3.3
概周期解的存在性与全局指数稳定性

设空间 ，在 范数之下，它为Banach空间。

定理3.1 假设条件（ S ₁ ）—（ S ₃ ）成立。则系统（3.2.6）在区域 ₀ ={ φ =（ φ ₁ ， φ ₂ ，…， φ _n ） ^T }中存在唯一的概周期解。

证明 首先，易证若 x =（ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ） ^T ∈ 是下列积分方程的一个解

则 x 也是系统（3.2.6）的一个解。

其次，我们定义算子 ： → BC （ ， ⁿ ）如下：

其中 φ ∈ ，

我们将证明算子 是从 到 的一个自映射。事实上，根据引理3.1—3.3，易得 ∈ AP （ ， ）。再根据引理3.5，可得 Ξ _i φ ∈ AP （ ， ）。故算子 Ξ 是从 到 的一个自映射。

进一步，我们将验证 是从 ₀ 到 ₀ 的一个自映射。为此只需证明：对任意给定的 φ ∈ ₀ ，有

因此，由条件（ S ₃ ），有 ，即， Ξ （ ₀ ）⊂ ₀ .

最后，我们将证明 是压缩映射。事实上，对任意的

我们有

由条件（ S ₃ ），可得

从而得出 是一个压缩映射。因此，由Banach不动点定理知： 在 ₀ 中有唯一不动点，即系统（3.2.6）在 ₀ 中有唯一概周期解。证毕。

定义3.3 设系统（3.2.6）满足初值条件 φ （ s ）=（ φ ₁ （ s ）， φ ₂ （ s ），…， φ _n （ s ）） ^T 的解 x （ t ）=（ x ₁ （ t ）， x ₂ （ t ），…， x _n （ t ）） ^T ，并且 y （ t ）=（ y ₁ （ t ）， y ₂ （ t ），…， y _n （ t ）） ^T 为系统（3.2.6）满足初值条件 ψ （ s ）=（ ψ ₁ （ s ）， ψ ₂ （ s ），…， ψ _n （ s ）） ^T 的任意解。若存在正常数 ζ 满足 ζ ∈ ⁺ 和 B ₀ >1使得

其中‖ x （ t ）- y （ t ）‖ ₁ = ， - }， t ₀ ∈ 。则系统（3.2.6）解 x 称为全局指数稳定的。

定理3.2 假设（ S ₁ ）—（ S ₃ ）成立，则系统（3.2.6）在区域 ₀ 中的概周期解 x （ t ）是全局指数稳定的。

证明 设系统（3.2.6）有一个满足初值条件 φ （ s ）的概周期解 x （ t ）。假设 y （ t ）为系统（3.2.6）满足初始条件 ψ （ s ）的任意解，令 Z （ t ）= x （ t ）- y （ t ），则由系统（3.2.6）可推得对任意 i ∈ I ，可得

用 （ t ₀ ， σ （ t ））同时乘以等式（3.3.1）的两边，并在 上积分，其中 t ₀ ∈ ，可得

定义 Θ _i 如下：

由条件（ S ₃ ）对任意 i ∈ I ，有

因为 Θ _i 在[ t ₀ ，+¥）上连续，当 ζ →+¥时，有 Θ _i （ ζ ）→-¥成立，所以存在常数 _i 使得 Θ _i （ _i ）=0。当 ζ ∈（0， _i ）， i ∈ I 时，有 Θ _i （ ζ ）>0成立。取 ，有 Θ _i （ c ）≥0， i ∈ I。 因此，可以选择一个正数0< ζ < 满足 ζ ∈ ⁺ 使得 Θ _i （ ζ ）>0， i ∈ I ，由此可得

令 B ₀ = ，则由条件（ S ₃ ）可知 B ₀ >1。因此

另外，注意到对任意 t ≤ t ₀ ，有 >1。我们断言下式成立：

下面我们将证明

为了证明不等式（3.3.3），首先证明对任意 P >1，以下不等式成立：

该式等价于对任意 i ∈ I ，有下式成立

用反证法证明上式不等式，若不等式（3.3.5）不成立，则必存在某个 t ₁ ∈ 和 i ₀ ∈ I 使得

因此，必存在常数 c ≥1使得

由式（3.3.2）、式（3.3.6）、不等式（3.3.7）和 B ₀ >1，有

因此

这与式（3.3.6）矛盾，因此式（3.3.5）成立。令 P →1，则有式（3.3.3）成立。因此根据定义3.3，系统（3.3.6）的概周期解是全局指数稳定的。证毕。 KOTiwIz6V5LcYv3zW9cVBGNWRYHNaEOnUI6XQqT3tXzuCv8epZKzj6RPjyJrDYO0