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1.变速直线运动的速度
一质点做变速直线运动，以数轴表示质点运动的直线。设在运动过程中，质点在数轴上的位置 s 与时间 t 的函数关系为 s = s ( t ),称为 位移函数 .
图2-1
在从时刻 t 0 到 t 0 +Δ t 这样一个时间间隔内，质点从位置 s ( t 0 )移动到 s ( t 0 +Δ t )(图2-1),于是在 t 0 到 t 0 +Δ t 这段时间内，质点走过的路程为
Δ s = s ( t 0 +Δ t )- s ( t 0 ).
从而质点运动的平均速度为
当|Δ
t
|充分小时，可以用平均速度
近似地表示质点在时刻
的(瞬时）速度，而且|Δ
t
|越小，它的近似程度也越好。令Δ
t
→0,取平均速度
的极限，如果这个极限存在，则称这个极限为质点在时刻
的(
瞬时)速度
,记为
或
,即
2.质量非均匀分布的细杆的线密度
将一根质量非均匀分布的细杆放在
x
轴上，它在[0,
x
]上的质量为
m
=
m
(
x
),求细杆上的
处的线密度
细杆在
上的质量为
,在
上的质量为
,于是在
这段区间内，细杆的平均线密度为
令Δ
x
→0,取
的极限，如果这个极限存在，则称这个极限为细杆在
处的
线密度
,记为
,即
3.切线问题
如图2-2所示，设有曲线
C
(函数
y
=
f
(
x
)的图形）及
C
上的一点
),在点
M
0
外另取
C
上一点
N
(
x
0
+Δ
x
,
f
(
x
0
+Δ
x
)),作
割线
M
0
N
,当点
N
沿曲线
C
趋向于点
M
0
时，如果割线
M
0
N
绕点
M
0
旋转而转向极限位置
M
0
T
,直线
M
0
T
就称为曲线
C
在点
M
0
处的
切线
.现在我们来求切线
M
0
T
的斜率.
图2-2
割线 M 0 N 的斜率为
其中 φ 为割线 M 0 N 的倾角。令Δ x →0,取上式的极限，如果这个极限存在，则称这个极限为曲线在点 M 0 处的切线的斜率，记为 k ,即
这里 k =tan α ,其中 α 是切线 M 0 T 的倾角.
上面三个例子，实际含义虽然不同，但从抽象的数量关系来看，其实质是一样的，都可归结为计算函数的增量与自变量的增量之比(平均变化率）当自变量的增量趋于0时的极限，这个极限(如果存在）就称为函数的导数.
定义 设函数 y = f ( x )在点 x 0 的某个邻域内有定义,当自变量 x 在 x 0 处取得增量Δ x (点 x 0 +Δ x 仍在该邻域内)时,相应地函数 y 取得增量Δ y = f ( x 0 +Δ x )- f ( x 0 ).如果极限
存在，则称
函数f(x)在点
处可导
,并且称这个极限为
函数
处的导数
,记为
,也可记为
,即
导数
也称为函数
y
=
f
(
x
)在点
处对自变量
x
的
变化率
,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.
如果极限
不存在，就称
函数
y
=
f
(
x
)
在点
处不可导
.
令
x
=
x
0
+Δ
x
,则当Δ
x
→0时，有
x
→
x
0
.因此
也可表示为
由导数的定义可知，上述三个引例中，(瞬时）速度
,线密度
=
,切线斜率
k
=
【
例1
】 设函数
y
=
x
3
,求
解 由(1)式,
也可以利用(2)式计算:
【
例2
】 如果
f
(
x
)在点
x
0
处可导,求
令-2 h = Δ x ,则当 h →0时，有Δ x →0.因此
如果函数 y = f ( x )在区间( a , b )内的每一点都可导，则称 y = f ( x )在 区间(a,b)内可导 .这时，对于任意 x ∈ ( a , b ),都对应着 f ( x )的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数 y = f ( x )的 导函数 ,记为 y' 或 f' ( x ).在不致发生混淆的情况下，导函数也简称为导数.
显然，函数
y
=
f
(
x
)在点
处的导数
,就是导函数
f'
(
x
)在点
x
=
x
0
处的函数值，即
例1中的函数
y
=
,其导函数
因此，由(3)式,
=3.
这里顺便指出:
若
=
存在，则称此极限为函数
f
(
x
)在点
处的
右导数
,记为
;
若
=
存在，则称此极限为函数
f
(
x
)在点
处的
左导数
,记为
右导数和左导数统称为
单侧导数
.显然，函数
f
(
x
)在点
处可导的充要条件是
f
(
x
)在点
处的左、右导数存在且相等.
下面根据导数定义求一些简单函数的导数.
【 例3 】 求函数 f ( x )= C ( C 是常数)的导数.
这就是说，常数的导数等于零.
【
例4
】 求函数
f
(
x
)=
(
n
为正整数)的导数.
解 由于
所以
一般地，对于幂函数
y
=
(
μ
是实数），有
这就是幂函数的导数公式。这个公式的证明将在以后给出.
例如，当
μ
=
时,
(
x
>0)的导数为
即
当
μ
=-1时,
(
x
≠0)的导数为
即
【 例5 】 求函数 f ( x )=sin x 的导数.
用类似的方法可求得
【
例6
】 求函数
f
(
x
)=
的导数(
a
>0,
a
≠1).
特别地，当 a =e时，有
由引例中切线问题的讨论以及导数的定义可知：函数
y
=
f
(
x
)在点
处的导数
在几何上表示曲线
y
=
f
(
x
)在点
处的切线的斜率，即
f'(x 0 )=tanα,
其中 α 是切线的倾角.
如果
= ∞ (此时
f
(
x
)在点
处不可导，但为了方便起见，通常也说函数
f
(
x
)在点
处的导数为无穷大），这时曲线
y
=
f
(
x
)在点
处具有垂直于
x
轴的切线
如果函数
y
=
f
(
x
)在点
处可导，则曲线在点
处的切线方程与法线方程分别为
当
=0时，切线方程和法线方程分别为
【
例7
】 求曲线
在点
处的切线方程和法线方程.
解 根据导数的几何意义,所求切线的斜率为
从而所求切线方程为
定理
如果函数
y
=
f
(
x
)在点
处可导,则
f
(
x
)在
处连续.
证
已知
y
=
f
(
x
)在
处可导,即
存在,于是
+
α
(其中
α
是当Δ
x
→0时的无穷小),
从而
由此得
即函数 y = f ( x )在 x 0 处连续.
上述定理的逆命题不成立，即在某点连续的函数，在该点处不一定可导.
【
例8
】 函数
y
=|
x
|在
x
=0处是连续的,但在
x
=0处,
=
=
=1,
即
,因此函数
y
=|
x
|在
x
=0处不可导。曲线
y
=|
x
|在原点处没有切线(图2-3).
图2-3
【
例9
】 函数
y
=
f
(
x
)=
在
x
=0处连续,但在
x
=0处,
即导数为无穷大,因此函数
y
=
f
(
x
)=
在
x
=0处不可导,但曲线
y
=
在原点处具有垂直于
x
轴的切线
x
=0(图2-4).
图-4
1.用定义求
y =
在
x =
4处的导数值,并求在相应点处曲线的切线方程.
2.如果
f
(
x
)在点
处可导,求:
3.求下列函数的导数:
4.一物体做直线运动,其运动路程
s
(单位:m)与运动时间
t
(单位:s)满足关系式:
,求此物体在
t=
1 s时的速度.
5.设函数
在 x = 1处可导，求 a , b 的值.
6.设 f ( x )= ( x - a ) φ ( x ),其中 φ ( x )在 x =a 处连续,求 f' ( a ).