1.3 无穷小量与无穷大量

在 x → x ₀ (或 x → ∞)的过程中, f ( x )有两种变化趋势值得特别注意：一种是| f ( x )|无限变小，即 f ( x )→0;另一种是| f ( x )|无限增大，即 f ( x )→ ∞.下面分别就这两种情形加以讨论.

一、无穷小量

定义1 如果当 x → x ₀ (或 x → ∞)时,函数值的绝对值| f ( x )|无限变小,即 f ( x )→0,则称函数 f ( x )当 x → x ₀ (或 x → ∞)时为 无穷小量 ,简称 无穷小 .

例如:

=0,所以 x -1当 x →1时为无穷小;

=0,所以e ^x 当 x →-∞时为无穷小;

=0,所以 当 n → ∞时为无穷小.

应当注意，无穷小是一个以零为极限的变量(无正负之分），而不是一个很小的数，但零是可以作为无穷小的唯一的常数。还应当注意，无穷小必须与自变量的某一变化过程相联系，否则是不确切的.

函数极限与无穷小之间有如下关系:

定理1 = A 的充要条件是 f ( x )= A + α ,其中 α 当 x → x ₀ 时为无穷小.

定理1中自变量的变化过程换成其他任何一种情形( x → , x → , x → ∞, x →+ ∞, x →-∞),结论仍成立.

例如，因为

我们知道，零乘任何一个数还是零，但在自变量的某一变化过程中，无穷小 f ( x )与任何一个函数 g ( x )的积 f ( x ) · g ( x )未必还是无穷小。例如，当 x →0时, f ( x )= x 是无穷小，取 g ( x )= ,则 · g ( x )= =2,这说明 f ( x ) · g ( x )不是无穷小,究其原因，是因为 g ( x )= 在 x =0的任一空心邻域内都是无界的。如果 g ( x )有界，则 f(x ) · g(x) 一定是无穷小,即有下面的定理:

定理2 无穷小与有界量的积是无穷小.

* 证 设 g ( x )在 x ₀ 的某一空心邻域 内是有界的,即存在正数 M ,使| g ( x )|≤ M 对一切 x ∈ 都成立.又设 f ( x )是当 x → x ₀ 时的无穷小,即对于任意 ε >0,存在 δ ₂ >0,当 时,有

取 δ =min{ δ ₁ , δ ₂ },则当 x ∈ 时,

同时成立，从而

所以 · g ( x )=0,也就是说, f ( x ) · g ( x )是当 x → x ₀ 时的无穷小.

自变量的变化过程换成其他情形可以类似证明.

【 例1 】 求 .

解 因为 =0,又|(-1) ^n-1 |=1,即{(-1) ^n-1 }有界,所以

【 例2 】 求 .

解 因为 =0, ,所以

定理3 有限个无穷小的和(差)、积也是无穷小.

* 证 考虑两个无穷小的和.

设 α 及 β 是当 x → x ₀ 时的两个无穷小，即对于任意 ε >0,存在 δ >0,当 x ∈ 时，不等式

同时成立，从而

即 α + β 也是当 x → x ₀ 时的无穷小.

有限个无穷小之积的情形可以同样证明.

说明 (1)无穷多个无穷小的和未必是无穷小.例如,当 n → ∞时, 都是无穷小,但

(2)两个无穷小的商不一定是无穷小.请读者举例.

定理2和定理3所述是无穷小的几个常用性质.

二、无穷大量

定义2 如果当 x → x ₀ (或 x → ∞)时,函数值的绝对值| f ( x )|无限增大,即 f ( x )→ ∞,则称函数 f ( x )当 x → x ₀ (或 x → ∞)时为 无穷大量 ,简称 无穷大 .

例如:

=∞,所以 x -1当 x → ∞时为无穷大;

=+∞,所以e ^x 当 x →+ ∞时为无穷大;

=-∞, =+∞,所以lg x 当 或 x →+ ∞时为无穷大.

与无穷小类似，无穷大量是一个变量，而不是一个很大的数，它也是与自变量的某一变化过程相联系的.

无穷小与无穷大有如下关系:

定理4 如果当 x → x ₀ (或 x → ∞)时, f ( x )为无穷大,则 为无穷小;反之,如果当 x → x ₀ (或 x → ∞)时, f ( x )为无穷小,且 f ( x )≠0,则 为无穷大.

例如，当 x →1时, f ( x )= x -1是无穷小，而 则为无穷大.

*三、无穷小的比较

无穷小是以零为极限的变量，但收敛于零的速度有快有慢。为此，考察两个无穷小的比以便对它们的收敛速度作出判断.

定义3 设 α , β 是在自变量的同一变化过程中的两个无穷小.

(1)若lim =0,则称 α 是比 β 高阶的无穷小 ,记为 α = o ( β );

(2)若lim =∞,则称 α 是比 β 低阶的无穷小 ;

(3)若lim = C ≠0( C 为常数),则称 α 与 β 是 同阶无穷小 ,记为 α = O ( β ).

特别地，当 C =1时，称 α 与 β 是 等价无穷小 ,记为 α ~ β .

若 α = o ( β ),则 α →0比 β →0的速度快得多；若 α = O ( β ),则 α →0与 β →0的速度差不多；特别地，若 α ~ β ,则 α →0与 β →0的速度基本相同.

例如:

因为 =0,所以 x ² = o ( x )( x →0),即当 x →0时, x ² →0比 x →0的速度快得多;

因为 =2,所以2 x = O ( x )( x →0),即当 x →0时,2 x →0与 x →0的速度差不多.

在1.6节中我们将证明 =1,所以sin x ~ x ( x →0),即当 x →0时,sin x →0 与 x →0的速度基本相同.

表1-4可直观地说明以上结论.

说明 对于同阶无穷小,事实上并不一定要求lim 存在且等于非零常数.以 x → x ₀ 的情形为例:若存在正数 K , L ,使得在 x ₀ 的某空心邻域 U ( x ₀ , δ )内有 K ≤ ≤ L ,则称 α 与 β 是当 x → x ₀ 时的同阶无穷小.

例如，当 x →0时, x 与 x (2+sin )都是无穷小。由于

同步训练 1-3

1.观察下列函数,哪些是无穷小?哪些是无穷大?

2.求下列极限:

3.下列函数在什么情况下是无穷小?什么情况下是无穷大?

4.比较下列无穷小的阶: rZYZnVY4Kd2B8RtC9HEDU4skiVBghqbKjDnCq7MYpcvxyLZm5EVP/4ATGH9UWt/g