第3章
线性状态模型与一维非线性观测模型的特征函数滤波器

3.1　引言与存在问题分析

在随机控制领域，针对高斯系统的状态估计方法，有相当多的滤波理论是以卡尔曼滤波为基础发展起来的 ^[1-3] 。卡尔曼滤波一直是最常用的线性状态估计方法之一，其主要思想是设计一个合适的滤波器增益矩阵，使得估计误差的协方差矩阵最小 ^[4-5] 。当过程噪声和测量噪声均为零均值高斯白噪声时，卡尔曼滤波器是在最小方差意义下的最优无偏估计器。然而，针对存在不确定系统参数、非线性、时滞及非高斯噪声的系统，传统的卡尔曼滤波方法显得力不从心，甚至会出现失效现象。

为解决这些问题，近几十年来，一些学者致力于非线性高斯系统滤波方法的研究，并基于经典卡尔曼滤波建立起了一些滤波方法，如EKF、UKF、CKF、STF、H∞/H2滤波方法 ^[6-10] 。其中应用最为广泛的是EKF方法，Wen将EKF推广应用于系统输出数据在网络传输过程中存在丢包、系统非线性为随机的动态系统 ^[11] ，提出的利用多项式拟合的滤波方法可适用于非线性较强的高斯系统 ^[12] 。然而，由于这些滤波方法都是以估计误差的均值和协方差为性能指标进行设计的，因此它们都受限于高斯系统。

针对更为广泛的随机系统，因为分布函数或概率密度函数能够有效反映随机数据的统计特征，所以一些学者在此方向建立起更加适用的滤波方法。其中，粒子滤波器（PF）已较好地解决了非高斯随机系统状态的估计问题 ^[13-14] ，PF通过随机采样方法获取状态的样本点，以尽可能逼近系统分布，从而对系统状态进行估计 ^[15] 。对于复杂的非线性非高斯系统，PF需要大量的样本点，这会导致计算量过大，而且易出现粒子退化现象 ^[16] 。为了有效地解决非线性非高斯系统的滤波和控制问题，Guo提出了基于概率密度函数的形状控制方法，并通过最小化估计误差的熵得到最优增益矩阵，用以设计滤波器 ^[17] 。相比于其他滤波方法，Guo提出的最小化熵滤波方法在降低滤波误差随机性方面，采用了一种更有效、更普适的性能指标。然而，由于该方法仅仅利用递归方法近似求解滤波增益矩阵，而且利用概率密度函数直接设计滤波器非常复杂，因而影响了它在实际中的应用。为了解决基于概率密度函数的滤波方法存在的问题，文献[18,19]针对此类动态系统，利用特征函数代替概率密度函数，提出了一种基于特征函数的滤波方法 ^[18] 。该方法将原有的对数运算简化为加法运算，并且容易获取滤波器的增益矩阵，从而降低了滤波方法的复杂性；并且针对文献[17]设计的性能指标不满足实际距离的意义，文献[18,19]通过定义Kull-Leibler距离重新设计了性能指标，使得该滤波方法更具有实际意义。

因此，基于文献[17,18,19]，本章的主要贡献在于：将基于统计密度函数采样的粒子滤波器设计思想与具有实时递归特性的卡尔曼滤波器设计思想相结合，并将概率密度函数等效地转换成特征函数，利用特征函数所具有的良好运算能力构造新的性能指标函数，设计具有实时递归能力的卡尔曼滤波器，为解决一般非线性非高斯系统的状态估计问题构建一种新的滤波器设计形式。 9AOfwaetUGobi3Y2OKzHBsPckwl4XfW6HItIuR2eVnSrLt6dm6QTrLjQ4eAg92kU