设空间
,在
范数之下,它为Banach空间。
定理3.1
假设条件(
S
1
)—(
S
3
)成立。则系统(3.2.6)在区域
0
={
φ
=(
φ
1
,
φ
2
,…,
φ
n
)
T
}中存在唯一的概周期解。
证明
首先,易证若
x
=(
x
1
,
x
2
,…,
x
n
)
T
∈
是下列积分方程的一个解
则 x 也是系统(3.2.6)的一个解。
其次,我们定义算子
:
→
BC
(
,
n
)如下:
其中
φ
∈
,
我们将证明算子
是从
到
的一个自映射。事实上,根据引理3.1—3.3,易得
∈
AP
(
,
)。再根据引理3.5,可得
Ξ
i
φ
∈
AP
(
,
)。故算子
Ξ
是从
到
的一个自映射。
进一步,我们将验证
是从
0
到
0
的一个自映射。为此只需证明:对任意给定的
φ
∈
0
,有
因此,由条件(
S
3
),有
,即,
Ξ
(
0
)⊂
0
.
最后,我们将证明
是压缩映射。事实上,对任意的
我们有
由条件( S 3 ),可得
从而得出
是一个压缩映射。因此,由Banach不动点定理知:
在
0
中有唯一不动点,即系统(3.2.6)在
0
中有唯一概周期解。证毕。
定义3.3
设系统(3.2.6)满足初值条件
φ
(
s
)=(
φ
1
(
s
),
φ
2
(
s
),…,
φ
n
(
s
))
T
的解
x
(
t
)=(
x
1
(
t
),
x
2
(
t
),…,
x
n
(
t
))
T
,并且
y
(
t
)=(
y
1
(
t
),
y
2
(
t
),…,
y
n
(
t
))
T
为系统(3.2.6)满足初值条件
ψ
(
s
)=(
ψ
1
(
s
),
ψ
2
(
s
),…,
ψ
n
(
s
))
T
的任意解。若存在正常数
ζ
满足
ζ
∈
+
和
B
0
>1使得
其中‖
x
(
t
)-
y
(
t
)‖
1
=
,
-
},
t
0
∈
。则系统(3.2.6)解
x
称为全局指数稳定的。
定理3.2
假设(
S
1
)—(
S
3
)成立,则系统(3.2.6)在区域
0
中的概周期解
x
(
t
)是全局指数稳定的。
证明 设系统(3.2.6)有一个满足初值条件 φ ( s )的概周期解 x ( t )。假设 y ( t )为系统(3.2.6)满足初始条件 ψ ( s )的任意解,令 Z ( t )= x ( t )- y ( t ),则由系统(3.2.6)可推得对任意 i ∈ I ,可得
用
(
t
0
,
σ
(
t
))同时乘以等式(3.3.1)的两边,并在
上积分,其中
t
0
∈
,可得
定义 Θ i 如下:
由条件( S 3 )对任意 i ∈ I ,有
因为
Θ
i
在[
t
0
,+¥)上连续,当
ζ
→+¥时,有
Θ
i
(
ζ
)→-¥成立,所以存在常数
i
使得
Θ
i
(
i
)=0。当
ζ
∈(0,
i
),
i
∈
I
时,有
Θ
i
(
ζ
)>0成立。取
,有
Θ
i
(
c
)≥0,
i
∈
I。
因此,可以选择一个正数0<
ζ
<
满足
ζ
∈
+
使得
Θ
i
(
ζ
)>0,
i
∈
I
,由此可得
令
B
0
=
,则由条件(
S
3
)可知
B
0
>1。因此
另外,注意到对任意
t
≤
t
0
,有
>1。我们断言下式成立:
下面我们将证明
为了证明不等式(3.3.3),首先证明对任意 P >1,以下不等式成立:
该式等价于对任意 i ∈ I ,有下式成立
用反证法证明上式不等式,若不等式(3.3.5)不成立,则必存在某个
t
1
∈
和
i
0
∈
I
使得
因此,必存在常数 c ≥1使得
由式(3.3.2)、式(3.3.6)、不等式(3.3.7)和 B 0 >1,有
因此
这与式(3.3.6)矛盾,因此式(3.3.5)成立。令 P →1,则有式(3.3.3)成立。因此根据定义3.3,系统(3.3.6)的概周期解是全局指数稳定的。证毕。