1.4 极限的运算法则

本节介绍极限的运算法则，它们对于极限的计算是十分有用的.

定理 如果在自变量的同一变化过程中,lim f ( x )= A ,lim g ( x )= B ,则

(1)lim[ f ( x )± g ( x )]=lim f ( x )±lim g ( x )= A ± B ;

(2)lim[ f ( x ) · g ( x )]=lim f ( x ) · lim g ( x )= A · B ;

(3) ( B ≠0).

为叙述方便，记号“lim”下面没有标明自变量的变化过程，实际上，定理对 x → x ₀ 及 x → ∞都是成立的.

我们只证定理中的(2),其余证明留给读者完成.

⁺ 证 因为lim f ( x )= A ,lim g ( x )= B ,由函数极限与无穷小的关系得

f(x)=A +α,

g(x)=B +β,

其中 α , β 为无穷小，于是

f(x) · g(x)=(A +α) · (B +β)=A · B + (A · β+B · α+α · β),

由无穷小的性质知, A · β + B · α + α · β 仍为无穷小，再由函数极限与无穷小的关系得

lim[ f ( x ) · g ( x )]= A · B =lim f ( x ) · lim g ( x ).

说明 (1)定理中的(1)、(2)可推广到任意有限项的情形;

(2)由定理中的(2)可以推出

lim[ C · f ( x )]= C · lim f ( x );

lim[ f ( x )] ⁿ =[lim f ( x )] ⁿ .

【 例1 】 求

解

【 例2 】 求

解 因为 =3+2=5≠0,所以

【 例3 】 求

解 =0,不能用商的极限运算法则.因为

所以根据无穷小与无穷大的关系，得

【 例4 】 求

解 当 x →4时, -2→0, x -4→0.通常称这种极限为 型未定式 (或 未定式 ).

将分子有理化，得

也可将分母因式分解，得

【 例5 】 求

解 当 x →1时, .通常称这种极限为 ∞-∞型未定式 (或 未定式∞-∞ ).

【 例6 】 求

【 例7 】 求

解 当 x → ∞时,2 x ³ - x ² +5→ ∞,5 x ³ + x -6→ ∞.通常称这种极限为 型未定式 (或∞ 未定式 ).

用同样的方法可得如下公式:

其中 a ₀ ≠0, b ₀ ≠0, m , n 为正整数.

同步训练1-4

1.求下列函数的极限:

2.求

3.已知 =2,试确定常数 a , b 的值.

4.已知 =0,试确定常数 α , β 的值. k8Mq4N15sUbjShccuqruTxmh/WoVjjgZLkm5x2Dw9CtHdW0v0X7TRXJ8HXcVAUdd