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以正整数
n
为自变量的函数
=
f
(
n
),把它的函数值按自变量由小到大的次序排列出来:
这样的一列数称为
数列
,记为
数列中的每一个数称为
数列的项
,第
n
项
称为数列的
一般项
或
通项
.例如,
都是数列，它们的一般项分别为
由于数列的定义域是全体正整数，所以我们要研究它的极限问题，只能研究当
n
无限增大(记为
n
→ ∞)时，对应的
=
f
(
n
)的变化趋势。这里的
n
→ ∞实际上是指
n
→+∞.
定义1
对于数列
如果当项数
n
无限增大时,一般项
无限趋近于常数
A
,则称
A
为
数列
的极限
,也称数列
收敛
于
A
,记为
如果数列
没有极限，则称数列
发散
.
公元前3世纪，道家代表人物庄子的《天下篇》中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，说明两千多年前我国古人就有了初步的极限观念。我国古代数学家刘徽(公元263年）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，则是极限思想在几何学上的应用。其意是：设
A
为某圆的面积,
为该圆的内接正3×2
n
边形的面积，当
n
足够大时,
与
A
相近。用极限的语言说就是：当
n
→ ∞时,
→
A
.
对于函数 y = f ( x ),我们来研究当| x |无限增大，即 x 趋向于无穷大(记为 x → ∞)时，对应的函数值 f ( x )的变化趋势，看它是否能无限趋近于某个常数。这就是当 x → ∞时函数的极限问题.
首先我们考察函数
f
(
x
)=1+
(
x
≠0),如图1-10所示.当
x
→ ∞时,对应的函数值
f
(
x
)=1+
无限趋近于常数1.我们称数值1为函数
f
(
x
)=1+
当
x
→ ∞时的极限.
图1-10
一般地，有如下定义:
定义2 设函数 f ( x )对充分大的| x |有定义, A 是一个常数.如果当 x 的绝对值无限增大时,对应的函数值 f ( x )无限趋近于常数 A ,则称 A 为 函数f(x)当 x → ∞时的极限 ,记为
此时，也称函数
f
(
x
)当
x
→ ∞时的极限
存在；否则，称极限
不存在.
由定义2,我们有
=1.
对于函数
y
=
x
2
,当
x
→ ∞时，对应的函数值无限增大，不能无限趋近于一个常数；对于函数
y
=sin
x
,当
x
→ ∞时，对应的函数值在-1与1之间无限次地振荡，也不能无限趋近于一个常数。因此
和
都不存在.
由于
= +∞,为了方便起见，通常也称
y
=
x
2
当
x
→ ∞时的极限为(正)无穷大.
极限
=
A
的意思是:当|
x
|无限增大时,|
f
(
x
)-
A
|可以任意小;或者说,要使|
f
(
x
)-
A
|任意小,只需要|
x
|充分大就行了.例如,对于函数
f
(
x
)=1+
,如果要使
x
|
f
(
x
)-1|=
<0.01,只要|
x
|>100就行了;同样的道理,如果要使|
f
(
x
)-1|=
<0.001,只要|
x
|>1000便可.一般地,对于任意
ε
>0(不论
x
多么小），如果取
X
=
,则当|
x
|>
X
时，便有|
f
(
x
)-1|=
<
ε
成立.
定义2
只是直观地给出了极限的概念，通过以上分析，我们可以给出
=
A
的精确表述(“
ε
-
X
”定义):
若对于任意 ε >0,总存在正数 X ,使得对于满足| x |> X 的一切 x ,都有
| f ( x )- A |< ε ,
则
=
A
.
说明 (1)定义中的 ε 是任意的,它刻画了 f ( x )与 A 的接近程度, ε 越小表示 f ( x )与 A 越接近,除了要求 ε >0外,它不受任何限制,这就表明了 f ( x )可以无限趋近于 A .
(2)一般来说,
X
是依赖于
ε
的,
ε
越小,
X
越大.但对于某个给定的
ε
,
X
不是唯一的.例如,对于
f
(
x
)=1+
以及给定的
ε
=0.01,取
X
=100或者任何大于100的某个正数,当|
x
|>
X
时,都能使得|
f
(
x
)-1|=
<e.因此对于正数
X
来说,等于多
x
少并不重要,重要的是它的存在性.
+
【
例1
】 证明
证 对于任意 ε >0,要使
只要|
x
|>
.
如果取
X
=
(也可取
X
为大于
的任何一个数），则当|
x
|>
X
时，便有
成立，因此
从几何上来说,
=
A
的意思是:对于任意
ε
>0(不论多么小),总存在一个正数
X
,使得当
x
<-
X
或
x
>
X
时,函数
y
=
f
(
x
)的图形完全落在两直线
y
=
A
+
ε
和
y
=
A
-
ε
之间(图1-11).
在上面的讨论中, x → ∞表示 x 既取正值且无限增大，即 x 趋向于正无穷大(记为 x →+∞),同时也取负值且绝对值| x |无限增大，即 x 趋向于负无穷大(记为 x →-∞).但有时，我们只能或只需考虑这两种情形中的一种.
图1-11
定义3 设函数 f ( x )对充分大的 x 有定义, A 是一个常数。如果当 x 无限增大时，对应的函数值无限趋近于常数 A ,则称 A 为 函数f(x)当x→+∞时的极限 ,记为
类似地，可以给出 x →-∞时函数极限的定义.
由 x → ∞, x →+ ∞以及 x →-∞时函数 f ( x )的极限的定义，有下述定理:
定理1
=
A
的充要条件是
【 例2 】 讨论函数 f ( x )=arctan x 当 x → ∞时的极限.
【
例3
】 讨论函数
f
(
x
)=
当
x
→ ∞时的极限.
现在讨论当 x (无限）趋近于 x 0 (记为 x → x 0 )时，对应的函数值 f ( x )的变化趋势.
先看一个例子.
【 例4 】 讨论下列函数当 x →1时的变化趋势:
(3) h ( x )= x +1.
解 当 x ≠1时, f ( x )= g ( x )= h ( x );在 x =1处, f ( x )没有定义,而 g ( x )和 h ( x )有定义,但 g (1)=0, h (1)=2.
作出函数的图形，如图1-12所示.
图1-12
当 x →1时，对应的函数值 f ( x ), g ( x ), h ( x )的变化情况列于表1-3中.
表1-3
从图1-12和表1-3都可看出,当 x →1时, f ( x ), g ( x ), h ( x )的值都无限趋近于常数2.我们称数值2为函数 f ( x ), g ( x ), h ( x )当 x →1时的极限.
不难看出, x → x 0 时对应函数值的变化趋势与函数在 x 0 处是否有定义并无关系.
一般地，有如下定义:
定义4
设函数
f
(
x
)在
x
0
的某一空心邻域
内有定义,
A
是一个常数.如果当
x
在
内与
x
0
无限趋近时,对应的函数值
f
(
x
)无限趋近于常数
A
,则称
A
为
函数f(x)当
x
→
x
0
时的极限
,记为
说明
满足|
x
-
x
0
|<
δ
(
δ
>0)的
x
的全体,即数轴上以
x
0
为中心的开区间(
x
0
-
δ
,
x
0
+
δ
),称为点
x
0
的
δ邻域
,记为
U
(
x
0
,
δ
).满足0<|
x
-
x
0
|<
δ
的
x
的全体,即区间(
x
0
-
δ
,
x
0
+
δ
)除去点
x
=
x
0
,称为点
x
0
的空心
δ
邻域,记为
.
定义中只要求函数 f ( x )在 x 0 的某一空心邻域内有定义，这里要求“空心”意味着不考虑函数 f ( x )在点 x 0 的情形，也就是我们只研究 x 趋于 x 0 (但不等于 x 0 )时函数的变化趋势.
=
A
的精确表述(“
ε
-
δ
”定义)是:若对于任意
ε
>0,总存在
δ
>0,使得对于满足0<|
x
-
x
0
|<
δ
的一切
x
,都有|
f
(
x
)-
A
|<
ε
,则
=
A
.
图1-13
从几何上来说,
=
A
的意思是：对于任意
ε
>0,总存在
δ
>0,使得函数在
x
0
的空心
δ
邻域
内的那一部分图形完全落在两直线
y
=
A
+
ε
和
y
=
A -ε
之间(图1-13).
+
【
例5
】 证明
=9.
证 不妨设1< x <3且 x ≠2.对于任意 ε >0,要使
只要|
x
-2|<
.
如果取
δ
=
,则当0<|
x
-2|<
δ
时，便有
|( x 2 +5)-9|< ε
成立，因此
=9.
在上面的讨论中,
x
→
x
0
表示
x
既从
x
0
的左侧(
x
<
x
0
)也从
x
0
的右侧(
x
>
x
0
)趋向于
x
0
,但有时我们只能或只需考虑这两种情形中的一种。在
=
A
的定义中,如果把
x
0
的空心邻域
改为
x
0
的右邻域(
x
0
,
x
0
+
δ
),则称
A
为函数
f
(
x
)当
x
→
x
0
时的
右极限
,记为
类似地，在
=
A
的定义中，如果把
x
0
的空心邻域
改为
x
0
的左邻域(
x
0
-
δ
,
x
0
),则称
A
为函数
f
(
x
)当
x
→
x
0
时的
左极限
,记为
右极限和左极限均称为 单侧极限 .由 x → x 0 时函数 f ( x )的极限以及单侧极限的定义，有下述定理:
定理2
=
A
的充要条件是
【 例6 】 讨论函数
当 x →0时的极限.
【 例7 】 讨论函数
当 x →0时的极限.
与一元函数的极限类似，下面给出二元函数极限的概念.
定义5 设二元函数 z = f ( x , y )在点 P 0 ( x 0 , y 0 )的某邻域内有定义(点 P 0 可以除外),如果当点 P ( x , y )在该邻域内以任意方式无限趋于点 P 0 ( x 0 , y 0 )时,对应的函数值 f ( x , y )无限趋近于常数 A ,则称 A 为 函数z=f(x,y)当P(x,y)→P 0 (x 0 ,y 0 )时的极限 ,记为
说明
(1)定义5中的点
P
(
x
,
y
)→
P
0
(
x
0
,
y
0
)是指点
P
(
x
,
y
)可以沿任何方向、任何途径无限趋于点
P
0
,而一元函数极限中的
x
→
x
0
是指
x
沿着
x
轴无限趋于
x
0
,这时只有两种情形:
和
.
(2)如果 P ( x , y )以某一特殊方式趋于 P 0 ( x 0 , y 0 )时,即使函数值无限趋近于某个常数,我们也不能由此断定函数的极限存在.但是,如果当 P ( x , y )以不同方式趋于 P 0 ( x 0 , y 0 )时,函数趋近于不同的值,那么就可以断定函数当 P → P 0 时的极限不存在.
【 例8 】 讨论二元函数
当( x , y )→ (0,0)时的极限.
解 当( x , y )沿 x 轴趋于(0,0),即当 y =0且 x →0时,有
当( x , y )沿 y 轴趋于(0,0),即当 x =0且 y →0时，有
而当( x , y )沿直线 y = kx ( k ≠0)趋于(0,0)时，有
因此，极限
不存在.
性质1
(唯一性) 若
=
A
,
=
B
,则
A
=
B
.
性质2
(有界性) 若
=
A
,则存在
x
0
的某一空心邻域
,在
内函数
f
(
x
)有界.
性质3
(保号性) 若
=
A
,且
A
>0(或
A
<0),则存在
x
0
的某一空心邻域
,在
内
f
(
x
)>0(或
f
(
x
)<0).
推论
若
=
A
,且在
x
0
的某一空心邻域
内
f
(
x
)≥ 0(或
f
(
x
)≤0),则
A
≥0(或
A
≤0).
对于 x → ∞等其他情形，有类似的结论.
1.观察下列数列的变化趋势,哪些数列收敛?哪些数列发散?若数列收敛,求出其极限:
2.说明 n 应从何值开始,才能使下列数列的一般项与其极限之差的绝对值小于10 -4 .
3.求下列函数的极限:
4.下列极限是否存在?若存在,求出它的极限;若不存在,说明理由:
5.设
f
(
x
,
y
)=
,当(
x
,
y
)→ (0,0)时,讨论
f
(
x
,
y
)的极限是否存在.