会发现三个有趣而又不可理解的现象。
不可理解1如将可被素数排除的自然数的量记为
，那么，按照“
＋
”等式计算，素数于自然数30起就应穷尽。因为，
＋
＋
＞ 30。可事实告诉我们，素数不但没能于 30 起穷尽，甚至于30000
30000
之后都不可能穷尽。这是为什么？
不可理解 21 个偶素数 2 可做到将大于 2 的偶数全部有效排除出素数之外，使偶素数于 3 起已穷尽，而无数多个奇素数却没能做到将某个高位奇数起的奇数全部有效排除出素数之外，使奇素数于此穷尽，进而使素数也随之穷尽。这是为什么？
不可理解 33 和 5 两奇素数可做到将大于 5、个位数为 5 的奇数全部有效排除出素数之外，使个位数为 5 的奇素数于 6 起已穷尽，而 7 起的奇素数不仅不能做到将个位数为 1、3、7、9 的奇数于某高位数起全部有效排除出素数之外，使之穷尽，甚至不能做到将个位数为 1、3、7、9 其中之一的奇数于某高位数起全部有效排除出素数之外，使之穷尽。这是为什么？
笔者认为，上述三个现象表明“可穷尽”和“不可穷尽”这对对立的矛盾同存在于素数这个整体中，反映了素数中“可穷尽”和“不可穷尽”现象的不可理解性，分析它的不可理解性，从中找出其根本原因，这正是破题的切入点。
笔者研究结果表明，上述三种不可理解现象，与除数的有效排除作用有着密切联系。因此，只有正确认识除数及其在将合数排除出素数之外中所起到的作用，才能找到三种不可理解现象的根本原因。
这里说的除数，是指自然数中合数的约数（也叫因子）。从数学除法算式来说，合数的约数即是除数。合数之所以是非素数，是因为可被它的约数（即除数）整除而排除出素数之外。而这“除数”既有合数，也有素数。但应看到，这些除数在将合数排除出素数之外的过程中所起到的作用是不同的。那么，真正起到排除作用的究竟是合数还是素数呢（换言之，谁才是“第一刀”将合数“捅死毙命”的“真正凶手”呢），这是必须弄清楚的问题。现举例分析。
以合数 60 为例，除 1 和 60 外，其可被 2、3、4、5、6、10、12、15、20、30 共 10个数整除。在此 10 个除数中，2 是将 60 排除出素数之外的第一位除数，才是起到有效排除作用的除数，3 与 5 是于 2 之后将 60 重复排除出素数之外的除数，为重复排除的除数，而 4、6、10、12、15、20、30 此 7 个除数，虽对 60 可以整除，由于其本身也是可被 2、3、5 整除的合数，因此，就将 60 排除出素数之外这点来说，实际上它们起到的是“零作用”，故为无关排除的除数。
再以合数 135 为例，除 1 和 135 外，其可被 3、5、9、15、27、45 共 6 个数整除。在此 6 个除数中，3 是将 135 排除出素数之外的第一位除数，才是起到有效排除作用的除数，5 是于 3 之后将 135 重复排除出素数之外的除数，为重复排除的除数，而 9、15、27、45 此 4 个除数，虽对 135 可以整除，由于其本身也是可被3、5 整除的合数，因此，就将135 排除出素数之外这点来说，实际上它们起到的是“零作用”，故为无关排除的除数。
笔者根据除数所起到的作用之不同，将除数分为三类：
之一，“有效排除的除数”，是指将某个自然数排除出素数之外的除数中依序排在首位的非合数除数。
之二，“重复排除的除数”，是依序排在首位除数之后的非合数除数。
之三，“无关排除的除数”，是指除数中的合数。
可见，在将合数排除出素数之外中真正起到有效排除作用的是素数，而且是排在前面的第一个素数。笔者将此称之为“素数的有效排除作用”。事实证明，素数之所以不可穷尽，其原因是在于素数将合数排除出素数之外的过程中，并非是全部为真正意义上的有效排除，这当中还存在重复排除。正是重复排除的存在，使得素数有着不可穷尽的空间。
笔者研究结果表明，为什么素数不但没能于 30 起穷尽，甚至于30000
30000
之后都不可能穷尽？其原因就在于，素数在将可被其整除的自然数排除出素数之外的过程中，除了首位素数 2 全部为有效排除之外，所有奇素数都存在重复排除，所有奇素数的排除量“
”均包含重复排除量，并非是真正的有效排除量。因此，这使得整体奇素数的有效排除力大打折扣，使得整体素数的有效排除力总和难于达到 100％，所以，素数不仅不可能于数 30起穷尽，甚至于 30000
30000
之后都不可能穷尽。
为什么偶素数 2 可做到将大于 2 的偶数全部有效排除出素数之外，使偶素数于 3 起已穷尽，而无数多个奇素数却没能做到将某个高位奇数起的奇数全部有效排除出素数之外，使奇素数于此穷尽？其原因是在于素数 2 只存在有效排除，在将可被其整除的自然数排除出素数之外的过程中，完全不存在重复排除，并且其具有足够的有效排除力将大于 2 的偶数全部有效排除出素数之外，所以，偶素数于 3 起已穷尽；而 3 起的奇素数，由于存在重复排除，在将可被其整除的自然数排除出素数的过程中，不乏地在做重复已被前面素数有效排除的排除，致使奇素数整体的有效排除力大打折扣，有效排除力总和难于达到偶素数2的有效排除力，永远＜
，不具有足够的有效排除力将某高位数起的奇数全部有效排除出素数之外。所以，奇素数不可穷尽。
为什么 3 和 5 两奇素数“联手”可做到将大于 5、个位数为 5 的奇数全部有效排除出素数之外，使个位数为 5 的奇素数于 6 起已穷尽，而 7 起的奇素数“抱成一团”，不仅不能做到将个位数为 1、3、7、9 的奇数于某高位数起全部有效排除出素数之外，使之穷尽，甚至不能做到将个位数为 1、3、7、9 其中之一的奇数于某高位数起全部有效排除出素数之外，使之穷尽？其原因在于：其一，就对个位数为 5 的奇数进行排除而言，因 3 是首位奇素数，对可被其整除的奇数排除不存在重复排除；其二，素数 5 是首位新生素数，其有效排除力居于新生素数的首位，而且其有效排除力集中专一地对个位数为 5的奇数进行有效排除；其三，素数 3 与素数 5“联手”，具有足够的有效排除力可将大于 5、个位数为 5 的奇数全部有效排除出素数之外，使之穷尽（换言之，完全“断”了个位数为 5 的奇数这根“指”）。又为什么素数 3 与 7 起的奇素数“抱成一团”，都不能做到将某高位数起个位数为 1、3、7、9 的奇数全部有效排除出素数之外，使之穷尽呢？其原因是在于 7 起的奇素数在对可被其整除的奇数排除时，各个奇素数的有效排除力分散不专一，“东一榔头西一棒子”，加之过多的重复排除，又素数越大其有效排除力越弱等诸因素，因此，即是它们与奇素数老大“联手”“团结一致”，最终都不具有足够的有效排除力将某高位数起个位数为 1、3、7、9 的奇数全部有效排除出素数之外，甚至在对将某高位数起个位数为 1、3、7、9 其中之一的奇数全部有效排除出素数之外上永远感到力不从心、难于做到（换言之，永远只能做到伤其“四指”，不能做到“断”其“一指”）。这既是 7 起奇素数的“憾事”，同时又是数学中的“好事”——成全了素数没有穷尽这件“好事”。
对上述三个不可理解性问题之原因的解读，可应用素数有效排除力原理做出证明。对此，下文会给出证明答案。
定义 1 素数 是指不能被小于等于该自然数平方根的素数整除的自然数。这是笔者根据对素数的研究成果而下的定义。
笔者根据素数产生条件之不同，将素数分为“原生素数”和“新生素数”两部分。2 与 3 称之为“原生素数”或“自然素数”。因为，2、3 这两个数的平方根处于大于 1 小于 2 之间，不存在经能否被其他素数整除这个验证环节，是原本天生的素数。依序排在 2、3 之后的素数称之为“新生素数”或“非原生素数”。因为，它们均要经过能否被 2、3 以及其他素数整除这个验证环节，相对于 2、3 来说，是属于新产生的素数。
定义 2 素数的有效排除线 是指一个素数作为除数，将被其整除的自然数有效排除出素数之外的起点线，亦是一个素数起到有效排除作用的起始自然数。
定义 3 自然数的扩延范围 是指遵循自然数的循序逐增原理，以有序的数学式子表达起、至两个自然数，此起、至两个自然数及其间隙全体自然数组成的整体。
为精简文字，本文将“起到有效排除作用的素数”简称为“起效素数”，“扩延范围”简称为“扩围”。
前文讲到，素数将被其整除的合数排除出素数之外可分为有效排除和重复排除，而真正起到有效排除作用的是排在前面的第一个素数。那么，就具体到每一个素数来说，其有效排除线该从哪个自然数算起呢？笔者根据“素数是指不能被小于等于该自然数平方根的素数整除的自然数”这一定义的规则，遵循自然数和素数循序逐增的原理，将素数的平方定为该素数的有效排除线，即为该素数起到有效排除作用的起始自然数。如素数 2，其有效排除线从 2 的平方 4 算起；素数 3，其有效排除线从 3 的平方 9 算起；素数 5，其有效排除线从 5 的平方 25 算起，其余依此类推。
在此，需要讲清楚的是，一个素数将被其整除的自然数有效排除出素数之外的起点线，虽是从其平方算起，但并非说，有效排除线起可被该素数整除的所有自然数都算作其有效排除，还得看该素数是不是依序排在除数中首位，如是方能算作其有效排除，否则算作其重复排除。如数 45，可被素数3、5 整除，3 是依序排在除数中首位，5 是第二位，因此，虽 5 的有效排除线从25 算起，但 45 被排除出素数之外，不能算作 5 的有效排除，应算作 3 的有效排除，算作 5 的重复排除。
在此，还需讲清楚的是，偶素数 2，因其是首位素数，故其只存在有效排除，不存在重复排除。奇素数 3，因其是首位奇素数，故对可被其整除的奇数，只存在有效排除，不存在重复排除，相反，对可被其整除的偶数只存在重复排除，却不存在有效排除。2、3 之后的所有新生素数，对可被其整除的自然数，均有有效排除和重复排除之分。
意义1 标志着 1 个起效素数于此线起要发挥有效排除作用
如，4 是素数 2 的有效排除线，那么，表明从数 4 起，素数 2 对可被其整除的自然数要进行有效排除；再如，9 是素数 3 的有效排除线，那么，表明从数 9 起，素数 3 对可被其整除的奇数要进行有效排除；又如，25 是素数 5 的有效排除线，那么，表明从数25 起，素数5 对可被其整除、又不能被前素数整除的自然数要进行有效排除。余例不一一详举。
现将各个素数的有效排除线数字连接为自然数扩延线，并在扩延线的有效排除线数字下面相对应标示出起效素数（见图 1、表 1），可看出，起效素数在量上是随着自然数的不断扩延而循着 1 个→2 个→3 个→4 个→5 个→6 个→…的次序逐增。这就是起效素数在量上的循序逐增规律。
图1
表1 起效素数 2 至 43 在各扩围的有效排除情况统计表
从图 1、表 1 可看出，素数对可被其整除的自然数进行有效排除，并不是一拥而上的，而是循着素数 2、3、5…从小到大的次序“上场杀敌”的，当自然数扩延线未到该素数的有效排除线时，该素数以及大于该素数的素数均不能“上场杀敌”，只能叫作素数，还不能称为“起效素数”。比如，当自然数扩围为“2 2 至 3 2 －1”（自然数扩延线未到“9”）时，起效素数仅有“2”1 个，3 起各素数未能起到有效排除作用；当自然数扩围为“3 2 至 5 2 －1”（自然数扩延线未到“25”）时，起效素数仅有“2、3”2 个，5 起各素数未能起到有效排除作用；当自然数扩围为“5 2 至 7 2 －1”（自然数扩延线未到“49”）时，起效素数仅有“2、3、5”3 个，7 起各素数未能起到有效排除作用，此后依次类推。
意义2 对此线前的所剩留的自然数就是新生素数的认定。
偶数 2 是首位素数，其有效排除线是 4，而第二个素数 3 的有效排除线为 9。可知在素数 3 的有效排除线 9 前的自然数为 4 至 8，经素数 2 的有效排除后，剩有 5、7 此两个数，那么，5、7 此两个数便是新生素数。再比如，25 是 5 的有效排除线，已知 9 起至 25 之前的自然数为 9 至 24，经素数2、3 的有效排除后，剩有 11、13、17、19、23 共 5 个数，那么，此 5 个数便是继 5、7 之后的新生素数。又比如，49 是 7 的有效排除线，已知 25 起至 49之前的自然数为 25 至 48，经素数 2、3、5 的有效排除后，剩有 29、31、37、41、43、47 共 6 个数，那么，此 6 个数便是继 5、7、11、13、17、19、23 之后的新生素数。余例略。
事实表明，对于起效素数的平方数，可以这样说，向前看，它是素数的有效排除线；向后看，它是新生素数认定线。
意义3 是合理设置自然数扩延范围及扩延范围单位的重要依据。
如表 1 中的自然数扩延范围，就是以起效素数的有效排除线至下一个起效素数的有效排除线的前一个自然数为依据来设定的。它的合理性就在于将自然数的扩延与起效素数的有效排除作用紧密联系起来，可从中验证起效素数的有效排除效果。
所谓“张尔光素数筛法”，是指张尔光遵循自然数与素数同存相随以及循序逐增原理，为求证素数有效排除力而创立的将合数自然数有效排除出素数之外的一种方法。详见下文图 2、图 3、图 4 的证明。
从图 2、图 3、图 4 的证明中，可归纳出张尔光素数筛法有以下特点：
特点 1 将素数的平方数设定为“素数有效排除线”和“素数确定线”，准确表达了该素数与小于该素数平方根的素数之间的关系，表明所有新生素数均是不能被小于其平方根的素数整除的自然数。
特点 2 科学设置起效素数的扩围单位，使自然数扩延的量与被该起效素数的有效排除的量之比率，成为求得起效素数有效排除力的可靠依据。
特点 3 起效素数依照从小到大次序“登场”，体现了起效素数循序逐增原理，且从排除结果中又可看到新生素数的循序逐增规律。
特点 4 只筛去“前起效素数进行有效排除后所剩留的自然数乘于起效素数之积（即这部分合数自然数）”，避免了重复排除、无关排除，准确表达了起效素数的有效排除。
定义 4 素数的有效排除力 是指素数作为除数，将可被其整除的自然数排除出素数之外的实际能力，是素数有效排除的自然数的量占自然数总量的比率的反映。
素数的有效排除力，可分单个素数的有效排除力和整体素数的有效排除力。求得单个素数的有效排除力的方法是：应用循序逐增原理，设定每个起效素数的自然数扩围单位（以起效素数依序连乘之积为扩围单位的自然数的量），然后验证每扩围单位被该起效素数有效排除的自然数的量，扩围单位的自然数的量与被该起效素数有效排除的自然数的量的比率，就是该起效素数的有效排除力。整体素数的有效排除力，即是单个素数有效排除力相加总和。而事实上，在设定的自然数的扩延范围的条件下，单个素数有效排除力相加总和（即整体素数的有效排除力）表现出来的，其实就是起效素数的有效排除力总和。因为，素数是没有穷尽的，这也就是说，最后一个素数是不存在的，也是不可知的。再是，依照循序逐增原理，随着自然数的不断扩延，起效素数是循序逐增的。基于这个观点，可以说，整体素数的有效排除力与单个素数有效排除力相加总和、起效素数的有效排除力总和，此三个概念表达的是同一个意思。为此，笔者在后文论证自然数的扩延范围的素数的量时，基本使用“起效素数的有效排除力总和”此一概念。
现举例对单个素数的有效排除力进行证明。
例证1 求证素数 2 的有效排除力
已知 2 的有效排除线为 4。第一步，设定 2 的自然数扩围单位。因 2 是首位素数，故 2 的自然数扩围单位为 2 个自然数（见图 2）；
图2
第二步，依次将 2 起的自然数跟起效素数 2 相乘之积（即可被 2 整除的自然数）划去（见图 2）；
第三步，验证。从图 2 看出，每个扩围可被 2 整除而有效排除的自然数为 1 个。那么，得：
素数2 的有效排除力为
。
这个数字表明，从数4 起，每2 个自然数中，就有1 个自然数被素数 2有效排除出素数之外。假设 4 起的自然数总量为 1（即 100％），那么，表明从数4起，素数 2 可将
的自然数有效排除出素数之外。
例证2 求证素数 3 的有效排除力
已知 3 的有效排除线为 9。第一步，设定 3 的自然数扩围单位。因 2 × 3＝ 6，故 3 的自然数扩围单位为 6 个自然数（见图 3）；
第二步，依次将经素数 2 有效排除后剩留的自然数（实际上是全为奇数）跟起效素数 3 相乘之积（即可被 3 整除的自然数）划去（见图 3）；
图3（图中方框数是被前素数整除的数）
第三步，验证。从图 3 看出，每个扩围可被 3 整除而有效排除的自然数为 1 个。那么，得：
素数 3 的有效排除力为：
＝
这个数字表明，从数9 起，每6 个自然数中，就有1 个自然数被素数 3有效排除出素数之外。假设 9 起的自然数总量为 1（即 100％），那么，表明从数9起，素数 3 可将
的自然数有效排除出素数之外。
例证3 求证素数 5 的有效排除力
已知 5 的有效排除线为 25。第一步，设定 5 的自然数扩围单位。因 2 ×3 × 5 ＝ 30，故 5 的自然数扩围单位为 30 个自然数（见图 4）；
图4（注：图中偶数略，方框数是被前素数整除的数）
第二步，依次将经素数 2、3 有效排除后剩留的自然数跟起效素数 5 相乘之积（即可被 5 整除的自然数）划去（见图 4）；
第三步，验证。从图 4 看出，每个扩围可被 5 整除而有效排除的自然数为 2 个。那么，得：
素数 5 的有效排除力为：
＝
这个数字表明，从数25 起，每30 个自然数中，就有 2 个自然数被素数5 有效排除出素数之外。假设 25 起的自然数总量为 1（即 100％），那么，表明从数25起，素数 5 可将
的自然数有效排除出素数之外。
例证4 求证素数 7 的有效排除力
已知 7 的有效排除线为 49。第一步，设定 7 的自然数扩围单位。因 2 ×3 × 5 × 7 ＝ 210，故 7 的自然数扩围单位为 210 个自然数；
第二步，将可被 7 整除的自然数划去；
第三步，验证（见表 2）。
表2
从表 2 看出，每个扩围可被 7 整除而有效排除的自然数为 8 个。那么，得：
素数 7 的有效排除力为：
＝
这个数字表明，从数49 起，每210 个自然数中，就有 8 个自然数被素数 7 有效排除出素数之外。假设 49 起的自然数总量为 1（即 100％），那么，表明从数49起，素数 7 可将
的自然数有效排除出素数之外。
例证5 求证素数 11 的有效排除力
已知 11 的有效排除线为 121。第一步，设定 11 的自然数扩围单位。因2 × 3 × 5 × 7 × 11 ＝ 2310，故 11 的自然数扩围单位为 2310 个自然数；
第二步，将可被 11 整除的自然数划去；
第三步，验证（见表 3）。
从表 3 看出，每个扩围可被 11 整除而有效排除的自然数为 48 个。那么，得：
素数 11 的有效排除力为：
＝
这个数字表明，从数121 起，每2310 个自然数中，就有 48 个自然数被素数11 有效排除出素数之外。假设121 起的自然数总量为1（即100％），那么，表明从数121起，素数 11 可将
的自然数有效排除出素数之外。
表3
余例不一一详举。
为使人们能更好地理解素数的有效排除力及其规律，笔者将素数 2 至37 的有效排除力汇制了一个表（见表 4）。只要将表中各栏目数字做比较分析，就会发现三个规律。
表4 素数 2 至 37 的有效排除力的统计表
规律 1 经起效素数有效排除后“剩留的自然数的量”的续接规律
从表 4 看出，经起效素数 2 有效排除后的“剩留的自然数的量”1 个，记作为“（2 －1）”；经起效素数 2、3 有效排除后的“剩留的自然数的量”2 个，记作为“（2 －1）× （3 －1）”；经起效素数 2、3、5 有效排除后的“剩留的自然数的量”8 个，记作为“（2 －1）× （3 －1）× （5 －1）”，其余依此类推。
经起效素数有效排除后的“剩留的自然数的量”的续接规律可用下图（即图 5）表达出来。
图5
规律 2 “本素数有效排除的量”，正是前起效素数有效排除后的“剩留的量”。
如起效素数 3，其“本素数有效排除的量”，正是前起效素数 2 有效排除后的“剩留的自然数的量”1 个；起效素数 5 的“本素数有效排除的量”，正是前起效素数 2、3 有效排除后“剩留的自然数的量”2 个；素数 7 的“本素数有效排除的量”，正是前起效素数 2、3、5 有效排除后“剩留的自然数的量”8个，其余依此类推。
根据此规律，又已知各个起效素数的自然数扩围单位的量为起效素数依序连乘之积，那么，可求得各个素数的有效排除力定理：
素数 2 的有效排除力为：
素数 3 的有效排除力为：
＝
素数 5 的有效排除力为：
＝
素数 7 的有效排除力为：
＝
其余依此类推。
依照循序逐增原理，素数的有效排除力定理可表达为：
素数的有效排除力定理表明：素数越小，其有效排除力越强；素数越大，其有效排除力越弱。为此，请看表 5（素数 2 至 79 的有效排除力统计表）。
根据各素数的有效排除力定理，可求得素数整体的有效排除力总和定理 1：
依照循序逐增原理，将自然数整体设为 1，即
那么，可求得素数整体的有效排除力总和定理 2：
前文说到，素数整体的有效排除力总和即是起效素数的有效排除力总和。因此，上两个定理，也是起效素数的有效排除力总和定理。
规律 3 “自然数的量”大于“被有效排除的量”，而“被有效排除的量”大于“剩留的量”。其定理为：
2 × 3 × 5 × …× P n ＞｛［2 × 3 × 5 × …× P n ］－［（2 －1）× （3 －1）× （5 －1）× …× （ P n －1）］｝＞［（2 －1）× （3 －1）× （5 －1）× …× （ P n －1）］
此定理从一个侧面证明了素数没有穷尽的问题。
表5 素数 2 至 79 的有效排除力累计表
注：1.括号内的数取小数点后 6 位数；
2.第 22 个起效素数 79 的“素数有效排除力”以及“素数有效排除力累计”的分子式数字太长，故略。
当了解了起效素数有效排除力总和，对于前文说到的“三个不可理解性”的问题，应当找到了可解的答案。比如，“不可理解 1”的问题，为什么素数不可能于自然数30 起穷尽，其原因是在于素数2、3、5的排除量（即“
”、“
”、“
”），除了偶素数2 的排除量不存在重复排除量外，素数 3、5 的排除量均包含重复排除量。具体地说，“
n
×
”不是素数3 的真正有效排除量，而“
n
×
”才是其真正有效排除量。同理，“
n
×
”不是素数5 的真正有效排除量，而“
n
×
”才是其真正有效排除量。据此，可知，［（2 × 3 × 5）×
＋（2 × 3 × 5）×
＋（2 × 3 × 5）×
］＝ 8。每30 个自然数中，被素数 2、3、5 有效排除的自然数有 22 个，剩有 8 个自然数，即素数 2、3、5 此 3 个素数的有效排除力总和为
。所以，素数不可能于自然数 30 起穷尽。可见，素数不可穷尽问题与素数的有效排除力有着密切联系。下面就素数中“可穷尽”和“不可穷尽”问题做出证明。
证明 1 对素数没有穷尽问题的证明
首先，将自然数整体（包含于某高位数起的自然数整体）设为 1，那么，扩围的“自然数的量”可表达为“1 ＝
”。“1 －1 ＝ 0”等式告诉我们，要做到将于某高位数起的自然数全部（即 100％）有效地排除出素数之外，整体素数的有效排除力也必须达到 1（即 100％）。
根据上面求证到的“素数有效排除力总和定理”可推知，
或
“整体素数的有效排除力总和＜
”表明，自然数于某高位数起不可能被素数全部有效排除出素数之外，所以，素数不可穷尽。此证。
此证明跟“1 ＞（
＋
＋
＋……＋
）”证明的原理极相近。
笔者研究结果表明，对于上述没有穷尽问题，还可应用自然数扩延范围的素数的量与起效素数的有效排除力总和两者关系的原理做出证明。对此一证明，笔者将会在后文予以解读。
证明 2 对“偶素数可穷尽问题”的证明
证明方法 1 已知偶素数 2 的有效排除力为
，设 3 起的偶数总量为自然数总量的
，那么，得：
－
＝ 0。
所以，偶素数 2 的有效排除力可将大于 2 的偶数全部有效排除出素数之外，使偶素数于 3 起穷尽。此证 1。
证明方法2 已知自然数自4起，每2个自然数中有1个偶数，记作
，又知偶素数2 的有效排除力为
。那么，得：
－
＝ 0 。所以，偶素数 2的有效排除力可将 4 起自然数中的所有偶数全部有效排除出素数之外，使偶素数于 3 起穷尽。此证 2。
证明 3 对“个位数为 5 的奇素数可穷尽问题”的证明
证明方法 1 已知素数 5 的自然数扩围单位为 30（即 2 × 3 × 5 ＝ 30）个自然数，从6起每30个自然数中，个位数为5的自然数共有3个，表为
。其中，可被3 有效排除的1 个（见前文图3），表为
，可被5 有效排除的 2 个（见前文图4），表为
。那么，得：
－（
＋
）＝
－
＝ 0
所以，素数 3 和 5 可将 6 起的个位数为 5 的自然数全部有效排除出素数之外，使个位数为 5 的奇素数于 6 起穷尽。此证 1。
证明方法 2 已知，经素数 2、3 的有效排除后，从 25 起每 30 个自然数中剩有个位数为5的奇数为2个，记作
，又知素数5的有效排除力为
。那么，得：
－
＝ 0。
所以，素数 5 可将经素数 2、3 有效排除后剩留的个位数为 5 的奇数，全部有效排除出素数之外，使个位数为 5 的奇素数于 6 起穷尽。此证 2。
证明 4 对“奇素数不可穷尽问题”的证明
证明方法 1 将于某高位数起的奇数整体设为
。如要做到将某高位数起的奇数全部有效地排除出素数之外，奇素数的有效排出力总和须等于“
”。已知，整体素数的有效排除力总和＜1，减去偶素数 2的有效排除力
，求得奇素数的有效排除力总和。据此，可推知：
因此，奇素数不能做到将某高位数起的奇数全部有效排除出素数之外，使奇素数穷尽。因奇素数是不可穷尽，所以，素数不可穷尽。此证 1。
此证明跟“
＞（
＋
＋
＋……＋
）”证明的原理极相近。
证明方法2设奇数总量为数9起的自然数总量的
。又知，奇素数的有效排除力总和为“素数的有效排除力总和减去偶素数 2 的有效排除力
”，即：（＜ 1）－
＝（＜
）。
那么，得：
－（＜
）＝（＞ 0）。
所以，奇素数不能做到将某高位数起的奇数全部有效排除出素数之外，使奇素数穷尽。因奇素数是不可穷尽，所以，素数不可穷尽。此证 2。
对于奇素数没有穷尽问题，还可应用自然数扩延范围的素数的量与起效素数的有效排除力总和两者关系的原理做出证明。对此一证明，笔者将会在后文予以解读。
证明 5 对“个位数为 1、3、7、9 的奇素数不可穷尽问题”的证明
为使证明过程做到明白易懂，笔者遵循起效素数循序逐增原理，对被起效素数 2、3、5、7、11、13 有效排除后的自然数中的奇数结构情况进行解读。
第一步 素数 2、3、5 的有效排除情况。
已知素数 2 的有效排除线为 4，扩围单位为 2 个自然数，有效排除力为
。据此，可知30 个自然数为素数2 的15 个扩围单位，经 2 有效排除后，自数 4 起，每 30 个自然数中，15 个偶数被全部有效排除，剩有 15 个奇数，个位数为 1、3、5、7、9 的奇数各 3 个（见图 2）。
已知素数 3 的有效排除线为 9，扩围单位为 6 个自然数，有效排除力为
。据此，可知30 个自然数为素数3 的5 个扩围单位，自数9 起，每 30个自然数原剩有的 15 个奇数中，被素数 3 有效排除 5 个（个位数为 1、3、5、7、9 的奇数各 1 个）后，现仅剩有 10 个奇数，个位数为 1、3、5、7、9 的奇数各 2 个（见图 3）。
已知素数 5 的有效排除线为 25，扩围单位为 30 个自然数，有效排除力为
。据此，可知30 个自然数为素数5 的1 个扩围单位，自数25 起，每 30个自然数原剩有的 10 个奇数中，经 5 有效排除后，个位数为 5 的 2 个奇数已被全部有效排除，现仅剩有 8 个个位数为 1、3、7、9 的奇数，个位数为 1、3、7、9 的奇数各 2 个（见图 4）。
至此，可看出，经 2、3、5 的有效排除后，在剩留的自然数中，自然数的整体结构已发生了变化，已没有偶数和个位数为 5 的奇数，全为个位数为 1、3、7、9 的奇数，且个位数为 1、3、7、9 的奇数在自然数整体的分布上是均衡的。为此，笔者在这里画了一道区分线，将素数 7 的有效排除线 49 起的自然数整体称之为“2、3、5 状态”，即经 2、3、5 的有效排除后，所剩留下来的自然数在整体结构上形成的一种格局。
由此可知，当素数 7 起到有效排除作用时，自数 49 起，每 30 个自然数中，剩有个位数为1、3、7、9的奇数共8个，即为自然数总量的
，而个位数为1、3、7、9的奇数各2个，即各为自然数总量的
。这就告诉我们，个位数为1、3、7、9 的素数于某高位数起能否穷尽，完全在于 7 起的素数整体的有效排除力总和是否大于或等于
。如是，则必穷尽，如否，则证明不可穷尽。
第二步 7 起的素数有效排除情况。
已知素数 7 的有效排除线为 49，扩围单位为 210（即 2 × 3 × 5 × 7 ＝ 210）个自然数，是30个自然数的7倍。从表4可知，7的有效排除力为
。由此可知，经素数 2、3、5 有效排除后，自数 49 起，每 210 个自然数中，剩有个位数为1、3、7、9 的奇数为56（即8 × 7 ＝ 56）个，被7 有效排除8 个奇数（个位数为 1、3、7、9 的奇数各 2 个）后，现仅剩有 48 个奇数，个位数为 1、3、7、9 的奇数各 12 个。
已知素数 11 的有效排除线为 121，扩围单位为 2310（即 2 × 3 × 5 × 7 ×11 ＝ 2310）个自然数，是 7 的扩围单位的 11 倍。从表 4 可知，11 的有效排除力为
。由此可知，经素数2、3、5、7 有效排除后，自数121 起，每 2310 个自然数中，剩有个位数为 1、3、7、9 的奇数为 528（即 48 × 11 ＝ 528）个，被 11有效排除48 个奇数（个位数为1、3、7、9 的奇数各12 个）后，现仅剩有480 个奇数，个位数为 1、3、7、9 的奇数各 120 个。
已知素数 13 的有效排除线为 169，扩围单位为 30030（即 2 × 3 × 5 × 7 ×11 × 13 ＝ 30030）个自然数，是 11 的扩围单位的 13 倍。从表 4 可知，13 的有效排除力为
。由此可知，经素数2、3、5、7、11 有效排除后，自数 169 起，每 30030 个自然数中，剩有个位数为 1、3、7、9 的奇数为 6240（即 480 × 13 ＝6240）个，被 13 有效排除 480 个奇数（个位数为 1、3、7、9 的奇数各 120 个）后，现仅剩有 5760 个奇数，个位数为 1、3、7、9 的奇数各 156 个。
从以上事实看出，7 起的素数对经素数 2、3、5 的有效排除后所剩留的个位数为 1、3、7、9 的奇数的有效排除，在排除量上——即个位数为 1、3、7、9 的奇数被排除的量是均衡的，不存在偏重于某个个位数的现象。因此，经素数2、3、5 的有效排除后所形成的自然数的整体结构（即全为个位数为 1、3、7、9的奇数，且个位数为 1、3、7、9 的奇数在整体分布上是均衡的格局），没有因 7起素数的有效排除而发生大的变化。
第三步 素数 7 的有效排除线 49 起的新生素数情况
经验证，经素数 7、11、13、17、19、23、29、31 此 8 个素数的有效排除后，素数 7 的有效排除线49 至素数37 的有效排除线的前一位自然数1368（37 2 －1＝ 1368）之间，产生新生素数为204 个，其中个位数为1、3、7、9 的素数分别为51、51、53、49 个。这组数字表明，素数 7 的有效排除线 49 起，新生素数在个位数的结构上也是基本均衡的。
第四步 求证。
已知素数 2、3、5 的有效排除力之和为
＋
＋
＝
，又知素数整体有效排除力总和＜ 100％。据此可求得 7 起素数整体有效排除力总和为：
（＜
）－
＝（＜
）
已知经 2、3、5 的有效排除后，个位数为 1、3、7、9 的奇数为自然数总量的
，又知7起素数整体有效排除力总和为＜
。那么，得：
－（＜
）＝（＞ 0）。
因此，续素数 2、3、5 有效排除后，7 起的奇素数不能做到将某高数起的个位数为 1、3、7、9 的奇数全部有效排除出素数之外。所以，个位数为 1、3、7、9 的奇素数不可穷尽。此证 1。
证明方法 2 已知经 2、3、5 的有效排除后，个位数为 1、3、7、9 的奇数各为自然数总量的
，又知7起素数整体有效排除力总和为＜
。事实证明，个位数为 1、3、7、9 的奇数乘于个位数为 1、3、7、9 的奇数，其积均为个位数为1、3、7、9 的奇数。事实又证明，个位数为 1、3、7、9 的素数对个位数为 1、3、7、9 的奇数进行有效排除，在被排除的量上都是均衡的。因此，要将 7 起素数整体有效排除力总和（＜
），须均分为 4 支有效排除力分别对个位数为 1、3、7、9的奇数进行有效排除，其每支有效排除力为：（＜
）÷ 4 ＝（＜
）。
那么，得：
－（＜
）＝（＞ 0）。
因此，续素数 2、3、5 有效排除后，7 起的奇素数不能做到将某高数起的个位数为 1、3、7、9 的奇数其中之一全部有效排除出素数之外。所以，个位数为 1、3、7、9 的奇素数均不可穷尽。此证 2。
欧几里得在他的《几何原本》中记载了他对素数没有穷尽问题的证明。
欧氏证明公式为： K ＝ P 1 × P 2 × P 3 × ……× P n ＋ 1
具体证明如下：
☆假设素数只有有限的 n 个，从小到大依次排列为 P 1 ， P 2 ， P 3 ，……， P n ，设 N ＝ P 1 × P 2 × P 3 × ……× P n ，那么 N ＋ 1（即 K ）是素数或者不是素数。（笔者注：请注意，欧几里得说的是“从小到大依次排列”。）
☆如果 N ＋ 1 为素数，则 N ＋ 1 要大于 P 1 ， P 2 ， P 3 ，……， P n ，所以它不在那些假设的素数集合中。
☆如果 N ＋ 1 为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而 N 和 N ＋ 1 的最大公约数是 1，所以 N ＋ 1 不可能被 P 1 ， P 2 ， P 3 ，……， P n 整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。
☆因此，无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。
☆对任何有限个素数的集合来说，用上述的方法永远可以得到有一个素数不在假设的素数集合中的结论。
☆所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。
从欧几里得对素数没有穷尽问题的证明来看，似乎很完美，简直无懈可击。但是，以其设置的条件、素数与自然数同存相随的基本原理、自然数循序逐增的基本原理对其证明的过程和结果进行分析，就会发现欧氏证明存在的不严谨之处。
疑点解读 1 欧氏公式所求得的“集合”之外的“更大素数”，不是续接素数 P n 之后的下一个素数，这违背了欧氏本身提出的“从小到大依次排列”的条件，致使欧氏公式对再假设的证明不能进行下去。
依照欧氏提出的集合中的素数“从小到大依次排列”的条件，欧氏公式所求得的 K 或 K 的素因数（即“集合”之外的“更大素数”。下同），应是续接 P n 素数之后的下一个素数。这样才能使再假设的证明进行下去。具体地说，“ P 1 × P 2 ＋ 1”式子求得的 K 或 K 的素因数应是 P 3 素数；“ P 1 × P 2 × P 3 ＋1”式子求得的 K 或 K 的素因数应是 P 4 素数 ；“ P 1 × P 2 × P 3 × P 4 ＋ 1”式子求得的 K 或 K 的素因数应是 P 5 素数……可事实告诉我们，欧氏公式所求得的“集合”之外的“更大素数”，不仅不是续接 P n 素数之后的下一个素数，而且随着“集合”中素数的不断扩延，两者的间隙在不断扩大。正因为欧氏公式存在这样一个缺陷，因此，当根据第一次假设求得“集合”之外的“更大素数”后，再以这个“更大素数”为假设时，使再假设的证明陷入不能进行下去的困境。
疑点解读 2 证明点错位，欧氏证明原理对素数中“可穷尽”和“不可穷尽”问题不能做出科学解答。
笔者认为，“素数没有穷尽”问题的证明，应当包括对“偶素数为什么可穷尽”、“个位数为 5 的奇素数为什么可穷尽”、“个位数为 1、3、7、9 的奇素数为什么不可穷尽”诸问题的证明。如果说，素数没有穷尽的证明，是在于求得“集合”之外的“更大素数”，那么，依照这个观点，“偶素数可穷尽”、“个位数为 5 的奇素数可穷尽”的问题又该如何证明呢？很显然，欧氏的证明原理对此是无法解答的。
疑点解读 3 以求得“集合”之外的“更大素数”为依据，从而证明素数没有穷尽之问题，如此的证明缺乏说服力。
对这个疑点，笔者在本文第二章节已有详尽解读，无须赘言重复。
疑点解读 4 欧氏公式求得的素数不是同序的“自然数的扩延范围”中的自然数，不符合素数与自然数同存相随的原理。
所谓“自然数扩延范围”，是指遵循自然数的循序逐增原理，以规律有序的数学式子表达起、至两个自然数，此起、至两个自然数及其间隙全体自然数组成的整体。由于下一个扩延范围与上一个扩延范围存在延续的循序逐增关系，因此下一个扩延范围对于上一个扩延范围来说，就是“依序逐增的更大自然数的扩延范围”。
比如，1 至 10，10 至 100，100 至 1000，1000 至 10000……的扩延，就是自然数的有序扩延。因为，当将其表达为 1 至 10 1 ，10 1 至 10 2 ，10 2 至 10 3 ，10 3 至 10 4 ……的式子时，可看出，其自然数扩延范围是随着自然数 10 的次幂的循序逐增而有序地扩延，其下一个扩延范围相对于上一个扩延范围来说，不仅存在循序逐增的关系，而且是一个更大的自然数扩延范围。
再比如，1 2 至 2 2 ，2 2 至 3 2 ，3 2 至 4 2 ……的式子，其自然数扩延范围，是起、至两个自然数以正整数 2 次幂来表达的一种有序扩延。从其式子看出，其自然数扩延范围，是随着 2 次根（即正整数）的循序逐增而有序地扩延，其下一个扩延范围相对于上一个扩延范围来说，不仅存在循序逐增的关系，而且是一个更大的自然数扩延范围。
又比如，1 至“1 × 2”，“1 × 2”至“2 × 3”，“2 × 3”至“3 × 4”，“3 × 4”至“4 × 5”……的式子，其自然数扩延范围，是起、至两个自然数以两个乘式来表达的一种有序扩延。从其式子看出，其自然数扩延范围，是随着两个式子的乘数和被乘数的循序逐增而有序地扩延，其下一个扩延范围对于上一个扩延范围来说，不仅存在循序逐增的关系，而且是一个更大的自然数扩延范围。
总之，表达自然数循序逐增的扩延范围的数学式子很多，笔者不再举例冗述。
自然数是没有穷尽的。自然数没有穷尽的过程是自然数循序逐增的过程。笔者认为，素数既是自然数的一部分，更是将合数排除出去后剩留下来的自然数。据此，完全可以这样说，素数就是非合数的自然数。因此，对素数没有穷尽问题的证明，就是遵循自然数的循序逐增原理，对“依序逐增的更大自然数的扩延范围存不存在素数问题”的证明，即是对每一个“扩延范围”的全体自然数中存不存在素数问题做出证明，如果证明结果是“均存在素数”，那么，依照归纳法得出结论：随着自然数的不断扩延，素数没有穷尽。如果证明结果是于某个“扩延范围”起不再存在素数，则得出结论：随着自然数的不断扩延，素数于某个自然数起已穷尽。
根据欧氏公式可知，其“依序逐增的自然数扩延范围”是依照素数“从小到大依次排列”相乘加 1，即为：
设第一个扩延范围为“1 至 2 × 3 ＋ 1”，即“1 至 7”；
则第二个扩延范围为“2 × 3 ＋ 1 至 2 × 3 × 5 ＋ 1”，即“7 至 31”；
第三个扩延范围为“2 × 3 × 5 ＋ 1 至 2 × 3 × 5 × 7 ＋ 1”，即“31 至 211”；
第四个扩延范围为“2 × 3 × 5 × 7 ＋ 1 至 2 × 3 × 5 × 7 × 11 ＋ 1”，即“211 至2311”；
此后依次类推。
显然，假如欧氏公式所求得的“更大素数”是同序的扩延范围内的自然数，即“2 × 3 ＋ 1”求得的素数 7 是“1 至 2 × 3 ＋ 1”扩延范围的自然数，“2 × 3 × 5 ＋ 1”求得的素数 31 是“2 × 3 ＋ 1 至 2 × 3 × 5 × 7 ＋ 1”扩延范围的自然数，“2 × 3 × 5 × 7 ＋ 1”求得的素数 211 是“2 × 3 × 5 × 7 ＋ 1 至 2 × 3 ×5 × 7 × 11 ＋ 1”扩延范围的自然数，此后类推，那么，依照归纳法，可得出结论：根据“ K ＝ P 1 × P 2 × P 3 × ……× P n ＋ 1”这个式子求得的更大素数与此公式设置的自然数扩延范围同步相随，证明随着自然数的不断扩延，素数没有穷尽。
可是，事实告诉我们的是另一种答案：欧氏公式所求得的“更大素数”只有前面几个是同序的扩延范围内的自然数外，而自第 5 个式子起，欧氏公式所求得的“更大素数”随着其式子的“集合”中的素数扩延，不仅不是同序的扩延范围内的自然数，而且相差几倍、几十倍、几百倍，甚至几万倍、几亿倍、几亿亿倍。请看表 6。
表6 对欧几里得证明公式求得的K（部分）验证表
注：因条件所限，对 47 起的K没予以验证。
既然欧氏证明存在如此多的疑点，那么，欧几里得为什么会认定自己的证明是正确的呢？数学界及后人为什么会认同和接受欧氏证明呢？笔者认为，这当中原因除欧几里得本人受时代局限、数学界及后人迷信大数学家外，共同原因有四：
原因 1 没能将素数没有穷尽问题之研究，置于素数中“可穷尽”和“不可穷尽”现象去分析探讨，没能真正找出素数中“可穷尽”和“不可穷尽”现象的根本原因，而是简单地将求得“集合”之外的“更大素数”与证明素数没有穷尽问题画上等号，致使证明点错位。
前文说到，在没有穷尽的素数中，偶素数于 3 起已穷尽，而没有穷尽的是奇素数；在没有穷尽的奇素数中，个位数为 5 的奇素数于 6 起已穷尽，而没有穷尽的是个位数为 1、3、7、9 的奇素数。很显然，对素数没有穷尽问题的研究，应当包括此三种“可穷尽”和“不可穷尽”现象的研究。然而，令人遗憾的是，欧几里得和认同者们忽略了这方面的研究，将对素数没有穷尽问题的研究与素数中“可穷尽”和“不可穷尽”现象的研究割裂开来，甚至搁在一旁。因此，很自然地把“没有穷尽”理解为“更大”、“更多”，致力于求得“更大素数”的研究，并在“合乎逻辑”、“完美证明”上下功夫。而欧几里得的证明就是这样看似合乎逻辑的“完美证明”。事实证明，欧氏证明既没能对“可穷尽”和“不可穷尽”现象做出科学解答，也没有对素数没有穷尽问题做出正确证明，并非是完美证明。
事实上，古人之所以会提出“素数会不会穷尽”的问题，是因为他们发现“自然数表”中被“筛”去的自然数呈越来越多的趋势，而留在“表”中的自然数呈越来越少的趋势，他们看到的这种表面现象，使他们产生了一种担忧：到最后“表”中的自然数于某个高位数起会不会全部被“筛”去，没被“筛”去的自然数会不会最终为 0（即素数会不会穷尽）？诚然，这种担忧是正常的。然而，他们在研究“素数会不会穷尽”这个问题时，没把注意力放在“筛”这个现象上，忽略了对“筛”的现象，包括有效“筛”（即有效排除）、重复“筛”（即重复排除）、多次重复“筛”（即无关排除）的现象进行分析，没用心研究这里面的奥秘，而是把注意力全放在“到最后有没有素数存在”这个问题上，因而致使证明点错位。
原因 2 违反了人类认识事物的规律，漏缺了“再假设”这个环节，忽略了“集合”中素数“从小到大依次排列”这个条件。
人类认识事物的规律告诉我们，人类对某一无限事物的认识，是经过无数次对有限的认识来完成的，是通过“已知”去发现“未知”，使之成为新的“已知”，再以“已知”和新的“已知”去发现新的“未知”。欧几里得在设立素数没有穷尽问题的证明公式上，其不严谨之处恰恰在于违反了人类认识事物的规律性，没有考虑到能否经得起“再假设”的验证问题，同时忽略了自身设置的“集合”中素数“从小到大依次排列”这个条件，没有将这个条件检验“集合”之外的“更大素数”是不是续接“集合”中的 P n 素数的下一个素数，并由此验证证明的正确性。而认同者们也犯了同样的错误。笔者认为，如能将“再假设”与素数“从小到大依次排列”这个条件联系起来对欧氏证明做分析，就不难发现欧氏证明的不严谨之处。笔者对这个问题是这样分析的：首先，根据素数“从小到大依次排列”这个条件，欧氏公式所设的有限个素数 n ，即 n 个素数（“集合”中的所有素数）是人类已知并可做到“从小到大依次排列”的素数，显然是不包括未知素数。第二步分析，当根据已知的 n 个素数求得“集合”之外的“更大素数”时，很自然会以求得的这个“更大素数”提出再假设——素数至此“更大素数”会不会穷尽？诚然，如要将此“再假设”证明下去，此“更大素数”与“集合”中的 P n 素数的续接问题（即此两个素数之间能否做到“从小到大依次排列”）自然而然地要摆在面前，从中验证欧氏证明的正确性。但是，认同者们没有这样做，因而也就不可能发现欧氏证明的不严谨之处。
原因 3 自觉或不自觉地掉进了“已知”的“陷阱”。
依照素数“从小到大依次排列”这一条件，“集合”之外的素数都应是“未知”的（包括已知却不能做到从小到大依次排列的素数，都应属于“未知”范围）。由于求得“集合”之外的这个“更大素数”不是续接“集合”中的 P n 素数的下一个素数，因而此两个素数之间必定存在若干个素数。此若干个素数是属于“未知”素数。笔者说欧几里得和认同者自觉或不自觉地掉进“已知”的“陷阱”，是指他们将“集合”之外的“未知”素数，当“已知”素数来使用。这在于在验证欧氏证明的过程中，由于用于例证式子的“集合”中的素数直到求得“集合”之外的“更大素数”，都是“已知”圈内的低位素数，当以第一次假设求得“集合”之外的“更大素数”提出再假设时，忘记第一次假设的式子中素数至求得“集合”之外的这个“更大素数”之间的若干个素数是“未知”素数，自觉或不自觉地按原本已知素数从小到大依次排列，将证明续接下去，最后依照归纳法得出结论：欧氏证明完美正确。
试举例说明，现假设素数于第 10 个素数（即 P n 素数为 31）已穷尽，求得 K 为 200560490131。经验证 200560490131 为 47 × 4267244473 相乘之积。47 是“集合”之外的素数。按理说，位于 31 至 47 之间的“37、41、43”此 3 个素数是“未知”素数，但当再假设素数于“47”这个“集合”之外的“更大素数”穷尽并予以证明时，由于“37、41、43”此 3 个素数是原本已知素数，便很自然忘记不能将“37、41、43”此 3 个素数作为“已知”素数来使用的“禁忌”，还是按原本已知素数出现在“再假设”的证明中，其证明结果当然跟第一次假设的证明结果一样——可求得“集合”之外的“更大素数”。
原因 4 对合数、素数的认识只偏重于概念化的理解上，没能以“打破砂锅问到底”的精神，对“合数是被什么数排除出素数之外”的问题作深层次的研究。
我们知道，合数和素数是自然数的组成部分。据此，对合数、素数又可这样解读：合数就是被排除出素数之外的自然数（1 除外），素数就是将所有合数排除出去后剩下的大于 1 的自然数。这就提出了一个值得思考和研究的问题——“究竟是什么数将合数排除出素数之外的呢？”从事实看出，将合数排除出素数之外的，这既有合数也有素数。据此，又提出了值得思考和研究的第二个问题——“最先最直接将合数排除出素数之外的究竟是合数还是素数呢？”换言之，“谁才是‘第一刀捅死’合数的‘真正凶手’呢？”由此又引发出第三个值得思考和研究的问题——“弄清楚这个问题，这对于揭开素数中‘可穷尽’和‘不可穷尽’现象的奥秘是不是有着重要意义呢？”我想，假如欧几里得和后人能这样问下去，研究下去，最终完全能够找到素数没有穷尽问题的正确答案的。然而，他们没能这样做，这又不能说不是数学研究史上的一件憾事。
在此，笔者觉得有必要提出来的，就是反证法（即寻求“集合”之外的“更大的”该类数的证明方法）适不适用于证明“数（包括素数）的没有穷尽问题”，这是值得商榷的一个问题。因由是：其一，“没有穷尽”四字已清楚地告诉人们，该类“更大数”之后还有比之更大的该类数，永远只有“更大”的该类数，没有最后的最大的该类数。而反证法（即欧氏证明方法）的证明结果，实际上是改换为“‘集合’之外存在比‘集合’内还要大的该类数”的语言来解读“没有穷尽”四字之意思。很显然，这种证明结果对于“没有穷尽”四字来说，已没有什么实际意义。其二，“数的没有穷尽问题”，要人们回答的是“为什么不可穷尽”之问题，而不是“有没有穷尽”之问题。因为，“没有穷尽”四字已对“有没有穷尽”之问题做出了十分明确的回答。其三，不要忘了这样一个常识问题：将原先 3 个人吃的总饭量分给 2 个人吃时，2 个人中必有一个人吃的饭量大于原先 3 个人的单个人饭量。同理，不论是自然数、偶数、奇数，还是素数，只要按“从小到大依序排列”相乘，当将 3 个以上的数相乘之积（或加 1 之和）分解为 2 个因数时，必有一个因数大于“集合”中的数（即不在“集合”内的数）。其四，素数没有穷尽问题的完整内涵应包括素数中“可穷尽”和“不可穷尽”问题。因此，素数没有穷尽问题的证明点应是对素数中“可穷尽”和“不可穷尽”问题做出解答，并不是求得“集合”之外的更大素数。如果说，“不可穷尽的数”之问题的证明是求得“集合”之外的更大的该类数，那么，“可穷尽的数”之问题的证明是求得“集合”之内的更小的该类数，还是求得“集合”之外的更小的该类数呢？！
