3.4 状态估计

状态估计是对随机参数的估计方法，这类方法也可称为贝叶斯方法。在给定参数的先验概率下，利用贝叶斯公式和似然函数可获得被估计量的后验概率。状态估计方法通常用来解决时变的参数估计问题。根据状态与量测在时间上的对应关系不同，状态估计问题主要分为平滑问题、滤波问题和预测问题。本书主要关注滤波问题，因此只针对与滤波有关的状态估计方法进行介绍。

给定前 k 个时刻对随机变量 x _k 的观测 Z ^k ={ z ₁ ， z ₂ ，…， z _k }及先验信息 p （ x _k ）， x _k 的后验分布为

式中， 为似然函数； c _k = p （ Z ^k ）= 为归一化常数。

不同的状态估计方法都是基于该贝叶斯公式对随机变量进行估计的，常见的估计方法有最大后验估计和最小均方误差估计。

3.4.1 最大后验估计

对于随机变量的估计问题，常采用最大后验（Maximum a Posteriori，MAP）估计方法，该方法最大化了后验概率密度函数（3-104），可以描述为

式（3-105）中的最后一项忽略了归一化常数 c _k ，因为归一化常数的值与 x _k 的取值无关。MAP估计需要已知被估计量的先验及量测的似然。

3.4.2 最小均方误差估计

最小均方误差（Minimum Mean Square Error，MMSE）估计通过最小化估计的均方误差获得估计值，即

对式（3-106）求解梯度，可得

令式（3-107）的梯度等于0，可得到MMSE估计为

3.4.3 线性最小均方误差估计

在实际问题中，式（3-108）依然很难求解，因为其依赖后验分布 ，而 在大部分问题中是很难获得的。为了解决该问题，线性最小均方误差（Linear Minimum Mean-Square Error，LMMSE）估计被提出，该方法广泛应用于非线性随机参数的估计。

给定一个非线性系统 z = h （ x ， v ），其中向量随机变量 x 为被估计量， z 为带噪声的量测， v 为量测噪声，LMMSE估计计算 x 基于 z 的最优线性估计。此处的最优是MMSE意义下的最优，即找到一个线性估计

使估计的均方误差最小。多维情况下的均方误差为

估计的误差定义为

由估计的无偏性可得

式中， = E ［ x ］； = E ［ z ］。进而可得

从而得到估计误差为

由正交性原理可知，当估计误差 与量测 z 正交时，估计误差最小，即

式中，

如果 P _zz 可逆，那么可得到矩阵 A 为

将式（3-113）和式（3-118）代入式（3-109），可得到随机变量 x 的LMMSE估计，即

LMMSE估计［式（3-119）］的均方误差矩阵为

式中，

在目标跟踪领域，状态估计的先验通过状态空间模型获得，而此时的状态估计问题为滤波问题。对于离散的线性高斯状态空间模型，卡尔曼滤波是最优的MMSE估计器。然而，实际系统的量测非线性使直接求取后验均值的解析形式非常困难，因此各种非线性估计器应运而生。

总体来说，主流的非线性滤波方法主要分为两大类：点估计器和密度估计器。点估计器直接估计随机状态本身，而密度估计器首先基于先验信息和在线数据估计状态的后验概率密度函数，在此基础上估计状态，如粒子滤波等。在复杂的估计系统中，点估计器的结构更加灵活、简单，大部分情况下能够满足实际应用的实时性和精度需求，因此得到了广泛应用。本书将流行的非线性滤波点估计方法分为3类：线性结构估计器、非线性结构估计器和混合结构估计器，并对这3类方法进行逐一介绍。 0ZpN3DqhFnYxmpDo314A9nyqXxlGjqF8RAbkmRRzn6YqTO/ysN7908oWi1s6q9jo