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Clifford代数是一个可结合而不可交换的代数结构。这个概念最初是由数学家Clifford在1878年定义的。
定义2.1
在
上的实Clifford代数定义如下：
其中
，
A
={
g
1
，
g
2
，…，
g
ν
}，1≤
g
1
<
g
2
<…<
g
ν
≤
。特别地，当
A
=∅时，
e
∅可以被写成
e
0
，则
x
0
就是
e
0
元素的系数。因此，
e
∅=
e
0
=1和
e
{
g
}=
e
g
，称满足如下表达式的
g
=1，2，…，
为Clifford代数的生成元：
令
，则易得
=
{
a
A
e
A
，
a
A
∈
}，其中
缩写为
且dim
。我们记
n
维实Clifford值向量空间为
n
.
定义2.2
任意元素
a
的共轭定义
=
a
A
A
，中
=
，|
A
|称为
A
的指标。
定义2.3
任意元素
a
的主对合定义为
a′=
，其中
，|
A
|=
n
A
为
A
的指标，即当
A
=∅时，|
A
|=0；当
A
={
g
1
，
g
2
，…，
g
ν
}≠∅时，
。特别地，有
，
，并且有（
ab
）′=
a′b′。
我们很容易算出，对于任意的
A
≠0，有
定义2.4
若函数
z
：
→，其中
z
A
：
→
，则称
z′
（
t
）
=
为Clifford数
z
的导数。
关于Clifford代数的更多知识，可参见文献[19，70]。