3.7 混合结构估计器
——高斯和滤波

混合结构非线性滤波器是由一组量测构成的多个滤波器通过非线性加权和混合构成的。混合结构非线性滤波器是一种介于点估计与概率密度估计之间的滤波器。

考虑给定量测 z 的条件下MMSE估计 可以通过全期望得到，即

式中， 对应使用不同分布下的 y ^j = g （ z ）的LMMSE估计，即

其MSE矩阵为

式（3-227）中的概率 可由下式获得：

式中，似然函数 可由联合分布 p _g （ x ， z ）得到。

目前有两类比较典型的混合分布滤波方法，均是基于上述理论获得的，当 y ^j = z ， p _g （ x ， z ）为联合高斯分布时，则为高斯和滤波方法；当 y ^j = g （ z ）为非线性转换， p _g （ x ， z ）为某一假设分布时，则为多转换估计方法。本节主要对高斯和滤波方法展开介绍，多转换估计方法将在第5章中详细介绍。

考虑以下非线性系统：

式中，相关变量的定义与式（3-154）和式（3-155）相同，唯一不同的是过程噪声 w _{k -1} 和量测噪声 v _k 可能是非高斯的。

根据式（3-231）和式（3-232）构成的非线性系统，被估计量 x _k 的后验概率密度函数为

式中，

为了能够使用高斯和滤波框架解决非线性估计问题，首先介绍一个引理。

引理3-1 任意概率密度函数 p （ x ）都可以近似地表示为如下高斯和形式：

式中， x 表示向量随机变量； 和 P _i 分别表示第 i 个高斯分量的均值与方差； a _i 表示第 i 个高斯分量的权值，且 。

上述引理表明，通过增加高斯分量的个数和降低分量协方差到零，可令概率密度函数 p _A （ x ）近似到任意感兴趣的密度函数。

基于上述引理，在高斯和滤波框架中，被估计量 x _k 的后验概率密度函数 可由一个高斯混合近似，即

式中， 表示 k 时刻高斯分量的个数； 为 k 时刻第 i 个高斯分量对应的权值，且 。

基于上述高斯混合近似，高斯和滤波算法流程如下。

（1）初始化。对于加性的过程噪声 w _{k -1} 和量测噪声 v _k ， w _{k -1} 和 v _k 的概率密度可以由如下高斯和近似：

式中， ＞0和 ＞0均为标量，且

初始时刻状态的概率密度函数的高斯和近似可表示为

类似地， k -1时刻的状态 x _{k -1} 的后验概率密度函数 可表示为如下高斯和形式：

（2）状态一步预测。在式（3-234）中， 可以通过下式近似：

利用式（3-243），状态 x _k 的一步预测 可通过下式进行近似：

基于文献 ^［9］ ， 可通过高斯混合表示为如下形式：

式中， 和 可利用确定性采样方法得到。

（3）状态更新。由引理3-1和式（3-239）可得到似然函数 的高斯混合近似，即

基于式（3-233）和式（3-245），状态 x _k 的后验概率密度 可通过下式近似：

式中， c _k = 是归一化常数； 和 可利用LMMSE估计得到，即

且

进一步地， 和 P _k 可分别通过以下式子得到：

上述式子中的一、二阶矩 及 均可由3.5.3节介绍的确定性采样方法计算得到。 1b/SNBT6FbRO2DgBGpn7ib5yO+cTtp9ntdT7cUSXDdYgn6jW0k6OZG8Z+ZhjN0T3