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说起丢番图,想必一些年少时读过《十万个为什么》(数学卷)的读者,对这个名字并不陌生,对他奇特的墓志铭也耳熟能详。这一节让我们再次回顾这位古希腊数学家的一生以及他给数学带来的影响。
丢番图及其著作《算术》
丢番图是古希腊亚历山大后期的数学家,生活在埃及,因代数学研究而闻名,以代数学的鼻祖著称。因为年代太久远,关于他的生卒,没有确切时间,约公元246—330年的说法已无从考证,应该是按照他的墓志铭中的年龄以及他的数学研究成果出现的时代来推算的。
尽管对于丢番图的生平经历,人们知之甚少,但在公元500年前后出现的一本《希腊诗文选》中收录了丢番图的墓志铭:
过路人,这里埋葬着丢番图。多么令人惊讶,碑文忠实地记录了他所经历的人生。上帝给予的童年占六分之一。又过十二分之一,两颊长胡须。再过七分之一,点燃起结婚的蜡烛。五年之后,天赐贵子。可怜迟到的宝贝儿,享年仅及其父之半,便进入冰冷的坟墓。悲伤只有用数论的研究去弥补。又过四年,他也走完了人生的旅途。请问他活了多少年才与死神见面?
墓志铭的中文译者看来还是有些中国诗歌功底的,因为译文读起来很押韵。这篇墓志铭显然是一个典型的一元一次方程问题,有一点初中数学基础的人都可以轻而易举地进行解答。设丢番图活了 x 岁,列出下列方程:
解得 x =84。
如果非用小学生学到的数学知识来求解,则采用分式解法,这个问题转化为考虑9年(结婚到孩子出生有5年时间,儿子离世到他也去世有4年时间)占据丢番图一生的几分之几。当然是
,故有
在那个医学远不发达的遥远时代,丢番图确实算长寿之人,这难道和他热爱数学、专注于代数学研究有关?
丢番图写过三部著作,即《算术》《论多边形数》(或译为《多角数》,仅存一些残篇)和《行论》(已遗失)。其中,《算术》原有13卷,15世纪发现的希腊文本仅有6卷,1973年在伊朗境内发现的阿拉伯文本为6卷,现存10卷,共有290个问题,分50余类。它是丢番图最具创造性和影响力的伟大著作,有多种版本和评注。《算术》主要讨论一次方程、二次方程以及少量的三次方程,还有大量的不定方程。现在对于具有整数系数的不定方程,如果只考虑其整数解,则称之为丢番图方程,这属于数论的一个重要分支。丢番图当时主要讨论不定方程在有理数范围内的正根,因为他认为负根是不合理的。他解方程的方法大都比较巧妙,但是解一题用一法,甚至性质相近的方程的解法也不同,所以后人评价丢番图给人的困惑大于惊喜。
换一个角度来看,《算术》研究的问题也可归入代数学的范畴。代数学区别于其他学科的最大特点是引入未知数,并对未知数加以运算。就引入未知数,创设未知数的符号,建立方程的思想(虽然还不是现代的形式)并加以举例论述来说,《算术》完全可以算得上代数学领域的开山之作。
古希腊的代数学著作是用纯文字写成的,还没有采用符号系统。丢番图的一个重要贡献是在代数学中创造了一套缩写符号——一种“简化代数”,这是介于修辞学与完全的符号代数学之间的一种过渡性的代数符号体系,它使代数学的思路和书写更加有效和紧凑。例如:
丢番图的符号 s Δ Y K Y Δ Y ΔΔ K Y K Y K
现在通用的符号 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
符号的出现可是一件大事,对数学的发展起着举足轻重的作用。数学的定义中曾有一种“符号说”——认为数学是一种高级语言,是符号的世界。德国大数学家希尔伯特曾说“算术符号是文字化的图形,而几何图形则是图像化的公式,没有一个数学家能缺少这些图像化的公式”。
符号对于每一个学习过数学的人来说都不陌生,符号代表一种速写方式。符号使得数学具备了抽象与简洁的特征,尽管人们无法对每个数学符号的产生进行确切的历史考证,但是一些重要的符号仍然在数学史上留下了深深的足迹。
公元3世纪之前,关于代数问题的解还没有缩写和符号,而是写成一篇论文,称之为文字叙述代数。此时,让我们试想一下,一本没有数学符号的数学教材会是什么样子呢?一个洋洋洒洒的大部头,缺乏小说中的那些引人入胜的情节,估计会让人读得昏昏欲睡吧。丢番图也许意识到了这种表达方式的缺陷,他对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方式,开创了简化代数学的新时代。
今日的数学符号,是早期人们使用的符号经过长期实践后保留下来的。如果我们的祖先很早就开始使用这样的符号,数学的发展很可能会更快,也许学习数学的人会更多,许多数学著作及方法也不至于失传。在这个意义上,丢番图的符号与简化思想是如此超前。
大家都知道,中学数学分为代数学与几何学两部分。古希腊时代,数学最初就是几何学,欧几里得的几何学深入人心,稳坐数学王者的宝座。当时的人们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性,代数学也披上了几何学的外衣,一切代数问题,甚至简单的一次方程的求解都被纳入了几何学的模式之中。此时丢番图横空出世,他认为代数方法比几何演绎更适合解决问题,从而把代数学解放出来,摆脱了几何学的羁绊,使代数学成为希腊数学中独立发展的一个分支。他在解题的过程中展现出了高度的技巧和独创性,使得《算术》被认为是一部可以和《几何原本》相媲美的、具有划时代意义的杰作。关于欧几里得及他的旷世巨作《几何原本》,我们将在第3章中进行详细介绍。
《算术》收集了许多有趣的问题,丢番图都给出了出人意料的巧妙解法,下面列举几个(仅给出答案)。
第1卷问题17:试求四个数,使其中每三个数之和分别等于给定的四个数,例如22,24,27,20。丢番图的答案是4,7,9,11。
第3卷问题6:试求三个数,使得它们的和等于一个平方数,其中任何两个数之和也等于一个平方数。丢番图的答案是80,320,41。
第4卷问题10:试求两个数,使得它们的和等于它们的立方和。丢香图的答案是
,
。
第6卷问题1:试求一个毕达哥拉斯三数组(即勾股数组),使得相应直角三角形的斜边减去任何一个直角边都等于一个立方数。丢番图的答案是40,96,104。
以第3卷问题6为例,看看如何得到答案,尽管验证是极其容易的事情。
设所求的三个数为 x , y , z ,丢番图给出的答案是 x =80, y =320, z =41,则 x + y + z =441=21 2 , x + y =400=20 2 , y + z =361=19 2 , z + x =121=11 2 ,答案正确。但要求出这个答案绝非易事,甚至可以说太难了。
事实上,采用构造法,令
则有
,
,
,
。如此一来,该问题有无穷多组解,即便限制解为正整数。这类问题就是求解不定方程,但我们不要忘记丢番图是不定方程的创始人啊!
尽管丢番图的思想远远超过了同时代的人,但遗憾的是他生不逢时,没有对那个时代产生太大的影响,因为罗马人很快到来了,一股吞噬文明的毁灭性浪潮降临了。公元3世纪以后,战乱连年不断,古希腊数学不再辉煌。
古希腊、古罗马的数学随着古老帝国的衰落也快速衰落下去,慢慢被世人遗忘。丢番图的《算术》沉寂了千年以后,直到16世纪才被逐渐翻译为拉丁文。其中,1621年巴切特翻译出版的拉丁文译本是最有名的一个版本。1637年,法国“业余数学家之王”费马在家里阅读的就是这个版本。他曾在第11卷第8个问题(这个问题给出了求 x 2 + y 2 = z 2 的所有正整数解的方法)旁边的页边空白处写下一段注释:“将一个立方数分成两个立方数之和,或者将一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地,将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已经发现了一种奇妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下。”这段批注的意思是说方程 x n + y n = z n 在 n >2时无正整数解,这就是著名的费马猜想,也常称为费马大定理或费马最后定理。对于该问题的研究产生了19世纪的数论。有趣的是,费马直到他28年后离世也没有发表他的奇妙证法。1667年,费马的儿子在翻阅父亲遗留的书本时发现了这个批注并将之公之于世。1670年,《算术》一书在法国再版,费马的批注被收录其中。
无论如何,从现存的文献中足以看出丢番图的杰出,他或许是数论领域中第一个真正的天才,他的《算术》对欧洲的数论产生了极其深远的影响。