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对任意
定义其范数为
；对任意
x
=（
x
1
，
x
2
，…，
x
n
）
T
∈
n
定义其范数为
，其中
I
∶={1，2，…，
n
}。
定义3.1
[88]
若对时标
，有下式成立
则称时标
为概周期时标。
在下文中，我们令
为概周期时标。
注
3.1若
是一个概周期时标，则对于
t
∈
，
τ
∈
Π
有
σ
（
t
+
τ
）=
σ
（
t
）+
τ
。
定义3.2
[87]
令
为概周期时标，
f
∈
C
（
，
）。若对任意
ε
>0，
f
的
ε
移位数集
是相对稠密的。即对任意给定 ε >0，存在常数 l （ ε ）>0使得每个长度为 l （ ε ）的区间内总有 τ （ ε ）∈ E { ε ， f }⊂ Π 满足
其中
τ
称为
f
的
ε
移位数，
l
（
ε
）称为
E
{
ε
，
f
}的包含长度。则称
f
是
上的概周期函数。
记由所有此类函数所组成的集合为
AP
（
，
n
）。
引理3.1
[87]
若
α
∈
，
f
，
g
∈
AP
（
，
n
），则
αf
，
f
+
g
，
fg
∈
AP
（
，
n
）。
引理3.2
[87]
若
x
∈
AP
（
，
）且
τ
∈
AP
（
，
Π
），则
x
[·-
τ
（·）]∈
AP
（
，
）。
引理3.3
[87]
若函数
f
∈
C
（
，
n
）满足李普希茨条件，
ϕ
∈
AP
（
，
），则
f
（
ϕ
（·））∈
AP
（
，
n
）。
引理3.4
[84]
设
f
i
∈
AP
（
，
X
i
），其中
X
i
是一个Banach空间，
i
∈
I
.则对任给的
ε
>0，所有的函数
f
1
，
f
2
，…，
f
n
存在一个公共的
ε
-概周期集。
引理3.5
若
a
∈
AP
（
，
+
）满足-
a
∈
+
和
，
f
∈
AP
（
，
），则
属于
AP
（
，
）。
证明
因为
a
∈
AP
（
，
+
），
f
∈
AP
（
，
），所以根据引理3.4，对于任意的
ε
>0，存在一个
τ
∈
Π
使得
因此
即
根据引理2.9，用
e
-a（
σ
（
s
），
σ
（
t
））同时乘以等式（3.2.2）两边并在
上积分，可得
因此，由 σ （ s + τ ）= σ （ s ）+ τ ，有
然后，用 e - a （ t ， σ （ s ））同时乘以等式（3.2.3）两边，可得
因此，可得
由不等式（3.2.1）和等式（3.2.5），易得
证毕。
本章，主要考虑了以下时标上具有时变时滞的Clifford值高阶Hopfield神经网络：
其中
为概周期时标，
i
∈
I
；
n
表示神经网络中神经元的条数；
x
i
（
t
）∈
表示第
i
条神经元在
t
时刻的状态变量；
a
i
（
t
）>0表示在
t
时刻，当断开神经网络和外部输入时，第
i
条神经元可能会出现重置而导致静止孤立状态的比例；
b
ij
（
t
）∈
与
c
ijl
（
t
）∈
分别表示神经网络的一阶与二阶连接权重函数；
τ
ij
（
t
），
δ
ijl
（
t
）和
v
ijl
（
t
）为
t
∈
满足
t
-
τ
ij
（
t
），
t
-
δ
ijl
（
t
）和
t
-
v
ijl
（
t
）∈
的传输时滞；
I
i
（
t
）∈
表示第
i
条神经元在
t
时刻的外部输入；
f
j
，
g
j
∶
→
表示信号传输的激活函数。
本章中，引入以下记号：
系统（3.2.6）具有以下形式的初始条件：
其中
。
在本章中，假设以下条件成立：
（
S
1
）对于
i
，
j
，
l
∈
I
，
a
i
∈
AP
（
，
+
）满足-
a
i
∈
+
，
I
i
，
b
ij
，
c
ijl
∈
AP
（
，
）且
τ
ij
，
δ
ijl
，
ν
ijl
∈
C
（
，
+
）∩
AP
（
，
Π
）。
（
S
2
）存在正常数
，
且对所有的
u
，
ν
∈
，函数
f
j
，
g
j
∈
C
（
，
）满足‖
f
j
（
u
）-
f
j
（
v
）‖
‖
u
-
v
g
j
（
u
）-
g
j
（
v
）‖
‖
u
-
v
且
f
j
（0）=
g
j
（0）=0，其中
j
∈
I
.
（ S 3 ）存在一个正常数 r ，使得
其中
