下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
随着微波、毫米波集成电路不断向着小型化方向发展，过孔互连结构作为三维集成电路中的重要组成部分，起着信号传输的作用，其传输特性是保证电磁信号能够有效传输的关键因素。电路系统在低频情况下工作时，寄生效应可以忽略不计。但随着频率的增大，过孔互连结构的不连续性带来的寄生效应会导致信号反射、辐射、衰减和失真，严重影响电磁信号的传输质量，对整个系统性能造成负面影响。因此，过孔互连结构的高效建模对多层LCP电路板的设计与优化有着十分重要的理论与应用价值。
过孔互连结构的准确建模对互连电路的设计来讲是最为关键的一步。集总建模方法是过孔互连结构建模的起点，长期以来一直应用于多层电子封装基板的电气建模，集总建模主要包括电路拓扑结构的选择和模型参数的拟合两个步骤。常见的电路拓扑结构有L型等效电路、T型等效电路、П型等效电路；模型参数的拟合主要有3种方法：数值近似法、时域频域测量法、仿真计算法。集总建模以其简便、高效等优点，能够正确地反映出建模对象在一定带宽内的电气特性 [23] 。
本节针对CPWG-SL-CPWG过孔互连结构，通过对П型等效电路模型进行研究，推导出过孔寄生电阻、寄生电感、寄生电容的计算公式。为进一步提高电路求解速度，在计算寄生电容时引入一种快速收敛解析式，对集总电路模型进行优化，从而建立过孔互连结构的快速收敛等效电路模型，通过仿真分析对等效电路模型的有效性和准确性进行验证。
鉴于过孔互连结构电气建模的重要性及集总建模方法的高效性，本节针对CPWG-SL-CPWG过孔互连结构进行集总电路模型的构建。在该互连结构中，过孔是整个电路的核心，因此首先考虑最简单的情况，针对单一平行金属板对过孔结构进行分析。
过孔的基本结构如图2.23所示，其主要由过孔柱、焊盘、反焊盘、介质基板、金属板5部分构成。其中，过孔半径为 a ，反焊盘半径为 b ，两个相邻金属板之间的距离为 h ，金属板厚度均为 t ，介质基板的相对介电常数为 ε r 。在对过孔结构进行建模分析时，为了更好地探究电磁波在过孔结构内的传输模式，将过孔结构分为三部分：第一部分（Part1）为顶层金属板与过孔之间的区域；第二部分（Part2）为两个金属板之间的区域；第三部分为底层金属板与过孔之间的区域（Part3）。Part1等效为类同轴结构，焊盘可看作同轴线的内导体，金属板可看作同轴线的外导体，因此电磁波在反焊盘区域内传输的是TEM波。在Part2中，信号又转换为TM波传输，Part3与Part1结构相同，信号在此区域内传输的也是TEM波。此外，两个相邻金属板和过孔共同形成了径向波导结构，流经过孔的高频电流激励出的径向波与TEM波、TM波（横磁波）相互交织，呈现更加复杂的电磁模态传输机制 [24] 。
图2.24所示为过孔的寄生参数分布，当过孔结构中传输高频信号时，由于过孔本身的损耗及过孔内部瞬态电流的不断变化，会等效成寄生电感 L 和寄生电阻 R 的作用。焊盘与过孔之间的反焊盘区域会产生寄生电容 C p [24] ，过孔与两个相邻金属板之间的容性耦合电流会产生寄生电容 C b 。随着信号频率的增大，过孔寄生效应的影响越发突出，尤其是对于宽带高频信号，其寄生现象更为严重。
图2.23 过孔的基本结构
图2.24 过孔的寄生参数分布
根据上述对过孔的寄生参数的分析可知，在高频情况下可以采用电抗元件对过孔结构进行电路等效，建立图2.25所示的П型等效电路模型。该模型既包含用于描述电场和磁场能量的寄生电容和寄生电感，又包含用于刻画平行金属板中径向波导模式传输特性的寄生电阻，可以有效模拟过孔互连结构中的电磁模式传输机制。
图2.25 П型等效电路模型
（1）寄生电阻。
在П型等效电路模型中，寄生电感和寄生电阻可依据现有的方法进行分析 [25,26] 。过孔中产生的寄生电阻 R 可以分解为低频时的直流电阻 R DC 和高频时的交流电阻 R AC ，其公式为
（2.1）
与普通互连线一样，在低频情况下，过孔内的电阻是恒定的。针对普通圆柱形过孔， R DC 仅与过孔半径 a 、高度 h 和填充金属的电阻率 ρ 有关，根据欧姆定律， R DC 可表示为
（2.2）
式（2.2）中的 ρ 为电阻率，由于铜的电阻率较小，故通常用铜来填充过孔，其电阻率 ρ =1.75×10 −8 Ω⋅m。
随着信号传输频率的增大，高频电流逐渐趋向于过孔表面，这种现象被称为趋肤效应。它的存在会导致流经过孔导体中的载流子横截面积变小，电流密度随着过孔导体的深度迅速下降，过孔导体中的电阻也随之增大，由此产生的寄生电阻可表示为
（2.3）
式中，
为真空中的磁导率，
。
（2）寄生电感。
过孔的寄生电感可以采用自由空间中的电感分析方法进行计算。由于高频信号激发的电磁场主要存在于介质与导体之间的区域，因此过孔中的寄生电感 L 可以分解为外部电感 L out 和内部电感 L in 。外部电感与过孔的几何结构强相关，且受频率的影响较小，内部电感则和过孔内的电流分布有关。趋肤效应随着信号频率的增大越发显著，而趋肤深度却极小，这导致过孔内的电流紧贴在导体表面。因此，过孔的内部电感远远小于外部电感。高频情况下，寄生电感会随着频率的增大而减小，但是变化幅度很微弱，寄生电感 L 、内部电感 L in 和外部电感 L out 可分别表示为
（2.4）
（2.5）
（2.6）
（3）寄生电容。
寄生电容是过孔结构中最重要的寄生参数之一，它决定着信号传输的质量。根据图2.24过孔的寄生参数分布可知，在进行寄生电容的求解时，理论上可将其分为两部分进行分析。第一部分为同轴电容 C p ，即由于过孔焊盘和平行金属板都存在一定的厚度，在它们之间的反焊盘区域会形成寄生电容，即使在没有焊盘的理想情况下，过孔柱和金属板之间也会存在同轴电容；第二部分为层间电容 C b ，即过孔柱与相邻金属板之间形成的寄生电容。
因为Part1和Part3都属于类同轴结构，所以电磁波都是以TEM波的形式传播的。同轴电容 C p 的求解相对简单，可采用场的方法进行分析，其计算表达式为
（2.7）
相较于同轴电容
C
p
的经验公式，层间电容
C
b
的计算显得尤为关键，且更具有挑战性。ZHANG Y J等人提出的层间电容
C
b
的解析表达式受到了广泛关注
[27]
。首先将整个过孔结构看作类同轴结构，过孔柱是内导体，平行金属板是变形的外导体。取半径为
R
的圆柱形区域作为求解的虚拟边界，此时过孔结构可视为一个有界同轴谐振腔。在反焊盘区域中传输的仍然是TEM波，可通过等效性原则将TEM波等效为磁环流，如图2.26所示，推导出磁流环
的表达式为
（2.8）
图2.26 有界同轴谐振腔中的磁环流示意图
式中，
V
0
表示反焊盘和过孔之间的电压；
是狄利克雷函数。
由于电磁波在Part2中传输的是TM波，考虑到TM波在计算区域虚拟边界处的多径散射，推导出有界同轴谐振腔中磁环流的格林函数为
（2.9）
式中，
为径向函数（
r
的值为
a
）
（2.10）
（2.11）
（2.12）
式中，
和
分别为
和
时的反射系数；
为第二类零阶汉克尔函数；
为第二类一阶汉克尔函数；
为第一类零阶贝塞尔函数；
为第一类一阶贝塞尔函数；min{
ρ
,
ρ
'}≥
ρ
≥max{
ρ
,
ρ
'}；PEC表示理想电导体边界；PMC表示理想磁导体边界；PML表示完全匹配层边界。
通过将磁流环
与格林函数
进行卷积可以得到有界同轴谐振腔的电磁场，从而推导出流经过孔表面的垂直电流
I
z
。根据电流连续定理可知，两个平行金属板之间产生的位移电流
为过孔垂直电流提供了返回路径，它们之间的关系为
（2.13）
过孔柱与金属板之间形成的层间电容 C b 定义式为
（2.14）
综合以上分析，根据式（2.13）及式（2.14），可以推导出层间电容 C b 的最终计算表达式为
（2.15）
式（2.15）的有效计算频率高达100 GHz，但表达式过于复杂，利用贝塞尔函数的渐近表达式可以将其简化为
（2.16）
式中，
表示在平行金属板之间传输的TM波的径向截止波数
（2.17）
由此可以推导出层间电容 C b 的计算公式，但式（2.16）中无穷级数求和上限的合理截断成为一个亟待解决的问题。一方面，由于不同过孔结构的大小和材质均存在差异，其计算结果将受到过孔半径、反焊盘半径、介质层厚度和介电常数等因素的影响。例如，当过孔半径和反焊盘半径比较接近时，汉克尔函数的商随着 n 的递增衰减较慢，从而影响级数的收敛性。同样，较大的介电常数或板间高度会导致 k n 的增加速度减缓，从而降低级数的收敛速度。另一方面，若公式中级数截断过早，则很可能导致 C b 的计算值比实际值偏小。除此之外，对于具有两个汉克尔函数的商，如果截断得太迟，就有可能出现算数下溢问题，故截断数 N 的合理选取显得尤为重要。为了精确求解 C b ，并且克服级数求和过程中存在的截断不当问题，GAO S P等人对式（2.16）进行了改进 [28] ，首先将式（2.16）分成 S n 和 F n 两个部分，即
（2.18）
式中，
和
分别表示为
（2.19）
是一个衰减因子（AF），它表明
F
n
的收敛速度比
S
n
更快。所以先从
S
n
入手，推导出它的封闭表达式为
（2.20）
鉴于 F n 的收敛速度较快，很难推导出它的封闭表达式。于是提出一种较为合适的截断方法，利用第二类汉克尔函数的相关性质，可将AF等效为一个易于求解的渐进表达式，AF的相似公式为
（2.21）
从而可以得到层间电容 C b 的快速收敛解析式为
（2.22）
式中， N 为无穷级数求和上限的截断数，其表达式为
（2.23）
ceil函数是一种信号操作，将输入信号上升到最近的更高整数，把输入信号向上舍入到最近的整数。
综上所述，通过将式（2.16）分为 S n 和 F n 两部分，对快衰减部分 S n 推导出其封闭表达式，对慢衰减部分 F n 给出其截断相似公式，最终对式（2.16）的收敛性进行了改进，得到了快速收敛解析式（2.22），避免了因求和级数的截断不当导致的计算结果偏低和算数下溢等现象，同时简化了计算过程。该解析式可直接集成到现有的电子设计自动化工具中，用于快速SI和PI分析。
基于上述对过孔结构的寄生参数分布及П型等效电路模型的分析，对CPWG-SL-CPWG过孔互连结构进行快速收敛等效电路模型的构建与求解。根据多层LCP电路板的建模流程，首先将多层LCP电路板中的过孔互连结构划分为若干平行金属板子结构，利用П型集总参数等效电路对各子结构进行精确建模，然后基于微波网络级联法得到整个过孔互连结构的等效电路模型。利用MATLAB软件编写程序对推导出的寄生电阻、寄生电感、寄生电容的解析公式进行寄生参数的计算，将计算结果代入等效电路模型，利用ADS软件对等效电路模型进行搭建及仿真分析，最终得到整个过孔互连结构的 S 参数。
为了简化建模步骤，首先对CPWG-SL-CPWG过孔互连结构进行区域划分。由于该互连结构关于Metal 3 的SL呈对称形式，因此在进行等效电路模型的构建时，只需研究其几何结构单边的寄生参数分布情况。为了更直观、更简洁地表示互连电路的物理模型结构参数，选取过孔互连结构的剖面图进行寄生参数的讨论分析，如图2.27所示。本课题所设计的过孔互连结构共有4层金属板，用Metal 1 、Metal 2 、Metal 3 、Metal 4 表示。其中， R via 、 R p1 、 R p2 、 R ap1 、 R ap2 表示过孔半径、CPWG的焊盘半径、SL的焊盘半径、CPWG的反焊盘半径、Metal 2 的反焊盘半径， t 表示金属板的厚度， h 1 表示Metal 1 与Metal 2 之间的距离， h 2 表示Metal 2 与Metal 4 之间的距离。
在分析该互连结构寄生参数分布情况的过程中，首先将其拆分成2个单层平行金属板结构，第1个平行金属板结构为Metal 1 到Metal 2 之间的过孔段及其周围的区域，第2个平行金属板结构为Metal 2 到Metal 4 之间的过孔段及其周围的区域。然后对这2个平行金属板结构分别进行寄生参数研究和等效电路模型构建，最后通过电路级联得到整个多层LCP电路板过孔互连结构的等效电路模型。
图2.28所示为第1个平行金属板结构的寄生参数分布，其中，同轴电容 C p1 表示该过孔段顶部CPWG焊盘与Metal 1 之间的寄生电容；同轴电容 C p2 表示该过孔段底部与Metal 2 之间的寄生电容；层间电容 C b1 表示该过孔段与Metal 1 和Metal 2 之间的电磁作用； R 1 与 L 1 分别代表该过孔段内部由于动态电流变化产生的寄生电阻和寄生电感。
图2.27 过孔互连结构的剖面图
图2.28 第1个平行金属板结构的寄生参数分布
图2.29所示为第2个平行金属板结构的寄生参数分布，其中，同轴电容 C p2 表示该过孔段顶部与Metal 2 之间的寄生电容；层间电容 C b2 表示该过孔段与Metal 2 之间的电磁作用； R 2 与 L 2 分别代表该过孔段内部由于动态电流变化和自身损耗产生的寄生电阻和寄生电感。同时，从图2.29中不难发现，Metal 3 的SL焊盘与Metal 4 之间也可能存在寄生电容，但由于相距较远，计算出的电容很小，因此它们之间的寄生效应可以忽略不计。
在上述分析中，2个平行金属板结构的寄生参数分布中的同轴电容 C p2 的物理含义相同，因此在进行等效电路模型构建时，只需将 C p2 考虑在其中一种情况下。基于上述对过孔结构的分段研究，结合过孔互连结构的对称性质，最终可以得出图2.30所示的过孔互连结构的单边寄生参数分布。
图2.29 第2个平行金属板结构的寄生参数分布
图2.30 过孔互连结构的单边寄生参数分布
为了方便进行电路分析，需要构建过孔互连结构的等效电路模型。2.3.2节分析求解的是单层平行金属板的П型等效电路模型，是最基本的模型，所提出的过孔互连结构共包含2个单层平行金属板，可以采用电路的方法将2个基本模型进行级联 [29] ，由此可推广到多层LCP电路板结构的求解。基于过孔互连结构的寄生参数分布，构建图2.31所示的CPWG-SL-CPWG过孔互连结构的快速收敛等效电路模型。
图2.31 CPWG-SL-CPWG过孔互连结构的快速收敛等效电路模型
其中，Metal 1 的CPWG及Metal 3 的SL建模为有损模型，过孔互连结构的其他部分建模为П型集总电路模型。整个过孔互连结构被建模成半宏模型、半电路形式，具有简洁、直观的优点，便于发现和解决仿真时出现的问题。
（1）快速收敛解析式的仿真验证。
为了验证层间电容 C b 的快速收敛解析式（2.22）的有效性，以图2.23中的带有过孔的单层平行金属板结构为研究对象，将板间距离 h 设置为0.1 mm，厚度 t 设置为0.03 mm，相对介电常数 ε r 设置为2.9。采用3组不同的过孔结构参数，对层间电容 C b 的收敛速度进行仿真分析，利用原始表达式（2.16）、快速收敛解析式（2.22）对层间电容 C b 进行求解，表2.1列出了两式的计算结果。可以看出，在计算结果相近的情况下，引入快速收敛解析式后，第1组过孔结构中 C b 的截断数 N 由600减小为2；第2组过孔结构中 C b 的截断数 N 由375减小为2；第3组过孔结构中 C b 的截断数 N 由500减小为2。这说明如果使用式（2.16），那么只有当截断数 N 取很大的值时，求和级数才能够逐渐收敛， C b 才可以被有效计算。而式（2.22）的收敛速度更快，求和所需的计算次数也大大减少，从而节约了大量的计算资源。
表2.1 3组过孔结构中层间电容 C b 的计算结果
（2）过孔互连结构建模方法的仿真验证。
2.3.3节构建了CPWG-SL-CPWG过孔互连结构的快速收敛等效电路模型。若想对过孔互连结构的传输特性进行准确描述，则必须对等效电路模型中的各元件参数进行精确求解。根据图2.27，利用2.2.2节推导出的寄生电阻、寄生电感的计算公式（2.1）～（2.6）、同轴电容的计算公式（2.7）及层间电容的快速收敛解析式（2.22），结合多层LCP基板在压合过程中黏合层厚度对其产生的影响，对等效电路模型中各元件参数进行计算，计算结果如表2.2所示。
表2.2 过孔互连结构中寄生参数的计算结果
对过孔互连结构层间电容 C b1 、 C b2 的收敛性进行分析，式（2.16）和式（2.22）计算出的 C b1 和 C b2 的收敛趋势如图2-32所示。可以看出，原始表达式中 C b1 、 C b2 的求和级数在截断数为200时才逐渐开始收敛。而利用快速收敛解析式进行计算，有效地加快了求和级数的收敛速度，将 C b1 的截断数 N 1 由200减小为1，将 C b2 的截断数 N 2 由200减小为2，显著提高了计算效率。在实际工程应用中，多层LCP电路板中通常带有数百或数千个过孔，快速收敛解析式的引入将极大地节省计算时间，对多层LCP电路板的快速建模有着重要的意义。
图2.32 层间电容的收敛趋势
通过引入层间电容 C b 的快速收敛解析式，对集总参数等效电路模型进行了优化，最终得到过孔互连结构的快速收敛等效电路模型。在ADS软件中搭建图2.27所示的等效电路模型，将计算出的寄生参数代入等效电路，设置CPWG的金属导带宽度为0.11 mm，长度为1 mm，两侧缝隙宽度均为0.1 mm；SL的金属导带宽度为0.06 mm，长度为1 mm。对等效电路模型进行仿真求解，为验证所构建的等效电路模型的准确性，在此选取HFSS软件全波仿真结果、测试结果作为对照组，与模型求解结果进行对比，如图2.33所示。
图2.33 等效电路模型和HFSS软件全波仿真结果、测试结果对比
仿真结果表明，在0.1～40 GHz频率范围内，等效电路模型的 S 参数曲线与全波仿真结果、测试结果总体趋势一致，说明了该建模方法的正确性。所有仿真实验均由一台配置为Intel(R) Core(TM)i5-1035 G1的计算机运行。其中，HFSS软件中的三维电磁模型仿真时长为32分钟，基于ADS软件和MATLAB软件进行快速收敛等效电路模型的构建及求解所用时长仅为2分钟，可以看出该建模方法较大地减少了互连电路特性分析所用的时间。该等效电路模型具有简单、高效的优点，但无论是哪种电路模型，都有其局限性。从仿真结果可以看出，随着频率的增大，等效电路模型精度开始下降， S 参数曲线出现一定的偏差，产生这种现象的原因主要有以下两点。
（1）平行金属板上所产生的电磁信号串扰和回流效应随频率的增大显著增大，而该等效电路模型无法模拟平行金属板结构组成的电源/接地面对过孔传输特性产生的影响。
（2）该等效电路模型忽略了过孔域边界的不连续性，即过孔结构中由于电磁模式转化产生的寄生效应对过孔传输特性的影响。
由上述分析可知，集总电路模型随着频率增大，模型精度有所下降。但建模过程简单，求解速度十分高效，可用于过孔互连结构的初始建模阶段。通过构建等效电路模型，可以预测过孔互连结构的各项性能，对过孔互连结构的初步设计有一定的指导意义。若想要继续提高模型精度，扩展等效电路模型的建模带宽，对过孔互连结构进行更精细的建模，则需要分析以上两点原因，对等效电路模型做进一步优化。而宽带建模意味着模型复杂度更高，建模的成本和仿真时长都会增加。