2.5　特征函数及其基本性质

本节主要介绍特征函数的定义、特征函数的性质、常用概率密度函数的特征函数、特征函数的应用、中心极限定理、利用特征函数求估计量的概率密度函数等。

2.5.1　一维特征函数

1．特征函数的定义

（1）离散随机序列的特征函数的定义：设一维离散随机序列 x ( k )∈ R ¹ 的离散事件概率为 P { X = x ( k )}= p _k ，则该离散随机序列的特征函数为

（2）连续随机变量的特征函数的定义：设一维随机变量 x ∈ R ¹ 的概率密度函数为 f ( x )∈ R ¹ ，则该随机变量的特征函数 φ _x ( k ) 定义为核函数 e ^ikx 的期望值。

随机变量 x 的特征函数的本质是随机变量 x 的概率密度函数 f ( x ) 的Fourier变换。任何概率密度函数都存在特征函数。

例2.5.1 设随机变量 X 服从退化分布，即

求该随机变量 X 的特征函数。

由离散随机序列的特征函数的定义

有

例2.5.2 设随机变量 X 服从参数为 p 的0-1分布（两点分布），求其特征函数。

由

可得

例2.5.3 设随机变量 X 服从参数为 n , p 的二项分布，求其特征函数。

由离散随机序列特征函数的定义可得

例2.5.4 设随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，求其特征函数。

由离散随机序列特征函数的定义可得

例2.5.5 设随机变量 X 服从[− a , a ] 均匀分布，求其特征函数。

服从[− a , a ] 均匀分布的随机变量的概率密度函数为

根据连续随机变量特征函数的定义，当 t ≠0 时，有

当 t =0 时

例2.5.6 设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布，求其特征函数。

根据连续随机变量特征函数的定义，有

2．特征函数与概率密度函数的关系

已知一维随机变量 x 的概率密度函数 f ( x )，人们往往关心其特征值（如均值、方差）。特征值提供了概率密度函数最重要的信息，但不能确定概率密度函数的所有性质。特征函数与概率密度函数是一一对应的。概率密度函数由特征函数的反Fourier变换唯一确定。

也就是说，概率密度函数 f ( x ) 与其特征函数 φ _x ( k ) 是等价的。

3．特征函数的性质及证明

1）特征函数的性质

（1） φ _x (0)=1

（2）| φ _x ( k )|≤1

（3）

（4）若 y = ax + b ，其中 a , b 为常数，则

（5）独立随机变量和的特征函数为各变量特征函数的积，即设 x , y 独立，则

（6）若 E { x ^l } 存在，则 φ _x ( t ) 为 l 次可导，并且对1≤ m ≤ l ，有

2）部分特征函数性质的证明

性质（5）： 独立随机变量和的特征函数为各变量特征函数的积，即设 x , y 独立，则

证明： 由于 x 与 y 之间是相互独立的，因此， e ^ikx 与 e ^iky 之间也是相互独立的，从而有

可以推广到 n 个独立随机变量之和 z = x ₁ + x ₂ +⋯+ x _n 的特征函数，即

本性质（5）证毕。

利用反Fourier变换可求出随机变量 z 的概率密度函数：

性质（6）：若 E { x ^l } 存在，则 φ _x ( t ) 为 l 次可导，并且对1≤ m ≤ l ，有

证明：因为 E { x ^l } 存在，所以有 。

于是含参数变量 k 的广义积分

可以对 m 求 l 次导数。

所以，对0≤ m ≤ l ，有

令 k =0，即可得到

本性质（6）证毕。

4．常用概率密度函数的特征函数（表2.5.1）

5．特征函数的应用

既然概率密度函数与特征函数是一一对应的，为什么还要引入特征函数呢？这是因为很多问题直接用概率密度函数不易处理，而利用特征函数进行处理就非常方便。

1）求均值和方差（以高斯分布为例）

设正态随机变量 x 的特征函数为

（1）求取均值。

（2）求取方差。

类似地，可以很容易求出各阶中心矩。

2）求概率密度函数的极限（以二项分布为例）

特征函数为

取极限 p →0和 N → ∞，ν = pN 为常数。

即二项分布在实验次数很多且均值保持不变时，趋向于泊松分布。同样可以证明 ν 很大时，泊松分布趋向于高斯分布。

3）求独立随机变量之和的概率密度函数

假设有两个独立的高斯随机变量 x 和 y ，均值为 μ _x 和 μ _y ，方差为 和 ，则 z = x + y 的特征函数为

这正是均值 μ _z = μ _x + μ _y ，方差 的高斯分布的特征函数。

同样可证泊松变量之和仍服从泊松分布。

4）中心极限定理

定理2.5.1： 假设有 n 个独立随机变量 x _j ，均值与方差分别为 μ _j 和 。在大 n 极限下， 为高斯随机变量，均值和方差分别为 和 。

证明： 定义

则有

将 y _j 的特征函数 ϕ _j ( k ) 进行泰勒展开：

在大 n 极限下，忽略高阶项，可得

再定义

则 z ^′ 的特征函数为

即 z ^′ 为均值为0，方差为 σ ² / n 的高斯分布。变换回 ，则 z 为均值为 ，方差为 σ ² 的高斯分布。

n 有限时，中心极限定理成立的条件是每个 x _j 的贡献都很小，即 z 由大量微小贡献组合而成。

例如，很多地方经常用12个(0,1]均匀分布的随机变量之和来近似高斯分布。

如果某个或某几个 x _i 的贡献非常大，则求和的结果将明显偏离高斯分布。

5）求估计量的概率密度函数

（1）以指数分布

为例。其参数 ξ 的最大似然估计量为

其分布可以用特征函数法求得。

由于 ϕ _x ( k )=1/(1− ikξ )，所以

的特征函数为

通过反Fourier变换可得到 z 的概率密度函数：

这是伽马分布，在 n 很大时趋向于高斯分布。

（2）要求取寿命 的平均值，可以采用如下方式：

也可以利用概率密度函数进行积分来求取：

（3）对于 λ =1/ τ 的最大似然估计量 ，求取其期待值：

可以先求 的分布函数：

再用该函数求取期待值：

可以看出 不是无偏估计量。

（4）求估计量期待值的置信区间。利用特征函数法求出估计量（如 ）的概率密度函数。有了估计量的概率密度函数（如 ），很多问题都可以方便地进行处理，如求取置信区间。

对于给定的 α ， β 以及观测值 ，通过

求得置信区间[ a , b ]。

2.5.2　二维随机变量的特征函数

1．定义

连续型：设( X , Y )是一个二维随机变量，其分布函数为 F ( x , y )， x , y ∈ R ¹ t ₁ , t ₂ 为任意实数，记

称 φ ( t ₁ , t ₂ ) 为( X , Y )的特征函数。

离散型：

其中， P ( r , s )= P { X = r , Y = s }。

设有 n 维随机变量

则称

为 n 维随机变量( X ₁ , X ₂ ,⋯, X _n ) 的特征函数。

2．二维随机变量特征函数的性质

性质1： 设随机变量( X , Y ) 的特征函数为 φ ( t ₁ , t ₂ )，则有

（1） φ (0,0)=1，并且对任意 t ₁ , t ₂ ∈ R ，有| φ ( t ₁ , t ₂ )|≤ φ (0,0)=1；

（2） ；

（3） φ ( t ₁ , t ₂ ) 于实平面上一致连续；

（4） φ ( t ₁ ,0)= φ ( t ₁ )， φ (0, t ₂ )= φ ₂ ( t ₂ )。其中， φ ₁ ( t ₁ ）， φ ₂ ( t ₂ ) 分别为 X 和 Y 的特征函数。

性质2： 设 a ₁ , a ₂ , b ₁ , b ₂ 皆为常数，( X , Y ) 为二维随机变量，则随机变量( a ₁ X + b ₁ , a ₂ Y + b ₂ ) 的特征函数为 。

性质3： 两个二元分布函数恒等的充分必要条件是它们的特征函数恒等。

性质4： 设随机变量( X , Y ) 的特征函数为 φ ( t ₁ , t ₂ ), a ₁ , a ₂ , b 为任意常数，则 Z = a ₁ X + a ₂ Y + b 的特征函数为

定理2.5.2： 随机变量( X , Y ) 服从二维正态分布的充分必要条件是 X 与 Y 的任一线性组合

aX + bY + c

服从一维正态分布。其中， a , b , c 为任意常数，且 a , b 不全为0。

3．相互独立随机变量的特征函数

定理2.5.3： n 个随机变量相互独立的充分必要条件为( X ₁ , X ₂ ,⋯, X _n ) 的特征函数满足

推论2.5.1： 设 X ₁ , X ₂ ,⋯, X _n 为 n 个相互独立的随机变量，令 ， ，则 Y 和 Z 的特征函数分别为

注：对 x , y ∈ R ⁿ ，也有类似描述。 Cr9w6oKSFqZpZRZuIj1XtM4EQP9alRGr2M3PzwqVFhmW8+fKHCj3mbQPA7YeP8J7