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3.3
概周期解的存在性与全局指数稳定性

设空间 ,在 范数之下,它为Banach空间。

定理3.1 假设条件( S 1 )—( S 3 )成立。则系统(3.2.6)在区域 0 ={ φ =( φ 1 φ 2 ,…, φ n T }中存在唯一的概周期解。

证明 首先,易证若 x =( x 1 x 2 ,…, x n T 是下列积分方程的一个解

x 也是系统(3.2.6)的一个解。

其次,我们定义算子 BC n )如下:

其中 φ

我们将证明算子 是从 的一个自映射。事实上,根据引理3.1—3.3,易得 AP )。再根据引理3.5,可得 Ξ i φ AP )。故算子 Ξ 是从 的一个自映射。

进一步,我们将验证 是从 0 0 的一个自映射。为此只需证明:对任意给定的 φ 0 ,有

因此,由条件( S 3 ),有 ,即, Ξ 0 )⊂ 0 .

最后,我们将证明 是压缩映射。事实上,对任意的

我们有

由条件( S 3 ),可得

从而得出 是一个压缩映射。因此,由Banach不动点定理知: 0 中有唯一不动点,即系统(3.2.6)在 0 中有唯一概周期解。证毕。

定义3.3 设系统(3.2.6)满足初值条件 φ s )=( φ 1 s ), φ 2 s ),…, φ n s )) T 的解 x t )=( x 1 t ), x 2 t ),…, x n t )) T ,并且 y t )=( y 1 t ), y 2 t ),…, y n t )) T 为系统(3.2.6)满足初值条件 ψ s )=( ψ 1 s ), ψ 2 s ),…, ψ n s )) T 的任意解。若存在正常数 ζ 满足 ζ + B 0 >1使得

其中‖ x t )- y t )‖ 1 = - }, t 0 。则系统(3.2.6)解 x 称为全局指数稳定的。

定理3.2 假设( S 1 )—( S 3 )成立,则系统(3.2.6)在区域 0 中的概周期解 x t )是全局指数稳定的。

证明 设系统(3.2.6)有一个满足初值条件 φ s )的概周期解 x t )。假设 y t )为系统(3.2.6)满足初始条件 ψ s )的任意解,令 Z t )= x t )- y t ),则由系统(3.2.6)可推得对任意 i I ,可得

t 0 σ t ))同时乘以等式(3.3.1)的两边,并在 上积分,其中 t 0 ,可得

定义 Θ i 如下:

由条件( S 3 )对任意 i I ,有

因为 Θ i 在[ t 0 ,+¥)上连续,当 ζ →+¥时,有 Θ i ζ )→-¥成立,所以存在常数 i 使得 Θ i i )=0。当 ζ ∈(0, i ), i I 时,有 Θ i ζ )>0成立。取 ,有 Θ i c )≥0, i I。 因此,可以选择一个正数0< ζ < 满足 ζ + 使得 Θ i ζ )>0, i I ,由此可得

B 0 = ,则由条件( S 3 )可知 B 0 >1。因此

另外,注意到对任意 t t 0 ,有 >1。我们断言下式成立:

下面我们将证明

为了证明不等式(3.3.3),首先证明对任意 P >1,以下不等式成立:

该式等价于对任意 i I ,有下式成立

用反证法证明上式不等式,若不等式(3.3.5)不成立,则必存在某个 t 1 i 0 I 使得

因此,必存在常数 c ≥1使得

由式(3.3.2)、式(3.3.6)、不等式(3.3.7)和 B 0 >1,有

因此

这与式(3.3.6)矛盾,因此式(3.3.5)成立。令 P →1,则有式(3.3.3)成立。因此根据定义3.3,系统(3.3.6)的概周期解是全局指数稳定的。证毕。 5pzS3g8QcW8DpAzWqlxuMahfi4VuF173IxtcfxvWiItoKHl0efaoWw+MuWJErE5t

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