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定义2.5
时标
是实数集
的一个非空闭子集，它遗传了
上的拓扑和序结构。
定义2.6
前跃算子
σ
：
→
定义为：
后跃算子
ρ
：
→
定义为：
规定inf∅=sup
，sup∅=inf
。
定义2.7
粗细度函数
μ
：
→[0，∞）定义为：
称满足
t
>inf
且
ρ
（
t
）=
t
的点
t
∈
是左稠的；称满足
ρ
（
t
）<
t
的点
t
∈
为左离散的；称满足
t
<sup
且
σ
（
t
）=
t
的点
t
∈
是右稠的；称满足
ρ
（
t
）>
t
的点
t
∈
为右离散的。
定义2.8
若
有一个左离散的最大值
m
，则
k
=
\{
m
}，否则
k
=
；若
有一个右离散的最小值
m
，则
k
=
\{
m
}，否则
k
=
。
定义2.9
若对函数
f
：
→
，
t
∈
k
，
f
Δ
（
t
）满足以下条件：对任意
ε
>0，存在
t
的邻域
U
，使得
对所有 s ∈ U 成立，则称 f Δ （ t ）为 f （ t ）的Delta导数。
定义2.10
设函数
z=
：
→
，其中
z
A
：
→
，若对任意的
A
∈
Λ
，（
z
A
）
Δ
（
t
）存在，则称
z
Δ
（
t
）
=
为Clifford数
z
的Delta导数。
定
义
2.11设函数
z=
：
→
，其中
z
A
：
→
，若对任意的
A
∈
Λ
，
z
A
是右稠连续的，则称
为Clifford数
z
从
a
到
b
的Delta积分。
引理2.1
若
f
：
→
，且
t
∈
k
.则
①若 f 连续，则 f 右稠连续。若 f 在 t 处可微，则 f 在 t 处连续；
②若 f 在 t 处连续且 t 是右离散的，则 f 在 t 处可微，且
③若
t
是右稠密的，则
f
在
t
处可微当且仅当极限
存在。即
④若 f 在 t 处可微，则 f （ σ （ t ））= f （ t ）+ μ （ t ） f Δ （ t ）。
引理2.2
若
f
，
g
：
→
在
t
∈
k
处可微，则有下列结论成立：
①对任意常数
α
，
β
，（
αf
+
βg
）：
→
，在
t
处可微且（
αf
+
βg
）
Δ
（
t
）=
αf
Δ
（
t
）+
βg
Δ
（
t
）；
②积
fg
：
→
在
t
处可微且
③若
g
（
t
）
g
σ
（
t
）≠0，则
：
→
在
t
处可微且
④若
f
和
f
Δ
连续，则
=f
（
σ
（
t
），
t
）
+
定义2.12
若函数
f
：
→
在
中的右稠点的右极限存在且左稠点的左极限存在，则称其为正则的。
定义2.13
若函数
f
：
→
在
中的右稠点处连续且在左稠点的左极限存在，则称其为右稠连续的。记
C
rd
（
，
）：={
f
|
f
：
→
右稠连续}，简记为
C
rd
（
）或
C
rd
.
定义2.14
设
f
为右稠连续的，若
F
Δ
（
t
）=
f
（
t
），则（1）若对任意
a
，
t
∈
，有
=F
（
t
）
-F
（
a
）成立，则称
为
f
的
Δ
积分；（2）若对任意
，
，
ρ
（
t
）≥
a
，有
=F
（
ρ
（
t
））
-F
（
a
）成立，则称
为
f
的
Δ
积分；（3）若对任意
，
t
∉
，
σ
（
t
）≤
a
，有
=
F
（
σ
（
t
））
-F
（
a
）成立，则称
为
f
的
Δ
积分。
引理2.3
若
f
∈
C
rd
且
t
∈
k
，则
引理2.4
若
a
，
b
，
c
∈
，
α
∈
和
f
，
g
∈
C
rd
（
），则有下列结论成立：
定义2.15
若函数
r
：
→
满足1+
μ
（
t
）
r
（
t
）≠0对所有
t
∈
k
成立，则称
r
为回归的。所有回归且右稠连续的函数
r
：
→
的集合记为
=
（
）=
（
，
），定义正回归集合为
定义2.16
设
p
，
q
∈
，若对任意
t
∈
k
，则
引理2.5
设
f
，
g
∈
，则
定义2.17 若 r 是回归函数，如果 e r 满足如下表达式
其中
为柱变换，则称 e r 为广义指数函数。
引理2.6
设
f
∈
和
t
0
∈
，则
。
引理2.7
若
p
，
q
：
→
是回归函数，则
证明 ①由柱变换定义，可得
②根据引理2.4，有
③由柱变换定义，可得
另一方面，
因此，
④由柱变换定义，可得
引理2.8 若 p （ t ）≥0，则 e p （ t ， s ）>1，其中∀ t ≥ s .
引理2.9
若
p
∈
+
，则有
①
e
p
（
t
，
s
）>0，∀
t
，
s
∈
；
②∀
t
，
s
∈
，若
p
（
t
）≤
q
（
t
），则
e
p
（
t
，
s
）≤
e
q
（
t
，
s
），∀
t
≥
s
.
引理2.10
令
p
∈
+
，若任意
a
，
b
，
c
∈
，则有[
e
p
（
c
，·）]
Δ
=-p
（
t
）[
e
p
（
c
，·）]
σ
，
=e
p
（
c
，
a
）
-e
p
（
c
，
b
）
引理2.11
令
t
0
∈
，若在
k
上
a
∈
+
，则
e
a
（
t
，
t
0
）>0对所有
t
∈
都成立。
引理2.12
令
t
0
∈
，若在
k
上
a
∈
+
，则
e
a
（
t
，
t
0
）>0对所有
t
∈
都成立。
引理2.13
（常数变异公式）设
p
∈
，
f
∈
C
rd
，对任意的
t
0
∈
，
x
0
∈
。初值问题
的唯一解可表示为
引理2.14
设
f
（
t
）是一个右稠密连续函数，而
c
（
t
）是一个正的右稠密连续函数且满足-
c
（
t
）∈
+
。令
其中
t
0
∈
，则
定义2.18
设
为时标，定义后跃粗细度函数
ν
：
k
→[0，¥）如下：
若
有一个右离散的最小值
m
，则
k
=
-{
m
}，否则
k
=
。
定义2.19
设函数
f
：
→
且
t
∈
k
.定义
f
▽
（
t
）（若存在）为满足以下条件的数：对任意
ε
>0，存在
t
的邻域
U
（即对
δ
>0，
U
=（
t
-
δ
，
t
+
δ
）∩
），使得
对所有 s ∈ U 成立，称 f ▽ （ t ）为 f 在 t 处的Nabla导数。
引理2.15
若
f
：
→
且
t
∈
k
.则有：
①若 f 在 t 点Nabla可微，则 f 在 t 点连续。
②若 f 在 t 点连续且 t 是左离散的，则 f 在 t 点Nabla可微，且
③若
t
是左稠密的，则
f
在
t
点Nabla可微当且仅当极限
存在。即
④若 f 在 t 点Nabla可微，则 f （ ρ （ t ））= f （ t ）- ν （ t ） f ▽ （ t ）。
引理2.16
若
f
，
g
：
→
在
t
∈
k
处Nabla可微。则：
①和
f
+
g
：
→
在
t
点Nabla可微且
②对任意常数
α
，
αf
：
→
在
t
点Nabla可微且
③积
f
，
g
：
→
在
t
点Nabla可微且
④若
f
（
t
）
f
（
ρ
（
t
））≠0，则
在
t
点Nabla可微且
⑤若
g
（
t
）
g
（
ρ
（
t
））≠0，则
在
t
点Nabla可微且
定义2.20
若函数
f
：
→
在
中的左稠点处连续且在右稠点的右极限存在，则称其为左稠连续的。所有左稠连续的函数
f
：
→
的集合记为
定义2.21
设函数
f
：
→
，如果存在一个函数
F
：
→
，使得对所有的
t
∈
k
，都有
F
▽
（
t
）=
f
（
t
），那么就称
F
（
t
）是
f
（
t
）的一个原函数。定义
f
（
t
）从
a
到
b
的Cauchy积分或定积分为
引理2.17
若
f
∈
C
ld
且
t
∈
k
，则
引理2.18
若
a
，
b
，
c
∈
，
α
∈
且
f
，
g
∈
C
ld
，则：
定义2.22
函数
p
：
→
称为
ν
-回归的，若1-
ν
（
t
）
p
（
t
）≠0对所有
t
∈
成立。所有
ν
-回归且左稠连续的函数
p
：
→
的集合记为
定义2.23
我们定义
为正回归，
定义2.24
设
p
，
q
∈
，对所有
t
∈
k
，我们定义“圈加”和“圈减”运算为
引理2.19
设
f
，
g
∈
ν
，则
定义2.25
若
p
∈
ν
，则我们定义Nabla指数函数为
其中 ν -柱变换为
引理2.20
若
p
，
q
∈
ν
，且
s
，
t
，
r
∈
，则
引理2.21
假设
p
∈
ν
且
t
0
∈
，若1-
ν
（
t
）
p
（
t
）>0对
t
∈
k
成立，则
p
（
t
，
t
0
）>0对所有
t
∈
都成立。
引理2.22
设
f
（
t
）是一个左稠密连续函数，而
c
（
t
）是一个正的左稠密连续函数且满足
c
（
t
）∈
。令
其中
t
0
∈
，则
关于时标的更多知识，可参见文献[39，40]。