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定理1 (连续函数的四则运算) 设 f ( x ), g ( x )在点 x 0 处连续,则
都在点 x 0 处连续.
由函数连续性的定义及函数极限的运算法则易证该定理.
在第1.6节中已经证明sin x ,cos x 在(-∞,+∞)内连续，从而由定理1,tan x ,cot x ,sec x ,csc x 在其定义域内连续.
定理2 设函数 u = φ ( x )当 x → x 0 时的极限存在且等于 a ,即
而函数 y = f ( u )在 u = a 处连续，则复合函数 y = f [ φ ( x )]当 x → x 0 时的极限也存在且等于 f ( a ),即
这表明，在定理2的条件下，求复合函数 f [ φ ( x )]的极限时，函数符号 f 与极限符号可以交换次序.
定理2中的 x → x 0 换成 x → ∞等其他情形，结论也成立.
【
例1
】 求
解
因为
,
y
=sin
u
在
u
=
处连续,由定理2得
【
例2
】 求
解
因为
,
y
=cos
u
在
u
=
处连续,由定理2得
定理3 (复合函数的连续性) 设函数 u = φ ( x )在 x 0 处连续,且 u 0 = φ ( x 0 ),而函数 y = f ( u )在 u 0 处连续,则复合函数 y = f [ φ ( x )]在 x 0 处连续.
例如，由于
u
=
在(-∞,0)∪ (0,+∞)内连续,
y
=sin
u
在(-∞,+∞)内连续，所以由定理3,
y
=sin
在(-∞,0)∪ (0,+ ∞)内连续.
不难看出，定理3是定理2的特例.
定理4 (反函数的连续性) 设函数 y = f ( x )在区间 I x 上单调增加(或单调减少)且连续,则它的反函数 x = φ ( y )在对应的区间 I y ={ y | y = f ( x ), x ∈ I x }上单调增加(或单调减少)且连续.
例如，由于
y
=sin
x
在
上单调增加且连续，根据定理4,
y
=arcsin
x
在[-1,1]上单调增加且连续.
类似地可知, y =arccos x 在[-1,1]上单调减少且连续; y =arctan x 在(-∞,+∞)内单调增加且连续; y =arccot x 在(-∞,+∞)内单调减少且连续.
前面证明了三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的。我们指出(不详细讨论）：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.
根据初等函数的定义，并由基本初等函数的连续性及本节定理1和定理3可得下面的重要结论:
定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
所谓 定义区间 ,是指包含在定义域内的区间。初等函数仅在其定义区间内连续，有时定义域中含有孤立点，在这些点处，函数不连续.
例如,
y
=
是初等函数，其定义域为
x
=0及
x
≥2,它在[2,+∞)上连续，而在
x
=0处不连续.
由定理5可知，如果
f
(
x
)是初等函数，且
x
0
是
f
(
x
)的定义区间内的点，则
例如,
=1.
【 例3 】 求下列函数的极限:
解
(1)由于
x
=
是初等函数ln sin
x
定义区间内的点,所以
(2)因为
=1,
y
=ln
u
在
u
=1处连续,所以由定理2得
(3)令
-1,则
x
=
(1+
t
),且当
x
→0时,
t
→0.由定理2得
特别地，当
a
=e时,
=1,
=1,因此当
x
→0时,e
x
-1~
x
,ln(1+
x
)~
x
.
【 例4 】 设函数
当 a 为何值时，函数 f ( x )在(-∞,+∞)内连续?
解 由于初等函数在其定义区间内连续,所以在(-∞,0)内 f ( x )=e x 连续,在(0,+∞)内 f ( x )= a + x 连续.
在 x =0处,
又
f
(0)= (
a
+
x
)|
x=0
=
a
,所以当
a
=1时,
=1=
f
(0),函数
f
(
x
)在
x
=0处连续，从而在(-∞,+∞)内连续.
下面介绍闭区间上连续函数的一些重要性质，我们只从几何上说明其意义，而不作严格的证明.
定理6 (最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.
定理6就是说，如果 f ( x )在闭区间[ a , b ]上连续，那么至少存在一点 ξ 1 ∈ [ a , b ],使得 f ( ξ 1 )是 f ( x )在[ a , b ]上的最大值；又至少存在一点 ξ 2 ∈ [ a , b ],使得 f ( ξ 2 )是 f ( x )在[ a , b ]上的最小值。这里的 ξ 1 , ξ 2 可能是区间的端点(图1-15).
推论 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.
图1-15
定理7 (介值定理) 设函数 f ( x )在闭区间[ a , b ]上连续,且 f ( a )≠ f ( b ),则对于 f ( a )与 f ( b )之间的任意一个数 c ( f ( a )< c < f ( b )或 f ( b )< c < f ( a )),至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ),使得 f ( ξ )= c .
这个定理的几何意义是：连续曲线弧 y = f ( x )与直线 y = c 至少有一个交点(图1-16).
推论1 在闭区间上连续的函数一定能取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值.
就是说，如果 f ( x )在闭区间[ a , b ]上连续，在[ a , b ]上的最大值为 M ,最小值为 m ,且 m ≠ M ,那么对于 m 与 M 之间的任意一个数 c ( m < c < M ),至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ),使得 f ( ξ )= c .
图1-16
由于函数的最大值和最小值可能在区间的端点处取得，因此有如下推论:
推论2 设函数 f ( x )在闭区间[ a , b ]上连续,其最大值为 M ,最小值为 m ,则对于任意一个数 c ( m ≤ c ≤ M ),至少存在一点 ξ ∈ [ a , b ],使得 f ( ξ )= c .
【
例5
】 若函数
f
(
x
)在[
a
,
b
]上连续,
a
<
x
1
<
x
2
< …<
x
n
<
b
,则在[
x
1
,
x
n
]上必有
ξ
,使得
f
(
ξ
)=
证 因为 f ( x )在[ a , b ]上连续,所以 f ( x )在[ x 1 , x n ]上连续,由定理6知, f ( x )在[ x 1 , x n ]上有最大值和最小值,设最大值为 M ,最小值为 m ,于是
由介值定理的推论知，至少存在一点 ξ ∈ [ x 1 , x n ],使得
定理8 (零点定理) 设函数 f ( x )在闭区间[ a , b ]上连续,且 f ( a ) f ( b )< 0,那么在开区间( a , b )内至少有函数 f ( x )的一个零点,即至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ),使得 f ( ξ )= 0.
该定理表示：如果连续曲线弧 y = f ( x )的两个端点( a , f ( a ))和( b , f ( b ))位于 x 轴的上下两侧，那么曲线弧 y = f ( x )与 x 轴至少有一个交点(图1-17).
图1-17
【 例6 】 证明方程 x 5 -3 x -1=0在区间(1,2)内至少有一个实根.
证
设
f
(
x
)=
x
5
-3
x
-1,
f
(
x
)在闭区间[1,2]上连续,且
f
(1)= -3<0,
f
(2)=25>0,由零点定理知,至少存在一点
ξ
∈ (1,2),使得
f
(
ξ
)=0,即
ξ
5
-3
ξ
-1=0.所以方程
1=0在(1,2)内至少有一个实根.
类似于一元连续函数，二元连续函数有如下性质:
定理9 二元连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为二元连续函数;二元连续函数的复合函数也为二元连续函数.
定理10 如果二元函数在有界闭区域 D 上连续,则该函数在 D 上一定能取到最大值和最小值.
定理11 在有界闭区域 D 上连续的二元函数必能取得介于它的两个不同函数值之间的任何值.
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合所构成并可用一个解析式表示的二元函数，称为 二元初等函数 .我们指出，一切二元初等函数在其定义区域内是连续的。所谓定义区域是指包含在定义域内的区域.
上述关于二元函数的极限与连续性的讨论可以类似推广到二元以上的多元函数.
1.求下列函数的连续区间,并求极限:
2.求下列极限:
3.设
当 k 为何值时，函数 f ( x )在(-∞,+∞)内连续?
4.举例说明:在开区间内连续的函数不一定有最大值和最小值.
5.证明方程 x 3 -4 x 2 +1=0在区间(0,1)内至少有一个实根.
6.证明:若函数 f ( x )在[ a , b ]上连续,且不存在任何 x ∈ [ a , b ],使得 f ( x )=0,则 f ( x )在[ a , b ]上恒为正或恒为负.