2.4 高阶导数

一、一元函数的高阶导数

如果函数 y = f ( x )的导数 y' = f' ( x )仍是 x 的可导函数，则称 y' = f' ( x )的导数为 y = f ( x )的 二阶导数 ,记为 y″ 或 f″ ( x ),即

y″=(y')'或f″(x)=[f'(x)]'.

相应地，将 y' = f' ( x )称为函数 y = f ( x )的 一阶导数 .

类似地，二阶导数的导数称为 三阶导数 ,三阶导数的导数称为 四阶导数 ,…,一般地,( n -1)阶导数的导数称为 n阶导数 ,分别记为

或

二阶及二阶以上的导数统称为 高阶导数 .

设质点做变速直线运动，位移函数 s = s ( t ),则速度 v = s' ( t ),而加速度 a = v' ( t )= s″ ( t ).

【 例1 】 求函数 y = +ln x 的二阶导数.

解 先求一阶导数 y' =4 x + , x

从而 y″ = ( y' ) ' =4-

【 例2 】 设 y = ,求

解 逐阶求导,找出规律:

一般地,

特别地，当 a =e时，有

【 例3 】 设 y =sin x ,求

解

一般地，可得

即

用类似的方法可求得

【 例4 】 设 y = ( μ 是任意实数),求

解

一般地，可得

特别地，当 μ = n 时，有

二、二元函数的高阶偏导数

设函数 z = f ( x , y )在区域 D 内具有偏导数

这两个偏导数在 D 内仍然是 x , y 的函数。如果这两个函数的偏导数存在，则称这两个函数的偏导数为原来函数 z = f ( x , y )的 二阶偏导数 ,分别记为

其中 称为 二阶混合偏导数 .类似地可定义三阶、四阶以及 n 阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数 .

【 例5 】 设 z = ,求

我们看到例5中两个二阶混合偏导数相等，即

但这一结论并非在任何情况下都成立。例如，对函数

由偏导数的定义

类似可求得 =1.因此

关于混合偏导数，有下面的定理:

定理 设函数 z = f ( x , y )在 的某个邻域 内偏导数 ( x , y ), ( x , y )存在,若 和 有一个在 内存在且在点 处连续,则另一个在 内也存在,且

【 例6 】 设 z = + y ln x ,求

解 对 x , y 分别求偏导数有

同步训练2-4

1.求下列函数的二阶导数:

2.若 f″ ( x )存在,求下列函数的二阶导数:

3.求下列函数的 n 阶导数:

4.求下列函数的二阶偏导数:

⁺ 5.设 u =x + 求证 =1. vrUaCA0rXwq3U+A95uk84P5b8noSAE4pZ7jZSxNJ/8a6/V8/LRDg1JnSGpYLK6lW