1.5 两个重要极限

本节介绍判定极限存在的两个准则，在此基础上，讨论两个重要极限.

一、重要极限

这是未定式 .函数 在一切 x ≠0处都有定义,但由于函数 是偶函数,因此只需考察当 x →0 ⁺ 时,函数 值的变化趋势.由第四节表1-4可得下表:

我们来证明，当 x →0时, 的极限存在且等于1,即有

公式(1)的证明需用到右侧二维码内的极限存在准则，在此不详述.

【 例1 】 求

解 令arcsin x = t ,则 x =sin t ,且 x →0时, t →0.从而有

【 例2 】 求

【 例3 】 求

在第1.4节，我们介绍了等价无穷小的概念。由上面的讨论可知：当 x →0时,

等价无穷小可用于简化某些极限的计算.

定理 设在自变量的某一变化过程中,α,α',β,β'均为无穷小, α ~ α' , β ~ β' ,且 存在(或∞),则

该定理表明：在求极限时，分子、分母的无穷小因子(注意，一定要是因子）可用等价无穷小代换，使计算简化.

【 例4 】 求

解 因为tan x -sin x =tan x (1-cos x ),当 x →0时,tan x ~ x ,1-cos x ~ ,又sin x ³ ~ x ³ ,所以

二、重要极限

如果数列{ x ⁿ }满足条件

x ₁ ≤x ₂ ≤x ₃ ≤ …≤x _n ≤x _n+1 ≤ …,

则称数列{ x _n }是单调增加的；如果数列{ x _n }满足条件

x ₁ ≥x ₂ ≥x ₃ ≥ …≥x _n ≥x _n+1 ≥ …,

则称数列{ x _n }是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为 单调数列 .例如, 是 n 一个单调减少数列，而{2 ⁿ }则是一个单调增加数列.

准则Ⅰ 单调有界数列必有极限.

下面讨论极限 ,这是未定式1 ^∞ .首先观察当 n 增大时, 的变化趋势,如表1-6所示.

*我们来证明,数列 单调增加且有上界(从而有界).

利用平均值不等式：设 a ₁ , a ₂ ,…, a _n 是 n 个正实数，则

当且仅当 a ₁ = a ₂ =…= a _n 时取等号.

因为

所以数列 单调增加;

因为

即 <4,所以数列 有上界(从而有界).

由准则Ⅰ,极限 存在.1728年，瑞士数学家欧拉(Euler,1707—1783)首先用e表示这个极限，即

可以证明e是一个无理数，将它写成十进制小数时，其前十三位数字是

e≈2.718 281 828 459.

在以后的讨论中我们会看到，以e为底的指数函数e ^x 与对数函数log _e x (简记为ln x ,称为自然对数）有很重要的特性.

当 x 取实数而趋向于无穷大时，仍有

一般地，公式(2)可写成如下形式:

【 例5 】 求

【 例6 】 求

⁺ 所谓复利计息,就是将前一期的利息与本金之和作为后一期的本金,然后反复计息.

设将一笔本金 A ₀ 存入银行，年利率为 r ,则第一年年末的本利和为

A ₁ =A ₀ +rA ₀ =A ₀ (1+r);

把 A ₁ 作为本金存入银行，年利率为 r ,则第二年年末的本利和为

再把 A ₂ 作为本金存入银行，年利率为 r ,如此反复，则第 t 年年末的本利和为

A _t =A ₀ (1+r) ^t .

这就是一年为期的复利公式.

若把一年均分为 n 期计息，年利率为 r ,则每期的利率为 ,于是推得第 t 年年末的本利和的离散复利公式为

若计息期无限缩短，即期数 n → ∞,于是得到计算连续复利的 复利公式为

上式的本金 A ₀ 称为现在值或现值，第 t 年年末的本利和 A _n ( t )或 A ( t )称为未来值。已知现在值 A ₀ ,求未来值 A _n ( t )或 A ( t )就是复利问题；已知未来值 A _n ( t )或 A ( t ),求现在值 A ₀ 就是贴现问题，这时称利率 r 为贴现率.

对应的离散情况，贴现公式为

连续贴现公式为

类似于连续复利问题的数学模型，在研究人口增长、森林增长、细菌繁殖、购房贷款、物体冷却、放射性元素的衰变等许多实际问题中都会遇到，因此有重要的实际意义.

⁺ 【 例7 】 我国某大型高端医疗设备研发单位为打破国际壁垒,响应党的二十大报告中提出的“实现高水平科技自立自强,进入创新型国家前列”的目标,特向当地政府申请一笔低息贷款作为加快科技攻关的资金投入.现贷款2 000万元,以复利计息,年利率为1%,五年后到期一次性还本付息,试分别按下列方式确定贷款到期时的还款总额:

(1)若一年计息2期;

(2)若按连续复利计息.

解 (1) A ₀ =2 000, r =0.01, n =2, t =5.五年后到期一次还本付息的还款总额为

(2) A ₀ =2 000, r =0.01, t =5.五年后到期一次还本付息的还款总额为

A ₅ =2 000e ^0.01×5 ≈2 102.54万元.

三、二元函数极限的计算

二元函数的极限具有与一元函数极限相类似的运算法则，这里不再叙述.

【 例8 】 求 ( a 为非零常数).

【 例9 】 求

同步训练1-5

1.计算下列极限:

⁺ 2.已知 x ₁ =2, ,证明数列{ x _n }收敛,并求

3.求下列各极限: xA7GKg7EOA2qMxJnFj8ltoBhiaZhehWqWClMWlKtmvD3Bp9a3ttvNaI7/K1cbqP/