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对于弹性力学基本方程，只要给出边界条件，理论上完全可以解出空间问题15个未知量、平面问题8个未知量。这种问题在数学上称为微分方程的边值问题。通常有3种基本解法，即按应力求解、按位移求解和混合求解。按应力求解以应力分量为基本未知函数，先求应力分量，再求其他未知量，是超静定问题，需要补充变形协调条件。由于位移边界条件不能改用应力分量表达，按应力求解时，弹性力学问题只能包含应力边界条件。按位移求解则以位移分量为基本未知函数，此时应通过物理方程和几何方程将平衡微分方程改用位移分量表达。应力边界条件也可以用位移分量表达，按位移求解时，弹性力学问题可以包括位移边界条件和应力边界条件。混合法就是以一部分应力分量为基本未知量，再以一部分位移分量为基本未知量，既建立变形协调方程，又建立内力平衡方程，最后加以求解。不管用哪种方法，工程实际中提出的弹性力学问题，能求得解析解的极其有限，多数还要用数值方法求解。
弹性力学的变分解法属于能量法，是与微分方程边值问题完全等价的方法，将弹性力学问题归结为能量的极值问题。能量表达成位移分量的函数，位移本身又是坐标的函数，因此能量是函数的函数，称为泛函。变分法就是研究泛函的极值问题。
弹性体在外力作用下发生变形，外力对弹性体做功，若不考虑变形中的热量损失、弹性体的动能以及外界阻尼，则外力功将全部转换为储存于弹性体内的位能——应变能。把虚功原理应用于连续弹性体，则可表述为：弹性体在外力作用下处于平衡状态，外力在弹性体所能发生的任何一组虚位移上所做虚功的代数和等于弹性体所储存的虚应变能。
弹性体某位置处在外力作用下实际发生的位移分量
u
、
v
、
w
，既满足位移分量表达的平衡微分方程，又满足边界条件以及用位移分量表达的应力边界条件。假想这些位移分量发生了边界条件所允许的微小改变，即所谓虚位移或位移变分δ
u
、δ
v
、δ
w
成为
，
，
，则外力在虚位移上所做的虚功为
当弹性体发生虚位移后，虚应变能
为应力在虚位移引起的虚应变上所做的虚功。
假定在发生虚位移的过程中，没有其他形式的能量损失，依据能量守恒定理，应变能的增加等于外力在虚位移上所做的功，即虚应变能等于外力虚功。这就是连续弹性体的虚功原理（或称虚位移原理）。
（1-22）
虚功原理（虚功方程）可具体表示为
（1-23）
也可以写成矩阵形式，即
（1-24）
其中，[ δ * ]为虚位移列阵，[ F b ]为体力列阵，[ F N ]为面力列阵，[ ε * ]为虚应变列阵，[ σ ]为应力列阵。
外力从位移状态
退回到无位移的初始状态时所做的功，称为外力势能，记为
E
。弹性体在这个退回过程中，内部产生变形势能（应变能），记为
U
。
（1-25）
（1-26）
变形势能和外力势能的总和称为总势能
，
。从前面的虚功原理看到，位移状态
d
为真实位移状态的充分必要条件是：对应位移
d
的总势能一阶变分为零，即对应位移
d
的总势能取驻值。满足位移边界条件的所有位移中，实际发生的位移使弹性体的势能最小，这就是最小势能原理。
（1-27）
对比虚功原理与最小势能原理，可知二者是完全等价的，一个用功的形式表达，另一个以能的形式表达。通过运算，可以由它们导出平衡微分方程和应力边界条件。