考虑以下非线性估计问题:
式中, z 为量测; x 为需要被估计的状态向量; v 为量测噪声,可以是加性的或非加性的。
3.4.3节所述的基于LMMSE的估计为
式中,
;
P
x
=cov(
x
,
x
),
P
xz
=cov(
x
,
z
),
P
z
=cov(
z
,
z
),其中
。估计的均方差矩阵
定义为
LMMSE估计器是具有相同一、二阶矩的任意分布下最好的线性估计器。然而,由式(3-221)可以看出,
与量测
z
之间应为非线性关系。简单来说,当噪声不存在时,如果量测函数
h
(
x
)可逆,那么
=
h
-1
(
y
);当噪声存在时,
与量测
z
之间的非线性关系更加复杂。但是,式(3-222)中的LMMSE估计
与量测
z
是线性关系,因此可能存在一个与量测
z
呈非线性关系的估计器,其性能优于LMMSE估计器,该类估计器称为非线性结构估计器。
Lan针对非线性结构估计器开展了系列研究。假设 y = g ( z )是量测 z 的一个非线性转换,在LMMSE框架下,仅采用 y 进行估计,得到的估计器为
式中,
=
E
[
y
]且
y
z
是函数
g
(
z
)在量测
z
处的一个值;
P
xy
=cov(
x
,
y
);
P
yy
=cov(
y
,
y
)。
如果
y
=
z
,则估计器(3-225)为使用原始量测
z
的LMMSE估计器(3-222)。如果
y
=[
z
T
,
c
T
]
T
,其中
c
是原始量测
z
的一个非线性转换,则此时的估计器(3-225)为非线性估计器,使用该非线性转换扩维的量测
y
=[
z
T
,
c
T
]
T
的LMMSE估计器称为不相关转换滤波器。然而,在实际问题中,用于扩维的非线性函数
c
很难最优地获得。因此,兰剑等提出了最优转换采样滤波,针对一维的非线性转换函数
c
,通过最小化MSE矩阵
,基于采样的方法直接优化出非线性转换的一、二阶矩,从而进行估计,该方法称为最优转换采样滤波器。事实上,最优的非线性转换函数
y
=
g
(
z
)可能是一维或多维的,仅优化一维的不相关转换函数难以得到最优的估计器。因此,兰剑进一步提出了广义转换滤波器,该方法使用确定性采样方法直接优化与转换
y
=
g
(
z
)有关的一、二阶矩,进而获得最优的估计器。