2.3 常用的关系运算

数据查询是实际应用中最常用的操作。关系代数是一种抽象的查询语言，是以集合代数为基础、以关系（表）为运算对象的高级运算。 关系运算具有三大要素： 运算对象、运算符和运算结果。关系代数的运算对象和运算结果都是关系。

2.3.1 关系运算种类和运算符

1．关系运算的种类

关系运算的种类 有 两种 ：传统关系运算和专门关系运算。 传统关系运算 将关系作为集合，并对“水平”方向（行）运算， 专门关系运算涉及 行和列。

（1）传统关系运算

传统关系运算主要使用传统的集合运算方法将关系（表）作为行（记录）的集合，从关系的行方向进行（集合）运算，常用的是两个关系的运算。

传统的集合运算可以实现的基本操作 如下。

1）并运算。在数据库中，用于实现对指定数据的插入和添加操作。

2）差运算。在数据库中，用于实现对指定数据记录的删除操作。

3）差并结合。修改数据的操作，要先删除（差）后插入（并）。

（2）专门关系运算

专门关系运算 是针对关系数据库专门设计的，涉及关系的行和列。利用比较运算符和逻辑运算符可以实现辅助专门的关系运算符操作。有时还需要对关系本身运算，如果需要显示表中某列的值，就需要利用关系的专门运算中的“投影”。

2．关系运算符

关系运算符有四种 ：集合运算符、专门的关系运算符、（算术）比较运算符和逻辑运算符。具体的使用方法将在后面结合应用案例介绍。

1）集合运算符：∪（并运算）、—（差运算）、∩（交运算）、×（笛卡儿积）。

2）专门的关系运算符：σ（选择）、π（投影）、 （连接）、÷（除）。

3）（算术）比较运算符：＞（大于）、≥（大于或等于）、＜、≤、=、≠。

4）逻辑运算符： （非）、∧（与）、∨（并）。

2.3.2 传统的关系运算

传统的关系运算可以归纳为集合运算，即对两个关系的集合运算， 主要包括四种 ：并、差、交和广义笛卡儿积。

1．并运算

设关系 R 和关系 S 具有相同的 n 目（属性/列），且相应的属性取自同一个域，则 关系 R 和关系 S 的并（Union） 由属于 R 或属于 S 的记录（元组）组成。其结果关系的目仍为 n ，记为 R ∪ S 。 形式化定义 为 R ∪ S ={ t|t ∈ R ∨ t ∈ S }。其中， t 表示关系 R 或 S 中的记录，即关系 R 或 S 中的行。

注意： R ∪ S 的结果集合是 R 中的记录和 S 中的记录合并一起构成的一个新关系。特别要指出的是，合并后的结果必须除去重复记录。

2．差运算

设关系 R 和关系 S 具有相同的 n 目（列/属性），且相应的属性取自同一个域，则 关系 R 和关系 S 的差（Difference） 由属于 R 且不属于 S 的记录组成。其结果关系的目仍为 n ，记为 R-S 。形式化定义为 R-S ={ t|t ∈ R ∧ t ∉ S }。其中， t 表示属于 R 且不属于（差掉） S 的所有记录。

3．交运算

设关系 R 和关系 S 具有相同的 n 目（列/属性），且相应的属性取自同一个域，则 关系 R 和关系 S 的交（Intersection） 由属于 R 且属于 S 的记录组成。其结果关系的属性数仍为 n ，记为 R ∩ S 。 形式化定义 为 R ∩ S ={ t|t ∈ R ∧ t ∈ S }。其中， t 为同时属于关系 R 和 S 中的所有记录，即关系 R 且 S 中行的公共部分。

4．广义笛卡儿积

设关系 R 和关系 S 的目（列/属性）分别为 r 及 s 。关系 R 和 S 的 广义笛卡儿积（Extended Cartesian） R × S 是一个（ r + s ）目的记录集合（新关系有 r + s 列），每个记录的前 r 个分量（属性值）来自关系 R 的一个记录，后 s 个分量是关系 S 的一个记录。关系 R 和关系 S 的笛卡儿积记为 R × S ，其 形式化定义 为 。

说明： t ^r 、 t ^s 中的 r 、 s 为上标，分别表示 r 个分量和 s 个分量。若关系 R 的基数（行数）为 k ₁ ，关系 S 的基数为 k ₂ ，则关系 R 和关系 S 的笛卡儿积的基数为 k ₁ × k ₂ 。

注意： 关系 R 和关系 S 中有相同的属性名“学号”，在计算结果中为了区分，需要在其属性名前标注上相应的关系名，如 R .学号和 S .学号。

在实际应用中，单独笛卡儿积本身并无具体实际意义和用途，只有在两表连接时需要限制条件，才能起到正确处理有效数据的作用。

2.3.3 专门的关系运算

专门的关系运算有四种 ：选择运算、投影运算、连接运算和除运算。其中，选择运算可以在多表中选取符合满足条件的记录并构成新关系（表），投影运算可选取记录中指定的属性（列）并构成新关系，连接运算可选取符合条件的记录串联（连接）成新关系，除运算可选取象集符合条件的记录的多个属性（列）构成新关系。

1．选择运算

选择（Selection） 运算也称 限制（Restriction） ，可对关系进行水平（行）分割（选取）。选择是在表中选取符合指定条件的记录， 记为 σ _F （ R ） 。其中， σ 为选择运算符； F 表示选择条件， F 通常是一个逻辑表达式，其取值为逻辑值“真”（成立）或“假”（不成立）。 σ _F （ R ）表示从 R 中选取满足条件 F 的记录（行）所构成的新关系， 形式化定义 为 σ _F （ R ）={ t|t ∈ R ∧ F （ t ）=true}。

逻辑表达式 F 的基本形式 为 X θ Y 。其中，θ表示比较运算，可以是＞、≥、＜、≤、=、≠； X 和 Y 为属性名、常量或简单函数，属性名可以用其序号替代。在基本的选择条件中可以进一步地进行逻辑运算，包括非（ ）、与（∧）、或（∨）运算。

2．投影运算

投影（Projection） 运算可对关系（表）进行垂直分割，即对关系的列方向的筛选。

投影运算是在一个关系中选取某些属性或列，并重新排列其顺序，再删掉重复记录后构成的新关系，是对二维表的垂直分割， 记为π _A （ R ） 。其中，π为投影运算符， A 为关系 R 中的属性列。 投影运算的形式化定义 为 （π _A （ R ）={ t 「 A ┐ t ）∈ R } 。

3．连接运算

连接（Join） 运算也称为 θ连接 ，是从两个关系的广义笛卡儿积中选取属性间满足一定条件的记录。 形式化定义为 ：

其中， A 和 B 分别为关系 R 和关系 S 上列数相同且可比的属性组。θ为比较运算符。连接运算从 R 和 S 的笛卡儿积 R × S 中选取 R 关系在 A 属性组上的值与 S 关系在 B 属性组上的值满足比较关系θ的记录。

连接运算中有两种常用的连接 ：等值连接（Equijoin）和自然连接（Natural Join）。

1） 等值连接 。等值连接指θ为“=”的连接运算。从关系 R 和关系 S 的广义笛卡儿积中选取 A 与 B 属性（列）相等的记录，即等值连接记为：

2） 自然连接 。自然连接是一种特殊的等值连接，要求两个关系中进行比较的分量（属性值/数据项）必须是相同的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉。如果关系 R 和 S 具有相同的属性组 B ，则自然连接可记为：

注意： 通常，连接操作是从行的角度进行运算的。而自然连接还需要取消重复列（常为后面的列），所以是同时从行和列的角度进行的运算。

自然连接与等值连接的主要区别 如下。

1）等值连接中相等的属性可以是相同的属性，也可以是不同的属性，而自然连接中相等的属性必须是相同的属性。

2）自然连接结果必须去除重复属性，而等值连接的结果不需要去除重复属性。

3）自然连接用于有公共属性的情况。若两个关系没有公共属性，则它们不能进行自然连接，而等值连接无此要求。自然连接在多表数据调用时常用。

4．除运算

给定关系 R （ X ， Y ）和 S （ Y ， Z ），其中 X ， Y ， Z 为属性组。 R 中的 Y 与 S 中的 Y 可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。

R 与 S 的 除运算（Division） 得到一个新的关系 P （ X ）， P 是 R 中满足下列条件的记录在 X 属性列上的投影：记录在 X 上的分量值 x 的象集 Y _X 包含 S 在 Y 上投影的集合。 记作：

其中， Y _X 为 x 在 R 中的象集， x = t _r [ X ]。除运算通常是对关系的行和列角度进行操作。

除运算的计算过程 如下。

1）将被除关系的属性分为象集属性和结果属性两部分，与除关系相同的属性归于象集，不相同的属性归于结果集。

2）在除关系中，在与被除关系相同的属性（象集属性）上投影，得到除目标数据集。

3）将被除关系分组，将结果属性值相同的记录分为一组。

4）观察每个组，若它的象集属性值中包括除目标数据集，则对应的结果属性值应该属于除法运算结果集，并去掉与原被除关系相同的分组。

具体除运算的计算过程 ：

1）关系 R 中属性组（ A ， B ）的取值为{（2，1），（2，2），（3，2）}。其中，（2，1）的象集为{（a，c），（b，d）}，（2，2）的象集为{（a，d）}，（3，2）的象集为{（b，d），（b，c）}。

2）关系 S 在属性组（ C ， D ）上的投影为{（a，c），（b，d）}。

3）找出全部属性组（ A ， B ）象集包含关系 S 属性组（ C ， D ）上的投影的取值，即为新关系 R ÷ S ，此处通过比较1）和2）可以发现，只有记录（2，1）的象集包含关系 S 在属性组（ C ， D ）上的投影，所以 R ÷ S 只有一个记录（2，1），即 R ÷ S 运算结果如表2-22所示。

除的基本运算可以表示为等价关系表达式：

π _A （ R ） -π _A （ π _A （ R ）× S-R ）

下面举例说明关系代数 综合运算应用 。

设商品销售数据库有三个关系：商品、售货员和售货。

商品（商品编号，商品名，产地，价格，等级）

售货员（售货号编号，姓名，性别，年龄）

售货（商品编号，售货员编号，数量）

讨论思考：

1）交、并、差运算的两个关系必须满足什么条件？

2）除运算的结果主要表示什么具体的含义？

3）等值连接和自然连接之间的区别是什么？ 0x7CpjFR5PeyOXj6STWPBu6/VHW1iO2j8UBINosH0OdfLEuYE+WNF1IVA9Q8MCUR