3.2
模型描述和预备知识

对任意 定义其范数为 ；对任意 x =（ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ） ^T ∈ ⁿ 定义其范数为 ，其中 I ∶={1，2，…， n }。

定义3.1 ^[88] 若对时标 ，有下式成立

则称时标 为概周期时标。

在下文中，我们令 为概周期时标。

注 3.1若 是一个概周期时标，则对于 t ∈ ， τ ∈ Π 有 σ （ t + τ ）= σ （ t ）+ τ 。

定义3.2 ^[87] 令 为概周期时标， f ∈ C （ ， ）。若对任意 ε >0， f 的 ε 移位数集

是相对稠密的。即对任意给定 ε >0，存在常数 l （ ε ）>0使得每个长度为 l （ ε ）的区间内总有 τ （ ε ）∈ E { ε ， f }⊂ Π 满足

其中 τ 称为 f 的 ε 移位数， l （ ε ）称为 E { ε ， f }的包含长度。则称 f 是 上的概周期函数。

记由所有此类函数所组成的集合为 AP （ ， ⁿ ）。

引理3.1 ^[87] 若 α ∈ ， f ， g ∈ AP （ ， ⁿ ），则 αf ， f + g ， fg ∈ AP （ ， ⁿ ）。

引理3.2 ^[87] 若 x ∈ AP （ ， ）且 τ ∈ AP （ ， Π ），则 x [·- τ （·）]∈ AP （ ， ）。

引理3.3 ^[87] 若函数 f ∈ C （ ， ⁿ ）满足李普希茨条件， ϕ ∈ AP （ ， ），则 f （ ϕ （·））∈ AP （ ， ⁿ ）。

引理3.4 ^[84] 设 f _i ∈ AP （ ， X _i ），其中 X _i 是一个Banach空间， i ∈ I .则对任给的 ε >0，所有的函数 f ₁ ， f ₂ ，…， f _n 存在一个公共的 ε -概周期集。

引理3.5 若 a ∈ AP （ ， ⁺ ）满足- a ∈ ⁺ 和 ， f ∈ AP （ ， ），则

属于 AP （ ， ）。

证明 因为 a ∈ AP （ ， ⁺ ）， f ∈ AP （ ， ），所以根据引理3.4，对于任意的 ε >0，存在一个 τ ∈ Π 使得

因此

即

根据引理2.9，用 e -a（ σ （ s ）， σ （ t ））同时乘以等式（3.2.2）两边并在 上积分，可得

因此，由 σ （ s + τ ）= σ （ s ）+ τ ，有

然后，用 e - _a （ t ， σ （ s ））同时乘以等式（3.2.3）两边，可得

因此，可得

由不等式（3.2.1）和等式（3.2.5），易得

证毕。

本章，主要考虑了以下时标上具有时变时滞的Clifford值高阶Hopfield神经网络：

其中 为概周期时标， i ∈ I ； n 表示神经网络中神经元的条数； x _i （ t ）∈ 表示第 i 条神经元在 t 时刻的状态变量； a _i （ t ）>0表示在 t 时刻，当断开神经网络和外部输入时，第 i 条神经元可能会出现重置而导致静止孤立状态的比例； b _ij （ t ）∈ 与 c _ijl （ t ）∈ 分别表示神经网络的一阶与二阶连接权重函数； τ _ij （ t ）， δ _ijl （ t ）和 v _ijl （ t ）为 t ∈ 满足 t - τ _ij （ t ）， t - δ _ijl （ t ）和 t - v _ijl （ t ）∈ 的传输时滞； I _i （ t ）∈ 表示第 i 条神经元在 t 时刻的外部输入； f _j ， g _j ∶ → 表示信号传输的激活函数。

本章中，引入以下记号：

系统（3.2.6）具有以下形式的初始条件：

其中 。

在本章中，假设以下条件成立：

（ S ₁ ）对于 i ， j ， l ∈ I ， a _i ∈ AP （ ， ⁺ ）满足- a _i ∈ ⁺ ， I _i ， b _ij ， c _ijl ∈ AP （ ， ）且 τ _ij ， δ _ijl ， ν _ijl ∈ C （ ， ⁺ ）∩ AP （ ， Π ）。

（ S ₂ ）存在正常数 ， 且对所有的 u ， ν ∈ ，函数 f _j ， g _j ∈ C （ ， ）满足‖ f _j （ u ）- f _j （ v ）‖ ‖ u - v g _j （ u ）- g _j （ v ）‖ ‖ u - v 且 f _j （0）= g _j （0）=0，其中 j ∈ I .

（ S ₃ ）存在一个正常数 r ，使得

其中 vvH8VCbzYSoWCI4k/E8jEu39G68M/Lkr52jcTaNvp2gAhx524x8x5Y3u5U58b2Rr