4.2
模型描述和预备知识

对任意 ，其范数定义为

以及定义 x =（ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ） ^T ∈ ⁿ 的范数为‖ x ‖ }，其中 I ∶={1，2，…， n }。

函数空间 PAP ₀ （ ， ⁿ ）定义为：

定义4.1 ^[82] 令 f ∈ BC （ ， ⁿ ），若 f 可以表示为 f = g + h ，其中 g ∈ AP （ ， ⁿ ）， h ∈ PAP ₀ （ ， ⁿ ）。则称 f 为伪概周期函数。

记由所有此类函数所组成的集合为 PAP （ ， ⁿ ）。

引理4.1 ^[82] 若 α ∈ ， f ， g ∈ PAP （ ， ⁿ ），则 αf ， f + g ， fg ∈ PAP （ ， n）。

引理4.2 ^[82] 若函数 f ∈ C （ ， ⁿ ）满足李普希茨条件， x ∈ PAP （ ， ）， τ ∈ C （ ， ⁺ ）∩ AP （ ， Π ）满足 ，则 f （ x （·- τ （·）））∈ PAP （ ， ⁿ ）。

引理4.3 若函数 g ： → 满足李普希茨条件， K ： 是连续右稠可积函数且 0 ≤ Δ u ≤ K ⁺ （其中 K ⁺ 是一个正常数）， φ ∈ PAP （ ， ），则 Γ ： t →（ K （ s ） g （ φ （ t-s ））Δ s ）属于 PAP （ ， ）。

证明 因为 φ ∈ PAP （ ， ），所以存在 φ ₁ ∈ AP （ ， ）， φ ₂ ∈ PAP ₀ （ ， ）使得 φ = φ ₁ + φ ₂ .令

首先证明 Γ ₁ ∈ AP （ ， ）。因为 g 满足李普希茨条件，所以存在一个正常数 L ，使得‖ g （ u ₁ ）- g （ u ₂ ）‖ 对于所有的 u ₁ ， u ₂ ∈ 都成立。对于任给的 ε >0，因为 φ ₁ ∈ AP （ ， ），所以可以找到一个实常数 l = l （ ε ）>0，使得在每一个长度为 l （ ε ）的区间内都至少存在一点 τ = τ （ ε ）∈ Π 满足‖ φ ₁ （ t + τ ）- φ ₁ （ t ）‖ < ε 对于∀ t ∈ ，然后

由此可得 Γ ₁ ∈ AP （ ， ）。

接下来证明 Γ ₂ ∈ PAP ₀ （ ， ）。由 φ ₂ ∈ PAP ₀ （ ， ）和勒贝格控制收敛定理，可得

由此可得 Γ ₂ ∈ PAP ₀ （ ， ）。因此， Γ ∈ PAP （ ， ）。证毕。

本章主要考虑了以下时标上具离散时滞和分布时滞的Clifford值细胞神经网络：

其中 为概周期时标； n 表示神经网络中神经元的条数； x _i （ t ）∈ 表示第 i 条神经元在 t 时刻的状态变量； c _i （ t ）>0表示在时刻 t ，当断开神经网络与外部输入时，第 i 条神经元可能会出现重置而导致静止孤立状态的速率； a _ij （ t ）、 b _ij （ t ）∈ 表示神经网络连接权重函数； K _ij （ t ）表示分布时滞核函数； u _i （ t ）∈ 表示在 t 时刻的第 i 条神经元外部输入； f _j ， g _j ： → 表示信号传输过程中的作用函数。

为方便读者，现先引入以下记号：

系统（4.2.1）具有以下形式的初始条件：

其中 ， i ∈ I .

注 4.1若 t ∈ ， u ∈ 满足 t - u ∈ ，则 = 或 = 。

在本章中，先假设以下条件成立：

（ H ₁ ） c _i ∈ AP （ ， ⁺ ）满足- c _i ∈ ⁺ ， a _ij ， b _ij ， u _i ∈ PAP （ ， ）， τ _ij ∈ C （ ， ⁺ ）∩ AP （ ， Π ）满足 ， i ， j ∈ I .

（ H ₂ ）对于 i ， j ∈ I 核函数 K _ij ： 是连续右稠可积的，且满足0≤ 。

（ H ₃ ）存在正常数 ， ，使得对一切的 u ， v ∈ ，函数 f _j ， g _j ∈ C （ ， ）满足

（ H ₄ ）存在一个正常数 ρ ，使得

其中 5uA4zqDCXKjQ/HT0OZn1+JNIBRDk9nGfqFwOjisjf/7WOlSrZIVupvbecyMVqCjE