下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
设
x
=
φ
(
y
)是原来的函数,
y
=
f
(
x
)是它的反函数。如果
x
=
φ
(
y
)在区间
内单调且连续，那么它的反函数
y
=
f
(
x
)在对应区间
={
x
|
x
=
φ
(
y
),
y
∈
}内也是单调且连续的。现在假定
x
=
φ
(
y
)在区间
内单调、可导，在此假定下考虑它的反函数
y
=
f
(
x
)的可导性以及导数
f'
(
x
)与
φ'
(
y
)之间的关系.
定理1
设函数
x
=
φ
(
y
)在某区间
内单调、可导且
φ'
(
y
)≠0,则它的反函数
y
=
f
(
x
)在对应区间
={
x
|
x
=
φ
(
y
),
y
∈
}内也可导,并且
上述结论可简单地叙述为：反函数的导数等于原来的函数导数的倒数.
证 任取 x ∈ I x ,给 x 以增量Δ x (Δ x ≠0, x +Δ x ∈ I x ).由 y = f ( x )的单调性可知
Δ y = f ( x +Δ x )- f ( x )≠0,
于是有
因 y = f ( x )连续，故当Δ x →0时,Δ y →0,于是
即
【 例1 】 求 y =arcsin x 的导数.
解
y
=
f
(
x
)=arcsin
x
是
x
=
φ
(
y
)=
sin
y
的反函数.由于
x
= sin
y
在区间
=
内单调、可导,且
φ'
(
y
)=cos
y
>0,因此
y
=arcsin
x
在对应区间
= (-1,1)内也可导,且
用类似的方法可求得
【 例2 】 求 y =arctan x 的导数.
解
y
=
f
(
x
)=arctan
x
是
x
=
φ
(
y
)=tan
y
的反函数.由于
x
=tan
y
在区间
=
内单调、可导,且
φ'
(
y
)=
≠0,因此
y
=arctan
x
在对应区间
= (-∞,+ ∞)内也可导,且
用类似的方法可求得
【
例3
】 求
(
a
>0,
a
≠1)的导数.
解法1 利用导数的定义直接计算:
解法2 利用反函数的求导法则计算:
y =f(x)=
是x =φ(y)=
的反函数,x =
在区间
= (0,+ ∞)内单调、可导,且
≠0,因此
在对应区间
= (-∞,+ ∞)内也可导,且
即
特别地，当 a =e时，有
下面介绍复合函数的求导法则.
定理2 设函数 u = φ ( x )在点 x 处可导,函数 y = f ( u )在对应点 u 处可导,则复合函数 y = f [ φ ( x )]在 x 处也可导,且
或记为
说明
(1)
分别表示
y
对
x
求导、
y
对
u
求导、
u
对
x
求导.在不致发生混淆的情况下,
y
对自变量
x
求导有时也简记为
y'
;
(2){ f [ φ ( x )]}'表示 y = f [ φ ( x )]对变量 x 求导,而 f' [ φ ( x )]表示 y = f [ φ ( x )]对变量 u = φ ( x )求导;
(3)定理2也可用于多次复合的情形,例如
设 y = f ( u ), u = φ ( v ), v = ψ ( x )都可导，则 y = f { φ [ ψ ( x )]}也可导，且
或记为
【
例4
】 设
y
=
,求
y'
.
解
y
=
可看作由
y
=
,
u
=sin
x
复合而成,因此
【
例5
】 设
y
=
,求
y'
.
解
y
=
可看作由
y
=
,
u
=
-5
x
+2复合而成,因此
对复合函数的分解比较熟悉后，可不写出中间变量.
【
例6
】 设
y
=
,求
y'
.
【
例7
】
y
=ln(
x
+
),求
y'
.
【 例8 】 设 y =ln| x |,求 y' .
【 例9 】 设 y =ln|sec x +tan x |,求 y' .
【 例10 】 如果圆的半径以2 cm/s的等速度增加,求圆半径 r =10 cm时,圆面积增加的速度.
解
圆面积
S
=
,其中
r
是时间
t
的函数,则
已知
=2 cm/s,于是当
r
=10 cm时，圆面积增加的速度为
【
例11
】 设
y
=
(
μ
是实数),求
y'
.
解 当 x >0时,有
当
x
<0时
,y
=
,此时
因此
我们已经求出了所有基本初等函数的导数，建立了函数的和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则。这样，我们就解决了一切初等函数的求导问题。为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下:
1.常数和基本初等函数的导数公式
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设 u = u ( x )及 v = v ( x )可导，则
3.复合函数的求导法则
设 u = φ ( x )在 x 处可导, y = f ( u )在对应点 u 处可导，则复合函数 y = f [ φ ( x )]的导数为
或记为
1.偏导数的概念
先看一个实例.
【 例12 】 一定量的理想气体的压强 p 、体积 V 和绝对温度 T 之间的关系为
其中 R 为常数。当温度 T 和压强 p 两个因素同时变化时，考察体积 V 的变化率是比较复杂的。通常考虑下列两种特殊情况:
(1)等温过程.
若固定温度 T ,即 T =常数，则体积 V 关于压强 p 的变化率为
(2)等压过程.
若压强 p 固定，即 p =常数，则体积 V 关于温度 T 的变化率为
一般地，对于二元函数 z = f ( x , y ),我们通常固定其中一个自变量，比如 y 不变，这样函数 z = f ( x , y )实际上只是 x 的一元函数，因此可以求出当 y 固定时, z 对 x 的变化率，这就是二元函数的偏导数.
定义
设函数
z
=
f
(
x
,
y
)在点
的某一邻域内有定义,当
y
固定在
,而
x
在
处有改变量Δ
x
时,相应地函数
z
有关于
x
的增量(称为
偏增量
)
如果极限
存在，则称此极限为函数
z
=
f
(
x
,
y
)在点
处
对x的偏导数
,记为
类似地，函数
z
=
f
(
x
,
y
)在点
处
对y的偏导数
定义为
如果函数 z = f ( x , y )在区域 D 内的每一点( x , y )处对 x 的偏导数都存在，那么对于 D 内的每个点( x , y ),都对应着一个确定的 f ( x , y )对 x 的偏导数，这样就在 D 内定义了一个新的函数，称为 z = f ( x , y ) 对x的偏导函数 ,记为
即
类似地，函数 z = f ( x , y ) 对y的偏导函数 定义为
在不致发生混淆的情况下，偏导函数也简称为偏导数.
显然,
f
(
x
,
y
)在点
处对
x
的偏导数
就是偏导函数
在点
处的函数值，即
就是偏导函数
在点
处的函数值，即
偏导数的定义可以推广到二元以上的多元函数。例如，三元函数 W = f ( x , y , z )对 x 的偏导数定义为
由偏导数的定义知，求对某一自变量的偏导数时，只要把其余自变量看作常量而对该自变量求导数。因此，它实际上仍然是一元函数的微分法问题.
【
例13
】 求函数
f
(
x
,
y
)=
在点(2,1)处的偏导数.
解 把 y 看作常量,得
把 x 看作常量，得
将 x =2, y =1代入上面的结果，得
【
例14
】 已知
解
【
例15
】 设
z
= (
y
-1)
,求
z
x
(2,1).
解法1 对 x 求偏导数有
将 x =2, y =1代入上式，得
下面给出一种简便的解法。由于是求在点(2,1)处对 x 的偏导数，因此可先将 y =1代入原函数中，然后再求对 x 的偏导数.
解法2 将 y =1代入原函数,得
于是
【 例16 】 已知理想气体的状态方程 pV = RT ( R 为常数),求证:
上式表明，偏导数的记号是一个整体记号，其中的横线没有相除的意义.
值得注意的是，对一元函数来说，如果一个函数在某点具有导数，则它在该点必定连续。但对多元函数来说，即使各个偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续.
例如，二元函数
在第2.2节我们已讨论过极限
不存在，因此
f
(
x
,
y
)在(0,0)点不连续，而由偏导数的定义知
即 f ( x , y )在点(0,0)处两个偏导数都存在.
2.偏导数的几何意义
二元函数
z
=
f
(
x
,
y
)在点
处对
x
的偏导数
就是一元函数
z
=
在
处的导数
设
为曲面
z
=
f
(
x
,
y
)上的一点，过
作平面
y
=
,该平面在曲面上截得一曲线
由导数的几何意义可知
,即
,就是这条曲线在
处的切线
对
x
轴的斜率(图2-5).
图2-5
同理,
是曲面
z
=
f
(
x
,
y
)与平面
的交线在点
处的切线
对
y
轴的斜率.
设函数 z = f ( u , v ),而 u = φ ( x , y ), v = ψ ( x , y ),则 z = f [ φ ( x , y ), ψ ( x , y )]就是 x , y 的复合函数，变量之间的关系图示如下:
一元函数中有复合函数的求导法则，即若
y
=
f
(
u
),
u
=
φ
(
x
)都可导，则
y
=
f
[
φ
(
x
)]的导数
对多元函数也有类似的法则.
定理3 设函数 u = φ ( x , y ), v = φ ( x , y )在点( x , y )处有偏导数,而函数 z = f ( u , v )在对应点( u , v )处有连续偏导数,则复合函数 z = f [ φ ( x , y ), ψ ( x , y )]在点( x , y )处的偏导数存在,且
* 证 当自变量 x , y 有改变量Δ x ,Δ y 时, u , v 有相应的改变量(全增量)
Δ u = φ ( x +Δ x , y +Δ y )- φ ( x , y ),
Δ v = ψ ( x +Δ x , y +Δ y )- ψ ( x , y ).
因为 z = f ( u , v )在点( u , v )处有连续偏导数，所以 z = f ( u , v )在点( u , v )处可微。由微分的定义，有
其中
ρ
=
在(2)式中令Δ
y
=0,得
z
关于
x
的偏增量
其中
ρ
1
=
(3)式两端同除以Δ
x
,得
因为函数 u = φ ( x , y ), v = ψ ( x , y )在点( x , y )处的偏导数存在，由一元函数可导必连续的性质，有
因此，当Δ
x
→0时,
→0.于是
在(4)式两端取极限，令Δ x →0,得
同理可证
说明 (1)定理3可推广到含两个以上中间变量的情形.例如,函数 z = f ( u , v , w ), u = φ ( x , y ), v = ψ ( x , y ), w = ω ( x , y )满足定理的相应条件,则
(2)在定理3中,若 u = φ ( x ), v = ψ ( x ),则 z = f [ φ ( x ), ψ ( x )]是 x 的一元函数.变量之间的关系图示如下:
此时，函数 z 对 x 的导数称为全导数，且
(3)在定理3中,若 z = f ( u , x ), u = φ ( x , y ),则 z = f [ φ ( x , y ), x ]是 x , y 的函数,变量之间的关系图示如下:
此时，函数 z 的偏导数
这里
的含义不同,
是将复合函数
z
=
f
[
φ
(
x
,
y
),
x
]中的
y
看作常量而对
x
求偏导,
是将
f
(
u
,
x
)中的
u
看作常量而对
x
求偏导.
【
例17
】 设
z
=
,
u
=
xy
,
v
=
,求
解 变量之间的关系图示如下:
由公式(1),有
【
例18
】 设
z
=
,
u
=sin(
x
+
y
),
v
=ln
y
,求
解 变量之间的关系图示如下:
此时，函数 z 的偏导数
【
例19
】 设
z
=
可微,求
解
令
u
=
则
z
=
f
(
u
,
v
).
由公式(1),有
若用
(
i
=1,2)表示函数
z
对第
i
个中间变量的偏导数，则
1.求下列函数的导数:
2.设 f ( x )可导,求下列函数的导数:
3.当物体的温度高于周围介质的温度时,物体就会不断冷却,其温度 T 与时间 t 的函数关系为
其中
为物体在初始时刻的温度,
为介质的温度,
k
为大于零的常数，试求该物体的冷却速度.
4.设
f
(
x
,
y
)
=x +y
-
,求
5.设
f
(
x
,
y
)
=x +
(
y
-1)arcsin
,求
6.设
z =
,
u =
,
v =
,求
7.设
z =
,
u =x
cos
y
,
v =x
sin
y
,求
8.设
z =
,
u =
,
v =x
-
y
,求
9.设
z =
,
x =
sin
t
,
y =
,求
10.设
z =
,
u =x +
2
y
,
v =x +
2
y
,求
11.设
u =
可微,求
