2.2 目标运动模型

对目标运动模型的研究已经持续了数十年。早期由于雷达等传感器的探测能力有限，其分辨单元通常远大于目标，所获取的回波不足以对目标的空间特征进行有效描述，仅可描述目标的运动行为特征。于是通常将观测对象视为点目标（Point Target），即目标被视为一个没有形状的点，并构建动态模型（或称运动模型）来描述目标状态随时间的变化。

根据已有的研究，目标的空间运动基于不同的运动轨迹和坐标系，可以分为一维运动、二维运动和三维运动。根据不同方向的运动是否相关，目标的空间运动模型可以分为坐标间不耦合模型和坐标间耦合模型。

（1）坐标间不耦合模型。这类模型假设坐标系每个正交方向上的目标机动过程不耦合。目标机动是受到外力作用导致加速度发生变化的，所以对目标机动建模的难点在于对加速度及其变化规律的准确描述。对于无机动的目标，可用匀速（Constant Velocity，CV）模型描述其运动，该模型假设目标的加速度近似为零，也称非机动模型。匀加速度（Constant Acceleration，CA）模型则可用来描述加速度的大小、方向几乎不变的目标的运动。然而，上述两种假设均是实际目标机动的特殊情况，即加速度近似为零或常数。实际中，即使在两个邻近的采样时刻，加速度也可能发生变化，并且这两个时刻的加速度之间往往具有一定的相关性。Singer模型研究了这种情况，并假设加速度在每个时刻具有一种三重一致对称分布，提供了从CV模型到CA模型的一种过渡。针对Singer模型由于加速度零均值的假设而导致对高机动目标的描述能力不足的问题，兰剑等提出了基于参考加速度的自适应（Reference Acceleration Based Adaptive Model，RA）机动目标模型。

坐标间不耦合模型具有简单直观、对目标机动描述能力较强的特点，在实际系统中得到了广泛应用。

（2）坐标间耦合模型。坐标间耦合模型大多指的是转弯模型。按照坐标系，可将其分为二维转弯模型和三维转弯模型。相比之下，三维转弯模型较为复杂，在实际系统中的应用不如二维转弯模型普遍。在转弯模型中，目标加速度一般与速度和转弯角速度有关。假设目标的转弯角速度不变，可以得到匀转弯速率（Constant Turn Rate，CT）模型。而在实际跟踪问题中，目标的转弯角速度往往并不是先验知识，一种处理方法为在线利用目标估计速度进行估计。例如，在转弯角速度有效取值范围内进行采样，得到一个离散的转弯角速度集合，并假设这些转弯角速度对应的机动模型序列为一个转移概率矩阵已知的半马尔可夫链。另一种处理方法为将转弯角速度作为一个待估计的变量扩维到目标状态向量中，从而对转弯速率进行在线估计。

2.2.1 非机动模型

非机动模型是用来模拟目标做匀速运动的模型，又称CV模型，是最简单的目标运动模型之一。做匀速运动的目标的加速度 为零。考虑到实际情况中目标速度会有微小的改变，将加速度建模为 a （ t ）= w （ t ）≈ 0 ，其中 w （ t ）是对目标运动有微小影响的白噪声，可以解释不可预测的模型误差。则CV模型的状态空间模型为

式中， x = 为状态向量，（ x ， y ， z ）和 分别为目标在坐标系 X 轴、 Y 轴和 Z 轴上的位置与速度； w （ t ）=［ w _x （ t ）， w _y （ t ）， w _z （ t ）］ ^T 为连续时间的白噪声向量，其功率谱密度矩阵为［ S _x ， S _y ， S _z ］ ^T ；且

模型（2-4）对应的离散时间形式为

式中，

T 是采样间隔。

直接定义在离散时间上的CV模型为

式中，

w _{k -1} =［ w _x ， w _y ， w _z ］ ^T 为离散时间的白噪声序列， T 为采样间隔。噪声 w _{k -1} 的方差为

2.2.2 匀加速度模型

匀加速度模型，即CA模型，也是一种简单的目标运动模型。该模型假设目标运动的加速度为一个维纳过程，或者更一般和准确地说，是一个具有独立增量的过程。文献 ^［1］ 总结了两种CA模型。

1.白噪声加加速度模型

该模型假设加速度的微分（加加速度） = w （ t ），其中 w （ t ）为白噪声，对应功率谱密度为 S _w 。取状态向量 x = ，对应的状态空间模型为

式中，

模型（2-11）对应的离散时间形式为

式中，

2.维纳过程加速度模型

该模型假设加速度增量为白噪声。一段时间上的加速度增量就是加加速度在该时间段上的积分。该模型可用离散时间模型直接表示为

式中，

该模型的过程噪声 w _{k -1} 的方差为

CA模型是一种简单的机动模型，现实中的机动很少有在不同坐标方向上不耦合的恒定加速度。对于大多数实际情况，连续时间模型比离散时间模型更加准确，因为目标随时间连续运动。

2.2.3 Singer模型

考虑到加速度与时间的相关性，Singer模型假设加速度 a （ t ）的自相关函数的形式为

基于上述假设，可得加速度的谱密度函数为 S _a （ ω ）=2 ασ ² /（ ω ² + α ² ）。经过Wiener-Kolmogorov白化过程处理，可得关于加速度在状态空间的描述方式为

其中噪声 w （ t ）的自相关函数为

取状态变量 x = ，则连续时间的Singer模型动态方程可表示为

式中，

Singer模型的等价离散时间模型可表述为

式中，

w _{k -1} 的协方差矩阵为

式中，

Singer模型可通过如下的三重一致混合分布对加速度分布进行建模。

（1）目标可能以概率 P ₀ 无加速运动。

（2）目标或以等概率 P _max 按最大或最小加速度± a _max 运动。

（3）目标或在区间（ -a _max ，+ a _max ）上按一致分布的加速度加减速。

基于该假设，计算可得加速度的均值为零，方差为

式中， P _max 、 P ₀ 及 a _max 均为先验设计的参数。

Singer模型可视为一种介于CV模型与CA模型之间的模型：当时间常数 τ 较大，即 α 较小时，Singer模型趋于CA模型；当 τ 较小，即 α 较大时，Singer模型趋于CV模型。

2.2.4 基于参考加速度的自适应机动目标模型

针对Singer模型由于加速度零均值的假设而导致对高机动目标的描述能力不足的问题，兰剑等在文献 ^［2］ 中提出了基于参考加速度的自适应机动目标模型，即RA模型。该模型假设机动加速度在每个时刻都服从一种四重一致非对称分布，该分布主要包括两类信息：关于加速度的先验信息，如加速度的上下限等；在线的机动信息，即所谓的参考加速度。参考加速度为一个时变的函数，并作为当前加速度的一个可能成员被纳入总体分布。在实际实现时，参考加速度被建模为分段函数，每段加速度值采用前一时刻关于加速度的最优估计进行更新。

考虑如下模型：

式中， a （ t ）为目标在 t 时刻的加速度； a ₀ （ t ）为 t 时刻零均值有色噪声； 为 t 时刻非零加速度均值； α =1/ τ ＞0为时间常数 τ 的倒数，机动越剧烈，对应的时间常数越大； w （ t ）为 t 时刻零均值高斯噪声，其自相关函数为

为实时融合机动信息，此处提出了一种具有时变成员的四重一致混合分布，如图2-2所示。

（1）目标以参考加速度 u （ t ）运动的概率为 P _u 。

（2）目标无加速运动的概率为 P ₀ 。

（3）目标以最大/最小加速度 a _max / -a _max 运动的概率均为 P _max 。

（4）其他情况下相应的加速度均匀分布在区间（ -a _max ， a _max ）上。

计算加速度相应的均值及方差为

式中， （1/3-（1/3）（ P ₀ + P _u ）+ 。由式（2-29）可知，加速度均值和方差均随着参考加速度 u （ t ）变化。

该模型在Singer模型的基础上做了如下扩展：①加速度从零均值扩展为时变的非零均值；② w （ t ）从零均值高斯白噪声扩展为零均值并具有式（2-28）描述的自相关函数的非平稳高斯噪声。

取状态向量为 x =［ p ， v ， a ］ ^T ，其中 p 表示位置， v 表示速度， a 表示加速度，则RA模型的连续形式为

式中， u _man （ k -1）为 t _{k -1} 时刻与目标机动实时相关的估计量； β 值反映参考加速度变化的剧烈程度， β 越小，变化越剧烈。实际中，目标跟踪算法需要使用模型的离散化形式。考虑式（2-30），对 t ∈［ t _k ， t _{k +1} ），将其中的状态向量扩展为 x ^a =［ x ^T ， u ］ ^T ，可得

式中，

离散化式（2-30）得

式中， F ^a = ，于是有

式中，

过程噪声 w _{k -1} 的协方差矩阵为

将式（2-29）代入式（2-28），再代入式（2-36），即

假设参考加速度 u （ t ）在相邻两个时刻间变化不剧烈，即

则此时由式（2-29）可知

将式（2-39）代入式（2-37）：

积分后可得

式中，矩阵元素 q _ij ， i ， j =1，2，3与式（2-25）中的相同。

将目标状态与参考加速度分离，可得如下离散化动态方程：

式中， x _k 是式（2-30）中 x （ t ）在 t _k 时刻的值； F 为状态转移矩阵； G 为输入驱动矩阵； u _{k -1} = u _man （ k -1）= ； w _{k -1} 为式（2-30）中 Bw （ t ）对应的过程噪声，设其具有协方差矩阵 Q _{k -1} ，其中每部分为

式中， f ₁₄ 、 f ₂₄ 、 f ₃₄ 与式（2-35）中的一致。而对于 w _k ，其协方差矩阵为

式中，矩阵元素 q _ij ， i ， j =1，2，3与式（2-41）中的相同。

2.2.5 二维匀转弯模型

二维匀转弯模型是用来模拟目标在二维空间中做角速度 Ω （ t ）恒定的转弯运动的运动模型。与CT模型相对应的状态向量为

假设目标的转弯角速度 Ω 在一定时间段内是恒定的，即

对应的离散时间状态方程为

式中，

w _k 是三维高斯白噪声，其方差为

式中， q 是直线加速度过程噪声的方差； q _Ω 是转弯角加速度的过程噪声方差。

2.2.6 三维空间平面匀转弯模型

三维空间平面匀转弯模型可描述目标在三维空间任意平面内所做的匀转弯运动，其运动特点是目标的角速度和速度大小保持不变，角速度方向不变，速度方向均匀变化，速度方向与角速度方向时刻垂直。依据上述特点将三维空间平面匀转弯模型的角加速度建模为白噪声，则角速度为近似常数。

设Τ= OXYZ 表示惯性系，其中 O 和 X 、 Y 和 Z 分别表示笛卡儿坐标系的原点和各坐标轴；B= Pξηζ 表示目标系，其中 P 和 ξ 、 η 和 ζ 分别表示运动坐标系的原点和各坐标轴；而目标系B相对惯性系Τ的角速度为 Ω _BT 。在目标系中，目标的角速度定义为 Ω ^B =（ p ， q ， r ），文献 ^［3］ 给出了在惯性系中目标的角速度，即

式中， p = ； q = ； r = 。

对于任意时变向量 u （ t ），根据运动学的基本关系，有

式中， u ^T 和 u ^B 分别是 u 在惯性系Τ和目标系B中的表示；×表示向量的叉乘运算。

考虑一种重要情况：假定目标系中的 ξ 轴与目标速度向量重合，即 ξ = v / v ，其中 是速度向量的幅值，即目标速度。根据泊松公式 ，有

即

式（2-53）意味着总加速度等于线性加速度和转弯加速度之和，进而可以得到

式中， 。

由式（2-54）可以看出，当且仅当 Ω ⊥ v （ Ω · v =0）时，才有

式（2-55）表明，当转弯角速度与速度垂直时，转弯角速度也与加速度垂直，即转弯角速度 Ω 垂直于由 a 和 v 构成的平面（机动平面）。因此，如果 Ω 的方向保持不变，则机动运动在一个平面内，但不必在水平面内。

在此基础上，进一步假设目标转弯角速度不变，即 =0，则有

式中， ω 为转弯角速度的大小，其值为

文献 ^［4］ 根据式（2-56）和式（2-57），将三维空间内的平面匀转弯模型建模成一个二阶马尔可夫过程，即

取状态变量 x =［ x ， y ， z ， x ˙， y ˙， z ˙，˙ x ˙，˙ y ˙，˙ z ˙］ ^T ，则状态方程为

式中， I _n 表示 n 维单位阵。若取状态变量为 ，则状态方程为

式中，

w 为零均值白噪声，其功率谱密度为［ S _x ， S _y ， S _z ］。

等价的离散模型为

式中，

w _k 是零均值过程噪声，其方差为

模型（2-62）～模型（2-65）指定了由速度和加速度向量定义的机动平面内的匀转弯运动。在这个运动模型中， x 、 y 和 z 方向的运动只通过转弯角速度 ω 耦合。上述推导是转弯角速度 ω 已知的情况，但在实际跟踪问题中，转弯角速度 ω 往往是未知的，可将其作为被估计的目标状态分量进行处理，对转弯角速度的建模与2.2.4节的相关内容类似，此处不再赘述。

2.2.7 三维匀转弯模型

三维匀转弯模型的特点是角速度、速度均为近似常数，且角速度不一定垂直于速度，可用于描述滚筒机动等三维空间的机动形式。

由式（2-53）可知，当目标速度大小不变，即 = 0 时，可以推导出

一般情况下，因为 Ω 是未知的，所以一种最简单可行的方法就是在惯性系中对其状态分量 Ω _x 、 Ω _y 、 Ω _z 进行估计。取状态变量为 ，则式（2-66）可写为

将角加速度建模为白噪声，则角速度为近似常数，得到连续时间状态空间模型为

模型（2-69）是一个非线性模型，因为 M _Ω 取决于状态分量 Ω _x 、 Ω _y 和 Ω _z 。 le6Ubza4SrDqhdZfO3+kM4msXsGbshQ5vSu978QVqVY8d3dWegkIcQn4IzecwRB1