2.3 电磁场的角动量

前面已经讨论了电磁场的动量及其守恒定律，与经典力学类比，上一节讨论的动量密度( g _f + g _P )属于电磁系统中的总线动量。由于物理学中角动量(或动量矩）与动量之间存在关联，本小节将继续讨论电磁场角动量。在力学中，质点的角动量 L 与动量 p 之间的关系为:

其中, r 是质点相对原点的位置矢量。因此，对于真空中带电粒子围绕 r _m = x _m e _x + y _m e _y + z _m e _z 的机械角动量在任意一点 r = x e _x + y e _y + z e _z 表示为:

而对于真空中的电磁场角动量密度 h _EM 表示为:

对上式关于时间求偏导，有:

考虑到因子d x /d t 代表电磁能速，它和电磁动量 平行，因此 ,因此有:

用( r - r _m )对电磁动量守恒表达式(2.33)做叉乘运算，有:

将式(2.6)和式(2.42)代入式(2.43),可得:

其中 f ( r )表示洛伦兹力密度矢量,

可以看到，系统中机械角动量的时间偏导即为洛伦兹力矩密度,

这里引入电磁动量流张量:

由此可得微分形式的电磁场角动量密度守恒方程:

其中，对称张量 M ( r _m )表示关于 r _m 的电磁角动量流密度。可以看到，电磁场角动量在机械角动量部分有损耗因子，洛伦兹力矩密度 T 表明电磁场的角动量与动态转动的电荷及电流是密切相关的。以上讨论的是角动量密度，因此在体积 V 内电磁场携带的总角动量为:

利用矢位 A 与磁场强度 B 之间的关系 ,同时考虑 B = μ ₀ H ,上式可改写为:

考虑矢量恒等式 ,有 ^［5］ :

由于真空中无源, ,上式可进一步表示为:

上式将电磁场的角动量分解成了两个部分，即:

其中, L _OAM 为轨道角动量, L _SAM 为自旋角动量，显然, L _EM = L _OAM + L _SAM 。 1Kt6h3yKIH4KjRwASR2IPN5QpzIKM7PW0DOyCFgG/mIM7NsvqMSO+RZBZCB4mcbe