2.1 分布函数及离散型随机变量

(A)基础练习

一、选择题

1.在下列函数中,( )是某随机变量的分布函数.

2.设随机变量X有分布律P(X =k)= =1,…,4,则P(1<X <3.5)=().

二、填空题

1.设随机变量X的分布函数为

则P(X <0)=_______,P(0.2< X ≤1.5)=_______ .

2.设随机变量X的分布函数为

则常数A的值为______.

3.设随机变量X的分布函数为F(x),则P(0< X ≤1)=_______________ .

三、解答题

1.一袋中装有编号为1,2,3,4,5,6的6个形状相同的球。在袋中同时取出3个球，所取出的3个球中最大的号码以X表示。求X的分布律.

2.设F ₁ (x)与F ₂ (x)分别是随机变量X与Y的分布函数,a >0,b>0,且a+b=1;

证明:F(x)=aF ₁ (x)+bF ₂ (x)也是随机变量的分布函数.

3.若离散随机变量X的分布律如下表所示，试求p的值与X的分布函数.

4.设随机变量X的分布函数为

求X的分布律.

5.若每次射击中靶的概率为0.7,射击10炮中:

(1)求命中3炮的概率;(2)求至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮?

6.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X =1)=P(X =2),求λ.

7.某射手参加射击比赛，共有4发子弹，设该射手命中率为p,各次射击是相互独立的，求直至命中目标为止的射击次数.

8.某厂生产的仪器以70%的概率可以直接出厂，以20%的概率需进一步调试，调试后以80%的概率可出厂，以10%的概率定为不合格。现该厂生产n(n ≥2)台仪器(生产过程相互独立），求:

(1)全部能出厂的概率;

(2)恰有两件不能出厂的概率;

(3)至少有两件不能出厂的概率.

(B)提高练习

一、选择题

1.设F ₁ (x)和F ₂ (x)分别是随机变量X ₁ 和X ₂ 的分布函数。为使F(x)=aF ₁ (x)+bF ₂ (x)一定是某随机变量的分布函数，则可取( ).

2.设a,b为任意实数，且a <b.已知P(X ≤b)≥1-β,P(X >a)≥1-α,则必有P(a < X ≤b)( ).

A.≥1-(α+β)

B.≥α+β

C.≤1-(α+β)

D.≤α+β

二、填空题

1.设随机变量X的分布函数为f(x)= _____.

2.设离散型随机变量X的所有可能取值是1,2,3,4,5,且P( X -2.8 >0.5)=0.8,则P(X =3)=_______.

3.设随机变量X的绝对值不大于1,并且满足条件P(X =-1)= P(X =1)= 则P(-1< X <1)=_______.

4.用一台机器接连独立地制造3个同种零件。设第i个零件是次品的概率为 ,i=1,12,3.这3个零件中有X个合格品，则P(X =2)=_______.

三、解答题

1.一质点在[0,1]区间上随机移动，以X表示该点在数轴上的坐标。设该质点落入区间[0,1]中任意小区间[0,x]内的概率与小区间长度的立方成正比，试求X的分布函数F(x),并求概率P(0.25< X ≤0.75).

2.设随机变量X的分布函数为

试求a,b的值及

3.设随机变量X的分布函数是

求A,B,C的值.

4.若离散随机变量X的分布函数为

求X的分布律及P(X =2),P(1≤ X ≤4)及P(X <3.5 X ≠1).

5.已知P _k = (k=1,2,…)为离散型随机变量的概率分布，求常数b的值.

6.若每个蚕产卵的数目服从参数为λ的泊松分布，而每个卵变成蚕的概率为p,且各卵是否变成蚕是相互独立的，试求每只蚕养出k只小蚕的概率.

7.在保险公司里有2 500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在一年中每个人死亡的概率是0.002.每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领取20 000元赔偿金，求:

(1)保险公司亏本的概率;

(2)保险公司获利分别不少于100 000元、200 000元的概率.

8.一台总机共有300台分机，总机拥有13条外线。假设每台分机向总机要外线的概率为3%,试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.

9.波兰数学家巴拿赫随身带着两盒火柴，分别放在他的左右两个衣袋里。每盒有n根火柴。他需要火柴时，便随机地从其中一盒中取出一根，试求他发现其中一盒已空而另一盒中剩下的火柴根数为X的概率分布. 1VECBHardpV7lBkRclsWEo5ZJA7q4sNIvru2zz1ZXLJOZY4VFCkRGRN9VcaoHyvA