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2.2
时标相关知识

2.2.1 Delta导数

定义2.5 时标 是实数集 的一个非空闭子集,它遗传了 上的拓扑和序结构。

定义2.6 前跃算子 σ 定义为:

后跃算子 ρ 定义为:

规定inf∅=sup ,sup∅=inf

定义2.7 粗细度函数 μ →[0,∞)定义为:

称满足 t >inf ρ t )= t 的点 t 是左稠的;称满足 ρ t )< t 的点 t 为左离散的;称满足 t <sup σ t )= t 的点 t 是右稠的;称满足 ρ t )> t 的点 t 为右离散的。

定义2.8 有一个左离散的最大值 m ,则 k = \{ m },否则 k = ;若 有一个右离散的最小值 m ,则 k = \{ m },否则 k =

定义2.9 若对函数 f t k f Δ t )满足以下条件:对任意 ε >0,存在 t 的邻域 U ,使得

对所有 s U 成立,则称 f Δ t )为 f t )的Delta导数。

定义2.10 设函数 z= ,其中 z A ,若对任意的 A Λ ,( z A Δ t )存在,则称 z Δ t = 为Clifford数 z 的Delta导数。

2.11设函数 z= ,其中 z A ,若对任意的 A Λ z A 是右稠连续的,则称 为Clifford数 z a b 的Delta积分。

引理2.1 f ,且 t k .则

①若 f 连续,则 f 右稠连续。若 f t 处可微,则 f t 处连续;

②若 f t 处连续且 t 是右离散的,则 f t 处可微,且

③若 t 是右稠密的,则 f t 处可微当且仅当极限 存在。即

④若 f t 处可微,则 f σ t ))= f t )+ μ t f Δ t )。

引理2.2 f g t k 处可微,则有下列结论成立:

①对任意常数 α β ,( αf + βg ): ,在 t 处可微且( αf + βg Δ t )= αf Δ t )+ βg Δ t );

②积 fg t 处可微且

③若 g t g σ t )≠0,则 t 处可微且

④若 f f Δ 连续,则 =f σ t ), t +

定义2.12 若函数 f 中的右稠点的右极限存在且左稠点的左极限存在,则称其为正则的。

定义2.13 若函数 f 中的右稠点处连续且在左稠点的左极限存在,则称其为右稠连续的。记 C rd ):={ f | f 右稠连续},简记为 C rd )或 C rd .

定义2.14 f 为右稠连续的,若 F Δ t )= f t ),则(1)若对任意 a t ,有 =F t -F a )成立,则称 f Δ 积分;(2)若对任意 ρ t )≥ a ,有 =F ρ t )) -F a )成立,则称 f Δ 积分;(3)若对任意 t σ t )≤ a ,有 = F σ t )) -F a )成立,则称 f Δ 积分。

引理2.3 f C rd t k ,则

引理2.4 a b c α f g C rd ),则有下列结论成立:

定义2.15 若函数 r 满足1+ μ t r t )≠0对所有 t k 成立,则称 r 为回归的。所有回归且右稠连续的函数 r 的集合记为 = )= ),定义正回归集合为

定义2.16 p q ,若对任意 t k ,则

引理2.5 f g ,则

定义2.17 r 是回归函数,如果 e r 满足如下表达式

其中

为柱变换,则称 e r 为广义指数函数。

引理2.6 f t 0 ,则

引理2.7 p q 是回归函数,则

证明 ①由柱变换定义,可得

②根据引理2.4,有

③由柱变换定义,可得

另一方面,

因此,

④由柱变换定义,可得

引理2.8 p t )≥0,则 e p t s )>1,其中∀ t s .

引理2.9 p + ,则有

e p t s )>0,∀ t s

②∀ t s ,若 p t )≤ q t ),则 e p t s )≤ e q t s ),∀ t s .

引理2.10 p + ,若任意 a b c ,则有[ e p c ,·)] Δ =-p t )[ e p c ,·)] σ =e p c a -e p c b

引理2.11 t 0 ,若在 k a + ,则 e a t t 0 )>0对所有 t 都成立。

引理2.12 t 0 ,若在 k a + ,则 e a t t 0 )>0对所有 t 都成立。

引理2.13 (常数变异公式)设 p f C rd ,对任意的 t 0 x 0 。初值问题

的唯一解可表示为

引理2.14 f t )是一个右稠密连续函数,而 c t )是一个正的右稠密连续函数且满足- c t )∈ + 。令

其中 t 0 ,则

2.2.2 Nabla导数

定义2.18 为时标,定义后跃粗细度函数 ν k →[0,¥)如下:

有一个右离散的最小值 m ,则 k = -{ m },否则 k =

定义2.19 设函数 f t k .定义 f t )(若存在)为满足以下条件的数:对任意 ε >0,存在 t 的邻域 U (即对 δ >0, U =( t - δ t + δ )∩ ),使得

对所有 s U 成立,称 f t )为 f t 处的Nabla导数。

引理2.15 f t k .则有:

①若 f t 点Nabla可微,则 f t 点连续。

②若 f t 点连续且 t 是左离散的,则 f t 点Nabla可微,且

③若 t 是左稠密的,则 f t 点Nabla可微当且仅当极限 存在。即

④若 f t 点Nabla可微,则 f ρ t ))= f t )- ν t f t )。

引理2.16 f g t k 处Nabla可微。则:

①和 f + g t 点Nabla可微且

②对任意常数 α αf t 点Nabla可微且

③积 f g t 点Nabla可微且

④若 f t f ρ t ))≠0,则 t 点Nabla可微且

⑤若 g t g ρ t ))≠0,则 t 点Nabla可微且

定义2.20 若函数 f 中的左稠点处连续且在右稠点的右极限存在,则称其为左稠连续的。所有左稠连续的函数 f 的集合记为

定义2.21 设函数 f ,如果存在一个函数 F ,使得对所有的 t k ,都有 F t )= f t ),那么就称 F t )是 f t )的一个原函数。定义 f t )从 a b 的Cauchy积分或定积分为

引理2.17 f C ld t k ,则

引理2.18 a b c α f g C ld ,则:

定义2.22 函数 p 称为 ν -回归的,若1- ν t p t )≠0对所有 t 成立。所有 ν -回归且左稠连续的函数 p 的集合记为

定义2.23 我们定义 为正回归,

定义2.24 p q ,对所有 t k ,我们定义“圈加”和“圈减”运算为

引理2.19 f g ν ,则

定义2.25 p ν ,则我们定义Nabla指数函数为

其中 ν -柱变换为

引理2.20 p q ν ,且 s t r ,则

引理2.21 假设 p ν t 0 ,若1- ν t p t )>0对 t k 成立,则 p t t 0 )>0对所有 t 都成立。

引理2.22 f t )是一个左稠密连续函数,而 c t )是一个正的左稠密连续函数且满足 c t )∈ 。令

其中 t 0 ,则

关于时标的更多知识,可参见文献[39,40]。 kK0jzahpsj2cffWMDuxBdkbNW+rSuVpUKsTUI/2eQ1pGvsS0S7c9nVSkYbO9+kyE

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