2.2 一元函数和、差、积、商的求导法则

定理 设函数 u = u ( x )及 v = v ( x )在点 x 处可导,则

(1)函数 u ± v 在点 x 处可导,且

( u ± v )'= u' ± v' ;

(2)函数 uv 在点 x 处可导,且

( uv )'= u'v + uv' ;

(3)函数 ( v ≠0)在点 x 处可导,且

说明 (1)定理中的(1)、(2)可推广到任意有限项的情形.例如,

( u ± v ± w )'= u' ± v' ± w' ,

( uvw )'= u'vw + uv'w + uvw' .

(2)由定理中的(2)可以推出

( Cu )'= Cu' ( C 是常数).

下面我们证明定理中的(2),其余留给读者作为练习.

* 证 设 f ( x )= u ( x ) v ( x ),则由导数的定义有

其中 ( x +Δ x )= v ( x )是由于 v' ( x )存在，故 v ( x )在点 x 处连续.

【 例1 】 求 y = -sin x +ln5的导数.

解 y' = ( -sin x +ln5)'= -(sin x )'+ (ln5)'= -cos x .

注意 ln5是常数,所以(ln5)'=0.

【 例2 】 求 y = 的导数.

【 例3 】 求 y =tan x 的导数.

用类似的方法可求得

【 例4 】 求 y =sec x 的导数.

用类似的方法可求得

(csc x )'= -csc x cot x .

【 例5 】 一个正在成长的球形细胞,其体积与半径的关系是 ,求当半径为10μm 时,体积关于半径的增长率.

解 当半径为10μm时,体积关于半径的增长率为

同步训练2-2

1.求下列各函数的导数:

2.求下列函数在给定点处的导数:

3.以初速度 竖直上抛的物体,其上升速度与时间的关系是 ,求:

(1)该物体的速度 v ( t );

(2)该物体达到最高点的时刻. 0VpD5Y5DPFxzeJ9FY1rR8Yo/EElPXjOM/EJjxBZzW9c4C98tXTetID97rM+ttAcE