第三节 索洛经济增长模型简介

一 索洛增长模型简介

新古典经济增长理论的主要代表是美国经济学家罗伯特·索洛以及英国经济学家斯旺。本节主要介绍索洛增长模型。索洛增长模型主要包含四个变量：产量（ Y ）、资本（ K ）、劳动（ L ）和“知识”或“劳动的有效性”（ A ）。生产函数的形式为

其中， t 表示时间。

索洛增长模型中的一个重要假定是，该生产函数对于其两个变量资本和有效劳动是规模报酬不变的。这样的生产函数被称为劳动增进型或哈罗德中性。事实上，生产函数的形式是多种多样的，不同形式的生产函数代表了不同的生产技术方式。式（6-1）的生产函数形式表明了技术变化是通过对劳动投入的影响而实现的。因此，设定生产函数形式体现了对技术变化类型的事先设定。

在式（6-1）中，劳动的有效性 A 的意义是体现技术水平， A 和 L 组合成 AL ，意在表明技术变化是通过对劳动要素作用得以反映的。 A 在索洛增长模型中是外生性参数。由于有规模报酬不变的假定，因此采用集约形式（intensive form）的生产函数对有关的讨论更为方便。具体进行如下变换：

记 ， ， f [ k （ t ）]= F [ k （ t ），1]，则 y 可写成集约形式的生产函数：

其中， k 是每单位有效劳动的平均资本量， y 是每单位有效劳动的平均产出量。

对 f （ k ）的有关假定是： f （ k ）满足 f （0）=0， f '（ k ）＞0， f ″（ k ）＜0；其中， f （ k ）还满足稻田条件（Inada，1964）： ， 。满足上述条件的函数曲线的形态可用图6-2表示。

由 可知， Y （ t ）= y （ t ） A （ t ） L （ t ），因此总量产出可通过 y = f （ k ）来讨论。在索洛模型中，资本、劳动和知识的初始水平被看作既定的，即零时的 K （0）、 L （0）和 A （0）是已知的。劳动力和知识以不变的速度增长。其中，人口与劳动力不加区别，即人口即为劳动力。如果人口用 N 表示，则 L = N 。设人口增长率为 n ，即 ，于是有 。同时设 。其中， n 和 g 为外生参数。变量上方加一点表示该变量关于时间的导数。如 ，其中 t 表示时间。

产出被分为消费和投资，其中产出中用于投资的比例 s 是外生的和不变的。这样，投资 可表示为

其中， δ 为折旧率。尽管对 n 、 g 和 δ 没有单独给予约束，但三者之和被假定为正。式（6-2）的 实际是净投资。

二 索洛模型中的均衡增长路径方程

由 y = f （ k ）知，若 k 一定，则 y 一定。即 k 的变动直接影响 y 的变动，这是考察 情况的原因。注意： 的经济意义是一种投资，具体说是每单位有效劳动的平均投资，这如同 为总投资的含义一样。

因为 ，对该式两端对时间 t 求导，并结合式（6-2）得到下面的表达式：

可以看出，式（6-3）在形式上与式（6-2）是相同的，表明对式（6-3）的理解可按对式（6-2）来理解。因此式（6-3）可理解为，是决定每单位有效劳动的净平均投资的表达式。式（6-3）是决定经济均衡增长路径（balanced growth path）的方程，因此称满足式（6-3）的 的 k （ t ）为经济的均衡增长路径，并记此 k （ t ）为 k ^* 。

下面对经济均衡增长路径的含义进行解析。首先，式（6-3）是一个微分方程。其次， 不是指 k （ t ）的导数为零，而是指微分方程

其含义是：满足微分方程（6-3）的解中，使式（6-4）成立的解，该解记为 k ^* 。其经济意义是：当单位有效劳动的平均投资量为 k ^* 时，则单位有效劳动的净平均投资量为零。具体来看，假设 k ^* 满足下面关系式：

即

称 sf （ k ）为实际投资项（actual investment），称（ n + g + δ ） k 为持平（补偿）投资项（break-even investment）。在图6-3中两线的交点处意味着实际投资与持平投资相等。而稻田条件保证两线存在交点，而交点决定了 k ^* 。

注意， k 表示每单位有效劳动的平均资本量， 表示每单位有效劳动的平均投资量，记为 i ，即 。

三 k ^* 含义的分析

图6-3中 k ^* 的含义是什么？如果经济中 k ^* =0即意味此处的每单位有效劳动的平均投资为零，这时如果曲线 sf （ k ）和直线（ n + g + δ ） k 不变（即要求经济中的各参数不变），则 k 的水平将不再增加。

但初始的 k ₀ 不一定恰好等于 k ^* ，对此可用图6-4动态考察经济从某一初始状态开始变动的过程。索洛模型假定经济初始状况是既定的，如假设经济在初始 t ₀ 时的每单位有效劳动的平均资本水平为 k ₀ 。这时每单位有效劳动的平均投资 i ₀ 为

如果 i ₀ 不为零，则每单位有效劳动的平均资本水平 k 将变动（投资不为零而影响资本的积累）。如果 i ₀ ＞0，则在 t ₀ 处 k 是增函数，时间 t 的增加导致 k 的提高；同理，如果 i ₀ ＜0，则 k 下降。

具体考察如图6-4所示的情况。假定 k ₀ 为初始值，有 i ₀ ＞0，其中线段 BC 即是 i ₀ ，即 i ₀ = sf （ k ₀ ）-（ n + g + δ ） k ₀ 。假设 i ₀ ＞0导致 k ₀ 增加到 k ₁ ，这时经济中产生的投资量 i ₁ 为线段 DE 。如此下去， k ₀ 将收敛于 k ^* 。当到达 k ^* 处时 k 不再增加，但也不减少，即经济保持 k = k ^* 的水平。同理可以考虑 i ₀ ＜0的情况。

也就是说，无论 k ₀ 为何值，在满足索洛模型的假设条件下， k ₀ 都将收敛于 k ^* 。这便是这两条线（实际投资项的线和持平投资项的线）交点的经济意义。而稻田条件保证非零的交点是存在的且是唯一的。

事实上，只要满足实际投资项线和持平投资线的非零交点是存在的且是唯一的，则即意味 k ^* 存在，而对此而言稻田条件实际上是一个过于严格的条件。换句话说，在一些不满足稻田条件的情况下，同样可能存在唯一的非零的交点（ k ^* ）。例如，当满足 （ c 为大于零的常数），且有 n + g + δ ＞ c 成立，同样可以保证实际投资项线和持平投资线的非零的交点是存在的且是唯一的。

上述的情况表明 k ^* 还有更深层面的意义，即 k ^* 体现了经济增长稳态下的产出能力水平。这一点对分析经济增长潜力是非常重要的。分析经济增长的潜力就是分析经济增长进入稳态下的产出能力，因为波动性的经济增长不代表经济增长的潜力。短期内的经济增长可以通过一些措施而实现，如在短期内大量增加投入而取得短期内的经济快速增长。但是，正如索洛增长模型所揭示的，无论经济的起点状况怎样，在相关参数既定的情况下，如经济中的储蓄率保持不变，产出增长最终都归于平衡增长路径上的 k ^* 。因此，只有 k ^* 水平的高低才能体现长久的经济增长潜力水平的高低。

四 在索洛模型中达到均衡增长路径时的经济状态

如果在索洛模型中达到均衡增长路径，即 k = k ^* ，而在参数不变的条件下 k ^* 保持不变，因此有 y ^* = f （ k ^* ）为不变。由于 ，因此在均衡增长路径上有 。

结论1：在均衡增长路径上人均产出 的增长率等于 A 的增长率 g ，即等于技术进步率。

而对总量产出又 Y = ALf （ k ），因此在均衡增长路径上有 Y = ALf （ k ^* ）。

结论2：在均衡增长路径上总产出增长率等于 A 的增长率 g 加上 L 的增长率，即等于 g + n 。

也就是说，在满足索洛模型中条件假设的情况下，无论经济中的初始投入是怎样的规模，经济向一个均衡增长路径收敛，当达到均衡增长路径的状态时，人均产出的增长率将只取决于技术进步率。这便是索洛模型所揭示的技术进步是经济增长的源泉的关键所在。而总产出增长率等于 A 的增长率 g 加上 L 的增长率，即等于 g + n 。这些增长率都是常数。因此，罗默指出，索洛模型意味着不管出发点如何，经济向一平衡路径收敛，在均衡增长路径上，该模型中每个变量增长率是常数。在均衡增长路径上，工人平均产量的增长率仅仅决定于技术进步率。

注意，上述结论成立有前提条件，即要求 n 、 g 这些参数是不变的。这也是“模型中每个变量增长率是常数”结论成立的前提条件。显然，当 n 、 g 这些参数变动时，将不能保证“模型中每个变量增长率是常数”结论成立。而其中人口增长率 n 、技术进步率 g 、折旧率 δ 和储蓄 s 保持不变是索洛模型的假设条件，而不是模型决定的结果。 RRgyK6V/m2cxpycvX2AEW5gEugytp3uFYTjWasHb/3IpV5Q1goZiEMbR8sMjHqty