1.1 函数

一、一元函数的概念及其性质

(一)一元函数的概念

数学中所讨论的量分为两类：常量与变量。初等数学基本上是常量的数学，而高等数学则以变量为研究对象.

在同一个自然现象或技术过程中，往往同时有几个变量在变化着，这些变量并不是孤立的，而是相互联系并遵循着一定的变化规律，下面就两个变量的情形举几个例子.

【 例1 】 在自由落体运动中,设物体下落的时间为 t ,下落的距离为 s ,假定开始下落的时刻为 t =0,则 s 与 t 之间的对应关系可由公式

表示，其中 g 是重力加速度。假定物体到达地面的时刻 t = T ,则当时间 t 在[0, T ]上任取一个数值时，由(1)式就可以确定 s 的一个对应值.

【 例2 】 某气象站用气温自动记录仪把某一天的气温变化描绘在记录纸上,得到如图1-1所示的曲线,这条曲线表示了气温 T 与时间 t 之间的对应关系,记录的时间范围是[0,24].

【 例3 】 由实验测得在不同温度 t (℃)下,热敏电阻器的电阻值 R (Ω)数据如表1-1所示.

表1-1反映了热敏电阻器的电阻 R 与温度 t 之间的对应关系.

上述三个例子虽然各自有不同的具体意义及表示方法，但是有共同的性质：当一个变量在其变化范围内取定一数值时，按照某一确定的对应关系，另一个变量有唯一的数值和它对应。变量之间的这种对应关系，就是函数关系，函数的一般概念正是这样抽象出来的.

定义1 设 x 和 y 是两个变量, D 是一个给定的非空数集, R 是实数集,如果按照某一确定的对应关系 f ,对于任意的 x ∈ D ,都有唯一的一个 y ∈ R 和它对应,则称 f 是定义在 D 上的 函数 ,记为

f:D → R (2)

其中, x 称为 自变量 , y 称为 因变量 , D 称为函数的 定义域 .

若 ∈ D ,则称函数 f 在 处有定义。函数 f 在 处的 函数值 记为 或 ,函数值的全体称为函数的 值域 ,记为

f(D)={f(x)|x ∈D}⊂ R .

由于值域由定义域和对应关系唯一确定，又因为自变量、因变量以及对应关系与所用来表示的字母符号无关，因此定义域和对应关系就成为确定函数的两个要素。为方便起见，函数(2)通常表示为

y=f(x),x ∈D.　(3)

说明 (1) y = f ( x )表示与 x 相对应的函数值,而 y = f ( x ), x ∈ D 表示一个函数,请注意两者之间的区别,

(2)当不需要指明函数的定义域时,函数(3)可简写为“ y = f ( x )”.严格地讲,这样的符号混淆了函数与函数值,但这仅是为了方便而作的约定.例如,函数 y = ,没有指明它的定义域,它的定义域就是使函数表达式有意义的自变量所取值的全体,即 D ={ x | x ≥1}.这样约定的定义域有时也称为函数的自然定义域.而对于应用问题中的函数,它的定义域还要受实际意义的约束.例如,球的体积 V = ,仅从函数表达式分析, r 可取一切实数,但从实际意义来说,球的半径 r 不能为负,因此其定义域为 D = [0,+ ∞).

(3)有时在习惯上,我们也称“ y 是 x 的函数”,其含义是指变量 x 和变量 y 之间存在着函数关系,而不能理解为“ y 是函数”.

函数的表示方法主要有解析法(如例1)、图示法(如例2)以及表格法(如例3),但有些函数不能用上述三种方法表示，只能给予描述。例如，狄利克雷函数

在我们的函数定义中，对每一个 x ∈ D ,变量 y 只能有唯一的数值和它对应，这种函数称为 单值函数 .如果在函数定义中，允许一个 x 值可以和两个以上 y 值相对应，则称它为 多值函数 .例如，已知 a , b 为三角形的两条边, S 为它的面积，应用公式

可以求出 a , b 两边的夹角 C ,因为当 C 不是直角时可以取作一个锐角或是一个钝角，所以这时我们可以得到 C 的两个值.

在实际问题中，有时会遇到一个函数在定义域的不同范围内用不同的解析式表示的情形，如函数

如图1-2所示。这样的函数称为 分段函数 .

分段函数是一个函数，而不是几个函数。但当自变量在定义域的不同范围内取值时，对应的函数值由不同的解析式确定。例如，对上述函数有

【 例4 】 跳伞运动员在 t ₀ (s)内自由降落,然后打开降落伞,并按速度 v (m/s)降落 t ₁ (s),试将跳伞运动员所经过的路程表示成时间 t 的函数.

解 跳伞运动员所经过的路程

这是一个分段函数.

【 例5 】 已知 ,求 f ( x ).

解 因为 所以

【 例6 】 已知 f ( x )的定义域为(0,1],求 f ( x ² ), f (sin2 x )的定义域.

解 因为 f ( x )的定义域为(0,1],所以 f ( x ² )的定义域为0< x ² ≤1,即-1≤ x ≤1且 x ≠0.

同理, f (sin2 x )的定义域为0<sin2 x ≤1,即2 k π<2 x < (2 k +1)π,亦即 k π< x < k π+ ( k ∈ Z,Z 为整数集).

(二)一元函数的几种特性

设函数 y = f ( x )的定义域为 D .

1.函数的有界性

设区间 I ⊂ D .如果存在正数 M ,对于任意 x ∈ I ,都有

| f ( x )|≤ M ,

则称函数 f ( x )在 I 上 有界 ;如果不存在这样的正数 M ,则称函数 f ( x )在 I 上 无界 ,例如，函数 f ( x )=arctan x 在(-∞,+ ∞)上有界，因为|arctan x |< 对任意 x ∈(-∞,+∞)都成立；而函数 f ( x )= 在开区间(0,1)内是无界的，因为对于任意 M >0,若取 ∈ (0,1),则有| f ( x )|= = M +1> M .

2.函数的单调性

设区间 I ⊂ D .如果对于任意 x ₁ , x ₂ ∈ I ,当 x ₁ < x ₂ 时，有

f(x ₁ )<f(x ₂ ) (或f(x ₁ )>f(x ₂ )),

则称函数 f ( x )在 I 上 单调增加 (或 单调减少 ).单调增加和单调减少函数统称为 单调函数 .

例如，图1-2所示的函数在[-1,0)和(0,1)上都是单调减少的，但在定义域[-1,1)上不是单调函数.

3.函数的奇偶性

设 D 关于原点对称，如果对于任意 x ∈ D ,都有

f(-x)=f(x) (或f(-x)=-f(x)),

则称 f ( x )为 偶函数 (或 奇函数 ).偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称.

4.函数的周期性

如果存在一个常数 T ≠0,使得对于任意 x ∈ D ,有 x ± T ∈ D ,且

f(x ±T)=f(x),

则称 f ( x )为 周期函数 , T 称为 f ( x )的 周期 .周期函数的周期通常是指它的最小正周期.

例如，当 ω ≠0时, y = A sin( ωx + φ )和 y = A cos( ωx + φ )都是以 为周期的周期函数; y = A tan( ωx + φ )和 y = A cot( ωx + φ )都是以 为周期的周期函数.

顺便指出，并非所有的周期函数都有最小正周期。例如，狄利克雷函数

它的周期为全体非零有理数，因而没有最小正周期.

(三)初等函数

1.基本初等函数

我们学过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，统称为 基本初等函数 .现将基本初等函数的定义域、值域、图形和主要特性列于表1-2中:

2.复合函数

定义2 若函数 y = f ( u )的定义域为 D ₁ ,函数 u = φ ( x )的定义域为 D ₂ ,并且 φ ( D ₂ )∩ D ₁ ≠ ⌀,则 y 通过 u 的联系也是 x 的函数,称这个函数为由 y = f ( u )及 u = φ ( x )复合而成的 复合函数 ,记为

y=f[φ(x)],x ∈D.

其中, u 称为 中间变量 , D ={ x | φ ( x )∈ D ₁ , x ∈ D ₂ }.

例如, u =sin x 的值域为[-1,1], y = 的定义域为[0,+∞),它们的交集[-1,1]∩ [0,+ ∞)=[0,1]≠ ⌀,所以 y = 及 u =sin x 能够复合成一个复合函数 y = ,其定义域为[2 k π,(2 k +1)π], k ∈ Z .

并不是任何两个函数都能复合。例如, u = x ² +2的值域为[2,+∞), y =arcsin u 的定义域为[-1,1],它们的交集[2,+ ∞)∩ [-1,1]=⌀,因此函数 y =arcsin u 与 u = x ² +2不能复合成一个复合函数.

复合函数也可以由两个以上的函数相继进行有限次复合而成。例如，设 y = , u =sin v , ,则可得复合函数 ,这里 u 及 v 都是中间变量.

【 例7 】 求由函数 y = , u =cos v , v =ln x 复合而成的函数.

解 所求的复合函数为

【 例8 】 设 φ ( x )=ln x ,求 f [ φ ( x )]及其定义域.

解 因为 φ ( x )的值域为(-∞,+∞), f ( x )的定义域为[0,+∞),它们的交集(-∞,+ ∞)∩ [0,+ ∞)= [0,+ ∞)≠ ⌀,所以 f [ φ ( x )]有意义,且

其定义域为[1,+∞).

【 例9 】 指出函数 y =log _a ( a >0, a ≠1)由哪些简单函数复合而成.

解 函数 y =log _a 由 y =log _a u , u = , v =1+ x ² 复合而成.

3.初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合所构成并可用一个解析式表示的函数，称为 初等函数 .例如,

都是初等函数.

在自然科学和工程技术问题中，我们所遇到的函数，除了只含一个自变量的一元函数外，很多情况下是含有两个或两个以上自变量的多元函数.

二、多元函数的概念

1.区域

为了讨论多元函数，需要把点的邻域和区间的概念推广到平面上或空间中.

设 P ₀ ( x ₀ , y ₀ )是平面 xOy 上的一点, δ 是某一正数。与点 P ₀ ( x ₀ , y ₀ )的距离小于 δ 的点 P ( x , y )的全体，称为点 P ₀ 的 δ邻域 ,记为 U ( P ₀ , δ ),即

也就是

点 P ₀ 和数 δ 分别称为这个邻域的中心和半径.

从图形上看, U ( P ₀ , δ )就是平面 xOy 上以 P ₀ ( x ₀ , y ₀ )为圆心、 δ 为半径的圆内的点所成的集合(图1-3).

集合 称为点 P ₀ 的 空心δ邻域 (图1-4),记为 U ( , δ ).从图形上看, U ( , δ )只比 U ( P ₀ , δ )少了一个点 P ₀ .

设 D 是平面上的一个点集。如果对 D 内的任意两点，都可用含于 D 的一条折线相连接，则称点集 D 是 连通 的，如点集 U ( P ₀ , δ ), D ={( x , y )| x ² + y ² ≥1}等都是连通的，而点集 D ={( x , y )| xy >0}不连通。连通的点集称为 区域 .

设 D 是一个区域。如果点 P 的任一邻域既含有属于 D 的点，也有不属于 D 的点，则称 P 为 D 的 边界点 (图1-5). D 的边界点的全体称为 D 的 边界 .

D的边界点可以属于D也可以不属于D,如D={(x,y)|x ² +y ² ≥1}的边界点都属于该区域(图1-6),而U(P ₀ ,δ)的边界点不属于U(P ₀ ,δ).如果区域D包含它的边界,则称D为 闭区域 ;如果区域D不含有它的任何一个边界点,则称D为 开区域 .有些区域既不是开区域也不是闭区域,如区域{(x,y)|0<x ² +y ² ≤1}.

对于区域 D ,如果存在一个圆心在原点的圆，使 D 全部包含在该圆内，则称 D 为 有界区域 ,否则称为 无界区域 .

2.多元函数的定义

先看两个实例.

【 例10 】 物体运动的动能 W 和物体的质量 m 、运动的速度 v 之间的对应关系由公式

表示，其中 m >0, v >0.当 m , v 在区域{( m , v )| m >0, v >0}内任意取定一组值( m , v )时，由(1)式就可以确定唯一的一个 W 值和它对应.

【 例11 】 圆锥体的体积 V 和底面圆的半径 r 、高 h 之间的对应关系由公式

表示，其中 r >0, h >0.当 r , h 在区域{( r , h )| r >0, h >0}内任意取定一组值( r , h )时，由(2)式就可以确定唯一的一个 V 值和它对应.

上述两例的具体意义虽不相同，但它们却有共同的性质，抽象出这些共性就可得出以下二元函数的定义.

定义3 设有三个变量 x , y , z , D 是非空二元有序实数组集(即平面 xOy 上的一个非空点集), R 是实数集.如果按照某一确定的对应关系 f ,对于任意的( x , y )∈ D ,有唯一的一个 z ∈ R 和它对应,则称 f 是定义在 D 上的 二元函数 ,记为

f:D → R (3)

其中, x , y 称为 自变量 , z 称为 因变量 , D 称为 函数的定义域 .

习惯上，我们也称 z 是 x , y 的二元函数，并将(3)式表示为

z=f(x,y),x,y ∈D.

若( x ₀ , y ₀ )∈ D ,则称函数 f 在点( x ₀ , y ₀ )处有定义。函数 f 在点( x ₀ , y ₀ )处的 函数值 记为 f ( x ₀ , y ₀ )或 .函数值的全体称为 函数的值域 ,记为

f(D)={f(x,y)|(x,y)∈D}⊂ R .

与一元函数一样，定义域和对应关系是二元函数的两个要素.

类似地，可以定义三元函数 u = f ( x , y , z )和 n 元函数 u = f ( x ₁ , x ₂ ,…, x _n ).二元及二元以上的函数统称为 多元函数 .

【 例12 】 求函数 z = ln(1- x - y )的定义域.

解 x , y 应满足不等式组

于是所求函数的定义域为 D ={( x , y )| x >0且 x + y <1},如图1-7所示.

【 例13 】 求函数 z =arcsin 的定义域.

解 x , y 应满足不等式组

于是所求函数的定义域为 D = {( x , y )|1≤ ≤2},如图1-8所示.

【 例14 】 已知 f ( x + y , x - y )= 求 f ( x , y ).

解 由于

将 x + y 和 x-y 分别代换为 x 和 y, 得

设二元函数 z = f ( x , y )的定义域为 xOy 面上的某一区域 D ,对于 D 内任意一点 P ( x , y ),可得对应的函数值 z = f ( x , y ),这样在空间直角坐标系中就确定了唯一的一点 M ( x , y , z ),当点 P ( x , y )取遍 D 内的一切点时，对应点 M ( x , y , z )的轨迹就是二元函数 z = f ( x , y )的图形，它是空间的一个曲面，如图1-9所示.

同步训练 1-1

1.求下列函数的定义域:

2.下列各题所给的两个函数是否相同?为什么?

3.判断下列函数的奇偶性:

4.指出下列函数的周期:

5.下列各函数可以看作是由哪些简单函数复合而成的?

6.设 f ( x )= 求 f ( x -1).

7.设 f ( x )= , φ ( x )= ,求 f [ φ ( x )], φ [ f ( x )], f [ f ( x )], φ [ φ ( x )].

8.某厂生产某产品1000吨,每吨定价为130元,销售量在700吨以内时,按原价出售;超过700吨时,超过部分按九折出售,试求销售收入与销售量之间的关系.

9.求下列函数的定义域: zcyVGm90hCWUr5BUoDuA7/fPkbjf3eUM+Fl+HFXZ2bdCwvSclp7HAKgFqNbEObjB