下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
人工神经网络（Artificial Neural Network，ANN）简称神经网络，是模拟人脑思维方式的数学模型，用来模拟人类大脑神经网络的结构和行为。神经网络是在现代生物学研究人脑组织成果的基础上提出的。神经网络反映了人脑功能的基本特征，如并行信息处理、学习、联想、模式分类、记忆等。20世纪80年代以来，神经网络研究取得了突破性进展。神经网络的发展经历了四个时期。①启蒙期：James于1890年发表专著《心理学》，讨论了脑的结构和功能；经过53年的时间，心理学家McCulloch和数学家Pitts [1] 于1943年中提出了描述脑神经细胞动作的数学模型，即M-P模型（第一个神经网络模型），但研究表明神经网络缺乏有效的突触连接强度调整算法；接着，1949年，心理学家Hebb [2] 实现了对脑细胞之间相互影响的数学描述，从心理学的角度提出了至今仍对神经网络理论有着重要影响的Hebb学习法则；Rosenblatt [3] 于1958年提出了一类由简单的阈值神经元构成的感知器模型，该模型初步具备了学习、分布存储和并行计算的能力，首次实现了神经网络从理论研究到工程实践的跨度；Widrow和Hoff [4] 于1962年提出了自适应线性神经网络，即Adaline网络，并提出了网络学习新知识的方法，并用电路进行了硬件设计。②低潮期：受当时神经网络理论研究水平的限制及冯·诺依曼式计算机发展的冲击，神经网络的研究陷入低谷。美国、日本等国家有少数学者继续对神经网络模型和学习算法进行研究，提出了许多有意义的理论和方法。例如，Kohonen [5] 于1972年提出了自组织映射的SOM模型。③复兴期：物理学家Hopfield [6] 于1982年提出了Hopfield神经网络模型，该模型通过引入能量函数，实现了问题优化求解，1984年他用此模型成功地解决了旅行商路径优化问题（TSP）；McCelland和Rumelhart等提出了一种著名的多层神经网络模型，即BP网络，该网络是迄今为止应用最普遍的神经网络，并在1986年出版了 Parallel Distributed Processing [7] 。④新连接机制时期：神经网络从理论走向应用领域，出现了神经网络芯片和神经计算机。目前神经网络模型的种类相当丰富：已有近40余种神经网络，典型的神经网络有多层前向传播网络（BP网络）、Hopfield网络、CMAC小脑模型、ART网络、BAM双向联想记忆网络、递归神经网络、模糊细胞神经网络和Madaline网络等。细胞神经网络由Chua和Yang [8] 于1988年提出，与一般神经网络一样，它是一个大规模非线性模拟系统，其特点是神经元之间局部连接，电路便于实现VLSI（超大规模集成电路），输出信号函数是分段线性函数，具有双值输出、运行速度快等优点，应用于联想记忆、模式识别与图像处理（语音、指纹、故障检测和图像压缩等）、自动控制、信号处理、辅助决策和人工智能（见文献[9]—[14]）等领域。这些应用都与神经网络的动力学有关，因此，神经网络的动力学研究受到了大量学者的关注（见文献[15]—[18]）。
Clifford代数是由Clifford [19] 提出的。Clifford代数又称几何代数，综合了内积和外积两种运算，是复数代数、四元数代数和外代数的推广，它是一门应用于几何和物理的数学学科。例如，在文献[20]中，Hestenes将Clifford代数应用到了狭义相对论中；在文献[21]中，Clifford代数结合了微积分，成为更强大的数学工具；由于Clifford代数的存在，文献[22]重新书写了经典力学。还有一些研究学者将Clifford代数应用于广义相对论、量子场论、量子力学、微分几何、射影几何和共形几何等学科中。Pearson和Bisset在文献[23]中首次提出了Clifford值神经网络，而且神经网络的状态变量和连接权重均为Clifford代数。Clifford值神经网络作为实值神经网络、复值神经网络和四元数值神经网络的延伸和扩展，是20世纪末期发展起来的，并广泛应用于神经计算、机器人视觉、信号处理和控制问题等多个领域且发挥了巨大的作用（见文献[24]—[26]）。目前，由于Clifford值神经网络这一新的研究领域的成果还很少，因此对Clifford值神经网络的动力学行为的研究就成了一个热门的研究课题。Clifford值神经网络是一种多维神经网络，与实值神经网络、复值神经网络和四元数值神经网络相比，在动力学性态方面研究更为困难。因此研究Clifford值神经网络动力学性态具有重要的意义。例如：在文献[27]中，Zhu和Sun用Brouwer不动点定理研究了Clifford值递归神经网络平衡点的存在性，基于Clifford值变参法和不等式技巧，给出了研究对象全局指数稳定的充分条件；在文献[28]中，Liu和Xu等人研究了具有时滞Clifford值递归神经网络平衡点的存在性和唯一性，基于线性矩阵不等式（LMI）得到了这类系统全局渐近和指数稳定的充分条件；在文献[29]中，Li和Xiang考虑了一类具有时变时滞的Clifford值惯性Cohen-Grossberg神经网络，基于重合度理论和Wirtinger不等式，得到了这类神经网络的反周期解的存在性结论，然后通过构造一个合适的Lyapunov函数给出了反周期解的全局指数稳定性结论；在文献[30]中，Li和Xiang建立了具有离散时滞的Clifford值细胞神经网络，首先在对Clifford值细胞神经网络进行实分解的情况下，利用Banach不动点定理得到了该神经网络的概周期解的存在性和唯一性，然后通过设计一个新的反馈控制器和构造一个合适的Lyapunov函数获得了该神经网络的全局渐近同步结论；在文献[31]中，Li和Xiang等人建立了一类具有离散和无限分布时滞的Clifford值递归神经网络，通过使用压缩映射原理研究了几乎自守解的存在性和唯一性，接着通过设计一个新的反馈控制器和构建适当的Lyapunov函数获得了该神经网络的全局渐近几乎自守同步结论；在文献[32]中，Shen和Li通过将Clifford值系统分解为实值系统，研究了该系统的 S p -概周期解的稳定性。目前已有部分学者通过不分解的方法来直接考虑Clifford值神经网络的动力学性态（见文献[33]—[37]）。因此，研究传输时滞、中立型时滞和连接项时滞的Clifford值神经网络的动力学行为是具有重要意义的。
众所周知，数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科的许多系统中，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系——函数表达式，但容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统——建立微分方程模型。另外，差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程，差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型，差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许多方面都有着非常重要的作用。虽然微分方程与差分方程可以描述很多事物的发展过程，但是真实世界中，许多现象和过程的演化不是单纯的离散过程，也不是单纯的连续过程，而是一种混合过程。因此，就需要考虑是否存在一类方程既能刻画连续变化过程（微分方程）也能描述离散变化过程（离散方程），同时还能描述连续-离散混合的过程。连续时间系统和离散时间系统在理论和实践上具有同等的重要性。为了统一连续时间和离散时间的研究，1988年，德国数学家Hilger在他的博士论文
[38]
中首次提出了时标理论。作为两个最广泛的例子，当时标
=
时，对应的动力系统就是微分系统；当时标
=
时，对应的动力系统就转化为差分系统。这样，就实现了连续分析和离散分析的统一，可以避免同一问题要分别研究微分系统和差分系统的麻烦。
时标理论作为一个新的研究领域，近年来备受各国学者的关注。在随后学者的研究中，Bohner与Perterson对时标理论进行了全面的研究和总结，并在2001年出版了《时标动力学方程》 [39] 。最近几年，时标理论的研究得到了广泛关注并涌现出优秀成果（见文献[40]—[42]）。时标动力学方程不仅包含微分方程和差分方程，同时对离散变化和连续变化的混合过程也能很好地进行刻画，体现出了更实际的意义。时标理论在刻画人口模型 [43] 、经济模型 [44，45] 等实际问题时体现出了重要的应用价值。除此之外，时标在工程学、控制学等领域也有广泛的应用。近年来，时标动力学方程理论在解的振动性（见文献[46]—[48]）、存在性（见文献[49，50]）、周期解或概周期函数类解的动力学行为（见文献[51]—[57]）以及边值问题（见文献[58]—[60]）等领域发展迅速。我们知道目前关于连续时间Clifford值神经网络动力学性态研究刚刚起步，但关于离散时间Clifford值神经网络动力学性态的研究还尚未报道。由于时标理论可以统一连续时间问题和离散时间问题的研究，因此研究时标上的Clifford值神经网络具有重要意义。
周期现象普遍存在，日出日落、月缺月圆、寒来暑往、植物生长……自然界中有许多“按一定规律周而复始”的现象，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。再比如人自出生之日起，人的情绪、体力、智力等心理、生理状况也呈周期变化（称为生物节律）。另外，物理学中也大量存在周期性运动变化，例如天体、粒子的自旋和公转，简谐振动位移变化的周期性，交变电流变化的周期性等。但是在自然界中，概周期现象其实比周期现象更普遍，因为在自然界中纯粹的周期运动是不存在的，更普遍存在的是概周期现象，在白昼黑夜的变化、四季的更替和食物的供应等中都有着重要的概周期现象。概周期函数理论是由丹麦数学家哈那德·波尔（Harald Bohr） [61] 在1924—1926年研究傅里叶级数时建立起来的，自这一理论被提出，就引起了数学工作者的广泛关注。一方面，由于概周期现象较周期现象更为常见，比如天体运动、生态系统以及市场供需规律等，考察概周期现象比周期现象更切合实际；另一方面，全体周期函数在任何范数下都不能构成Banach空间，而概周期函数按上确界范数却能构成Banach空间，这意味着概周期函数有更广泛的应用前景。此外，概周期函数还与调和分析、种群密度等有着密切的关系。继Bohr之后，Bochner、Neumann、Fink等人提出了概周期函数的等价定义（见文献[62]—[65]），从各个角度用不同的方法刻画和描述了概周期函数的性质，得到了概周期函数调和分析的理论和Bochner在1933年所建立的Banach空间的向量值概周期函数的理论，使得这一理论得到了进一步的完善。概周期函数理论后的发展密切联系着常微分方程、稳定性理论和动力系统，其应用范围不仅局限于常微分方程和古典动力系统，也涉及泛函微分方程、Banach空间微分方程以及一类广泛的偏微分方程。常微分方程概周期系统和泛函微分方程概周期系统都是介于周期系统和一般的非自治系统之间的极其重要的系统，有着广泛的应用背景和研究价值，与物理、化学、生态系统、工程系统、社会经济活动等一些重要问题息息相关。无论是从理论研究的角度看，还是从实际应用的角度看，概周期系统都有着广阔的发展前景。此后，概周期函数的理论在各个方向上得到了广泛的推广，例如，1962年，Bochner提出了几乎自守函数的概念（见文献[66]），这是一个更大的函数类，由于几乎自守函数更广泛，具有更好的性质，因此这一类函数的提出，引起了许多学者的兴趣，很快便形成了一个新的研究领域；1965年，Veech首次提出了紧几乎自守函数的概念（见文献[67]）；1992年，Zhang提出了伪概周期函数的概念（见文献[68]）；2006年，Diagana提出了加权伪概周期函数的概念（见文献[69]）。由此可见，研究动力方程的概周期性、伪概周期性、加权伪概周期性、几乎自守性和紧几乎自守性非常有意义，是对Clifford值神经网络模型进行行为分析非常重要的一部分。然而通过查阅文献可知，在时标上研究具有实际意义的Clifford值神经网络的动力学性态的成果还没有。因此，在时标上研究Clifford值神经网络的概周期函数类解的存在性、稳定性及同步性是有必要的，特别是时标上具有时变时滞的Clifford值神经网络的概周期函数类解的存在性、稳定性及同步性。