2.1 导数的概念

一、引例

1.变速直线运动的速度

一质点做变速直线运动，以数轴表示质点运动的直线。设在运动过程中，质点在数轴上的位置 s 与时间 t 的函数关系为 s = s ( t ),称为 位移函数 .

在从时刻 t ₀ 到 t ₀ +Δ t 这样一个时间间隔内，质点从位置 s ( t ₀ )移动到 s ( t ₀ +Δ t )(图2-1),于是在 t ₀ 到 t ₀ +Δ t 这段时间内，质点走过的路程为

Δ s = s ( t ₀ +Δ t )- s ( t ₀ ).

从而质点运动的平均速度为

当|Δ t |充分小时，可以用平均速度 近似地表示质点在时刻 的(瞬时）速度，而且|Δ t |越小，它的近似程度也越好。令Δ t →0,取平均速度 的极限，如果这个极限存在，则称这个极限为质点在时刻 的( 瞬时)速度 ,记为 或 ,即

2.质量非均匀分布的细杆的线密度

将一根质量非均匀分布的细杆放在 x 轴上，它在[0, x ]上的质量为 m = m ( x ),求细杆上的 处的线密度

细杆在 上的质量为 ,在 上的质量为 ,于是在 这段区间内，细杆的平均线密度为

令Δ x →0,取 的极限，如果这个极限存在，则称这个极限为细杆在 处的 线密度 ,记为 ,即

3.切线问题

如图2-2所示，设有曲线 C (函数 y = f ( x )的图形）及 C 上的一点 ),在点 M ₀ 外另取 C 上一点 N ( x ₀ +Δ x , f ( x ₀ +Δ x )),作 割线 M ₀ N ,当点 N 沿曲线 C 趋向于点 M ₀ 时，如果割线 M ₀ N 绕点 M ₀ 旋转而转向极限位置 M ₀ T ,直线 M ₀ T 就称为曲线 C 在点 M ₀ 处的 切线 .现在我们来求切线 M ₀ T 的斜率.

割线 M ₀ N 的斜率为

其中 φ 为割线 M ₀ N 的倾角。令Δ x →0,取上式的极限，如果这个极限存在，则称这个极限为曲线在点 M ₀ 处的切线的斜率，记为 k ,即

这里 k =tan α ,其中 α 是切线 M ₀ T 的倾角.

二、导数的定义

上面三个例子，实际含义虽然不同，但从抽象的数量关系来看，其实质是一样的，都可归结为计算函数的增量与自变量的增量之比(平均变化率）当自变量的增量趋于0时的极限，这个极限(如果存在）就称为函数的导数.

定义 设函数 y = f ( x )在点 x ₀ 的某个邻域内有定义,当自变量 x 在 x ₀ 处取得增量Δ x (点 x ₀ +Δ x 仍在该邻域内)时,相应地函数 y 取得增量Δ y = f ( x ₀ +Δ x )- f ( x ₀ ).如果极限

存在，则称 函数f(x)在点 处可导 ,并且称这个极限为 函数 处的导数 ,记为 ,也可记为 ,即

导数 也称为函数 y = f ( x )在点 处对自变量 x 的 变化率 ,它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.

如果极限 不存在，就称 函数 y = f ( x ) 在点 处不可导 .

令 x = x ₀ +Δ x ,则当Δ x →0时，有 x → x ₀ .因此 也可表示为

由导数的定义可知，上述三个引例中，(瞬时）速度 ,线密度 = ,切线斜率 k =

【 例1 】 设函数 y = x ³ ,求

解 由(1)式,

也可以利用(2)式计算:

【 例2 】 如果 f ( x )在点 x ₀ 处可导,求

令-2 h = Δ x ,则当 h →0时，有Δ x →0.因此

如果函数 y = f ( x )在区间( a , b )内的每一点都可导，则称 y = f ( x )在 区间(a,b)内可导 .这时，对于任意 x ∈ ( a , b ),都对应着 f ( x )的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数称为原来函数 y = f ( x )的 导函数 ,记为 y' 或 f' ( x ).在不致发生混淆的情况下，导函数也简称为导数.

显然，函数 y = f ( x )在点 处的导数 ,就是导函数 f' ( x )在点 x = x ₀ 处的函数值，即

例1中的函数 y = ,其导函数

因此，由(3)式, =3.

这里顺便指出:

若 = 存在，则称此极限为函数 f ( x )在点 处的 右导数 ,记为 ;

若 = 存在，则称此极限为函数 f ( x )在点 处的 左导数 ,记为

右导数和左导数统称为 单侧导数 .显然，函数 f ( x )在点 处可导的充要条件是 f ( x )在点 处的左、右导数存在且相等.

三、求导数举例

下面根据导数定义求一些简单函数的导数.

【 例3 】 求函数 f ( x )= C ( C 是常数)的导数.

这就是说，常数的导数等于零.

【 例4 】 求函数 f ( x )= ( n 为正整数)的导数.

解 由于

所以

一般地，对于幂函数 y = ( μ 是实数），有

这就是幂函数的导数公式。这个公式的证明将在以后给出.

例如，当 μ = 时, ( x >0)的导数为

即

当 μ =-1时, ( x ≠0)的导数为

即

【 例5 】 求函数 f ( x )=sin x 的导数.

用类似的方法可求得

【 例6 】 求函数 f ( x )= 的导数( a >0, a ≠1).

特别地，当 a =e时，有

四、导数的几何意义

由引例中切线问题的讨论以及导数的定义可知：函数 y = f ( x )在点 处的导数 在几何上表示曲线 y = f ( x )在点 处的切线的斜率，即

f'(x ₀ )=tanα,

其中 α 是切线的倾角.

如果 = ∞ (此时 f ( x )在点 处不可导，但为了方便起见，通常也说函数 f ( x )在点 处的导数为无穷大），这时曲线 y = f ( x )在点 处具有垂直于 x 轴的切线

如果函数 y = f ( x )在点 处可导，则曲线在点 处的切线方程与法线方程分别为

当 =0时，切线方程和法线方程分别为

【 例7 】 求曲线 在点 处的切线方程和法线方程.

解 根据导数的几何意义,所求切线的斜率为

从而所求切线方程为

五、函数的可导性与连续性的关系

定理 如果函数 y = f ( x )在点 处可导,则 f ( x )在 处连续.

证 已知 y = f ( x )在 处可导,即 存在,于是 + α (其中 α 是当Δ x →0时的无穷小),

从而

由此得

即函数 y = f ( x )在 x ₀ 处连续.

上述定理的逆命题不成立，即在某点连续的函数，在该点处不一定可导.

【 例8 】 函数 y =| x |在 x =0处是连续的,但在 x =0处, = = =1,

即 ,因此函数 y =| x |在 x =0处不可导。曲线 y =| x |在原点处没有切线(图2-3).

【 例9 】 函数 y = f ( x )= 在 x =0处连续,但在 x =0处,

即导数为无穷大,因此函数 y = f ( x )= 在 x =0处不可导,但曲线 y = 在原点处具有垂直于 x 轴的切线 x =0(图2-4).

同步训练2-1

1.用定义求 y = 在 x = 4处的导数值,并求在相应点处曲线的切线方程.

2.如果 f ( x )在点 处可导,求:

3.求下列函数的导数:

4.一物体做直线运动,其运动路程 s (单位:m)与运动时间 t (单位:s)满足关系式: ,求此物体在 t= 1 s时的速度.

5.设函数

在 x = 1处可导，求 a , b 的值.

6.设 f ( x )= ( x - a ) φ ( x ),其中 φ ( x )在 x =a 处连续,求 f' ( a ). v8XhMPV2Y5o5hCR8z8/QpfcZzlrkU5BEEJBdfSH58lfPZZA5t/PYqZueKXnvYYGU