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不定方程是数论中最古老的分支之一,是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组,其未知数的个数通常多于方程的个数。
不定方程有时也被称为丢番图方程。上一节已经提及古希腊的丢番图曾对这类方程进行研究,因此以他的名字进行命名也就不足为奇了。丢番图的《算术》中包含了许多关于不定方程组 (变量的个数大于方程的个数)或不定方程式 (两个及以上的变量)的问题。丢番图只考虑正有理数解,而不定方程通常有无穷多个解。
除了费马大定理中的不定方程,涉及丢番图方程的著名例子还有贝祖等式、勾股定理的整数解、四平方和定理等。
贝祖等式是指对于任意两个整数 a 和 b ,设 d 是它们的最大公约数,那么关于未知数 x 和 y 的线性丢番图方程(称为贝祖等式) ax + by = m 有整数解( x , y ),当且仅当 m 是 d 的倍数时。贝祖等式有解时必然有无穷多个解。
勾股定理 x 2 + y 2 = z 2 (也称毕达哥拉斯方程)的正整数解可以表示为如下形式: x =2 pq , y = p 2 - q 2 , z = p 2 + q 2 ,其中 p 和 q 互素, p > q >0且二者不同时为奇数。
四平方和定理是由瑞士数学家欧拉提出的,该定理指出每个正整数均可表示为4个整数的平方和。
研究不定方程要解决三个问题:一是判断何时有解,二是有解时确定解的个数,三是求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家,公元1世纪成书的《九章算术》第八章中的第十三题“五家共井问题”就是一个例子,比丢番图方程还早300多年。这个问题是:“今有五家共井,甲二绠不足如乙一绠,乙三绠不足如丙一绠,丙四绠不足如丁一绠,丁五绠不足如戊一绠,戊六绠不足如甲一绠,各得所不足一绠,皆逮,问井深绠长几何?”这段话的意思翻译过来就是:五家共用一口水井,井深比2条甲家绳长之和还多1条乙家绳长,比3条乙家绳长之和还多1条丙家绳长,比4条丙家绳长之和还多1条丁家绳长,比5条丁家绳长之和还多1条戊家绳长,比6条戊家绳长之和还多1条甲家绳长。如果各家都增加所差的另一条取水绳索,刚好取水。试问井深、取水绳长各为多少?
我们很自然地想到列方程解决该题,可设井深为 x ,甲、乙、丙、丁、戊各家的取水绳长分别为 a , b , c , d , e 。根据5组数量关系列5个方程:
由于未知数的个数多于方程的个数,可以得到无数组解,但常识告诉我们,井深 x 一般在50寸到1000寸之间,而且 a , b , c , d , e 均为正整数,故方程组有有限组解。据此产生如下算法:将 x 看成“已知数”,将可能的 x 值(50和1000之间的正整数)代入方程进行试验,若 a , b , c , d , e 均为正整数,则这组数为方程组的解。因此,只需判断其中一个未知数为正整数,即可确定其他未知数均为正整数。这里取 a 为待检变量,故需找到 x 与 a 之间的关系,将方程化简为265 x =721 a 。
继《九章算术》之后,成书于公元5世纪的数学著作《张丘建算经》中的百鸡问题是一个影响至今的不定方程问题。该问题叙述如下:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一。凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”
设 x , y , z 分别代表鸡翁、鸡母、鸡雏的个数,则此问题即为求不定方程组的非负整数解 x , y , z ,这是一个三元不定方程组求解问题。原书中给出的三组正确答案为(4,18,78),(8,11,81),(12,4,84),开创了中国数学一问多答之先河。原书中没有具体解法,只说“术曰:鸡翁每增四,鸡母每减七,鸡雏每益三,即得”,翻译过来就是“解法是:若少买七只母鸡,就可以多买四只公鸡和三只小鸡”。这一解法简称百鸡术。因此,只要求出一组答案,就可以推出其余两组答案。
百鸡问题还有多种表述形式,如百僧吃百馒头、百钱买百禽等,大同小异。关于百鸡问题的解答标志着中国对不定方程理论有着系统的研究。南宋数学家秦九韶发明的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。清代数学家骆腾凤用大衍求一术求解百鸡问题的过程如下:对不等方程组
进行加减消元,化简后得到二元一次不定方程7
x
+4
y
=100。该方程等价于下述的一次同余方程组:
。这里的符号“≡”表示同余,同余的概念很简单:给定一个正整数
m
,如果两个整数
a
和
b
满足
a
-
b
能够被
m
整除,则称整数
a
和
b
对模
m
同余,记作
a
≡
b
(mod
m
)。
利用大衍求一术,可求出特解 y 0 =4,进而得到 x 0 =12, z 0 =84。用百鸡术中给出的增减率,可得到全部的整数解:
再根据问题的实际意义,最终得到百鸡问题中合理的三组解(4,18,78),(8,11,81)及(12,4,84)。
前一节已说过,丢番图在《算术》一书中给出了求著名的不定方程 x 2 + y 2 = z 2 的所有正整数解的方法,费马在阅读这部分内容时写下了那个十分著名的边注,引出了举世瞩目的费马猜想。后人猜测费马当时的想法并不成熟,否则也不会令后世一流的数学家为将费马猜想最终变成费马大定理奋斗了358年。
费马大定理
虽然费马大定理的证明难乎其难,但是费马写下的那段话十分有名。纽约的一座地铁站的墙上有一段涂鸦:“ x n + y n = z n 没有解,对此我已经发现了一种真正美妙的证明,可惜我没有时间写下来,因为我的地铁正在开过来。”这一调侃也说明了费马大定理在民众中的普及程度。2011年,Google竟然也在公司的标识上写道:“我发现了一个关于这条定理的美妙证法,可惜这里的空间太小,写不下。”这为的是纪念费马诞辰410周年。
费马猜想自出现以来在很长的时间里一直是个悬念。18世纪最伟大的数学家欧拉证明了 n =3,4时该猜想成立。后来,还有人证明当 n <105时该猜想成立。英国数学家安德鲁·怀尔斯花费了多年时间专注于费马大定理的研究,终于在1995年用100多页的论文给出了证明。当时英国报纸曾提到关于怀尔斯的研究内容的预印本长达100多页,全世界能完全弄懂证明细节的数学家不超过6人。异常艰苦的智力劳动使怀尔斯取得了20世纪的一项伟大的数学成就,并因此名垂数学史。
在证明费马大定理的过程中,大量的数学方法、数学理论被发现,全新的数学思想被提出。关键是其中任何一项成就都比不定方程有没有解这个问题本身重要得多。
德国大数学家希尔伯特说费马大定理是一只“会下金蛋的鸡”。据说曾有人问希尔伯特为什么不去证明费马大定理,这位大数学家的回答是“我可不想杀了这只会下金蛋的鸡”。由此可见费马的“无用之学”(在很长的一段历史时间里,有人认为数论是无用之学)对数学的深刻影响。或许希尔伯特也没有足够的能力证明这条定理,或许这真是为数不多的对整个数学的发展起巨大推动作用的好问题之一,正如爱因斯坦所认为的“提出一个问题往往比解决问题更重要”!
对费马大定理的研究产生了19世纪的数论,高斯于1801年出版的著作《算术研究》奠定了近代数论的基础。这部著作不仅是数论方面的划时代之作,也是数学史上不可多得的经典著作之一。此后,数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。
数论还有诸多分支,而数论的古典内容基本上不借助其他数学分支的方法,被称为初等数论。17世纪中叶以后,曾受数论影响而发展起来的代数学、几何学、分析学、概率论等数学分支又反过来促进了数论的发展,出现了代数数论(研究整系数多项式的根——代数数)和几何数论(研究直线坐标系中坐标均为整数的全部“整点”——空间格网)。19世纪后半叶出现了解析数论(用分析方法研究素数的分布)。20世纪出现了完备的数论理论,中国数学家华罗庚、陈景润等在解析数论方面都做出过突出的贡献。
x n + y n = z n 仅仅是一个不定方程,如果我们能够破解更多不定方程中隐藏的秘密,那岂不是将有更多代数的冰山浮出水面?美国数学家约翰·德比希在他的著作《代数学的历史:人类对未知量的不舍追踪》里说:“现在,代数学已经成为所有智力学科中最纯净、最苛刻的学科……但最令人惊讶、最神秘的是在这些非物质的精神对象层层嵌套的抽象之中,包含着物质世界最深层、最本质的秘密。”
在1900年的第二届国际数学家大会上,希尔伯特提出了著名的23个数学问题,其中丢番图方程可解性的判别赫然在列。这个问题是:能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性?1970年,苏联的一位数学家证明了这样的算法不存在。