1.6 函数的连续性与间断点

在自然界中有许多现象，如气温的变化、动植物的生长等，其特点是当时间变化很微小时，这些量的变化也很微小；反映在函数上，就是当自变量变化很微小时，因变量的变化也很微小。这种性态就是函数的连续性.

一、一元函数的连续性

设函数 y = f ( x )在点 x ₀ 的某邻域 内有定义，当自变量由初值 x ₀ 变化到终值 x 时，终值与初值的差 x - x ₀ 称为自变量在 x ₀ 处的增量(可正可负），记为

Δ x = x - x ₀ .

对应的函数的终值与初值的差 f ( x )- f ( x ₀ )称为函数在 x ₀ 处相应于自变量增量Δ x 的增量(可正可负或为0),记为

Δ y = f ( x )- f ( x ₀ )= f ( x ₀ +Δ x )- f ( x ₀ ).

在几何上，函数的增量表示当自变量从 x ₀ 变到 x ₀ +Δ x 时，曲线上对应点的纵坐标的改变量，如图1-14所示.

定义1 设函数 y = f ( x )在 x ₀ 的某邻域 U ( x ₀ , δ )内有定义,如果在 x ₀ 处当自变量的增量Δ x 趋于零时,对应的函数的增量Δ y 也趋于零,即

则称 函数f(x)在点x ₀ 处连续 , x ₀ 称为函数 f ( x )的 连续点 .

由图1-14可见，函数 y = f ( x )在点 x ₀ 处连续，而函数 y = φ ( x )在点 x ₀ 处不连续.

在定义1中，由于Δ x = x - x ₀ ,即 x = x ₀ +Δ x ,Δ y = f ( x ₀ +Δ x )- f ( x ₀ )= f ( x )- f ( x ₀ ),且当Δ x →0时, x → x ₀ ,因此(1)式也可写成

即

从而我们有函数连续的另一定义:

定义2 设函数 y = f ( x )在 x ₀ 的某邻域 U ( x ₀ , δ )内有定义,如果

则称函数 f ( x )在点 x ₀ 处连续, x ₀ 称为函数 f ( x )的连续点.

【 例1 】 讨论函数

在 x =1处的连续性.

所以 f ( x )在 x =1处不连续.

【 例2 】 讨论函数

在 x =0处的连续性.

解 因为

所以 不存在，从而 f ( x )在 x =0处不连续.

设函数 y = f ( x )在 x ₀ 的右邻域 内有定义。如果 =0,即 ,则称函数 f ( x )在点 x ₀ 处 右连续 ;设函数 y = f ( x )在 x ₀ 的左邻域 内有定义，如果 =0,即 ,则称函数 f ( x )在点 x ₀ 处 左连续 .

显然，函数 f ( x )在点 x ₀ 处连续的充要条件是：函数 f ( x )在点 x ₀ 处既是右连续，又是左连续，即 =

例2中的函数在 x =0处右连续，但不左连续，从而它在 x =0处不连续.

定义3 如果函数 f ( x )在开区间( a , b )内的每一点都连续,则称函数 f ( x )在 开区间(a,b)内连续 .

如果函数 f ( x )在开区间( a , b )内连续，且在 a 点处右连续、在 b 点处左连续，则称函数 f ( x )在 闭区间[a,b]上连续 .

【 例3 】 证明函数 y =sin x 在定义域(-∞,+∞)内是连续的.

证 任取 x ₀ ∈ (-∞,+ ∞),当自变量在 x ₀ 处有增量Δ x 时,对应的函数的增量为

因为 ≤2,而当Δ x →0时, →0,由有界量与无穷小的乘积为无穷小，得

所以 y =sin x 在点 x ₀ 处连续，从而在定义域(-∞,+∞)内连续.

类似地可以证明，函数 y =cos x 在定义域(-∞,+∞)内连续.

二、一元函数的间断点

由定义2可知，函数 f ( x )在点 x ₀ 处连续必须同时满足以下三个条件:

(1) f ( x )在 x ₀ 的某邻域内有定义;

(2) 存在;

(3)

上述三个条件中只要有一个不满足, x ₀ 就是函数 f ( x )的 不连续点 ,或称为 间断点 .

间断点 x ₀ 按下述情形分类:

(1)若 及 存在且相等,即 存在,则称 x ₀ 为函数 f ( x )的 可去间断点 .

此时，或者 有定义但 (如例1中的函数, = 2,但 f (1)=0),或者 没有定义(如函数 , =2,但 f (1)没有定义).

之所以称 x ₀ 为 f ( x )的可去间断点，是因为只需改变或补充定义 ,就可使 f ( x )在点 x ₀ 处连续.

【 例4 】 补充定义 f (0),使 f ( x )= 在 x =0处连续.

解 函数 f ( x )在 x =0处没有定义.因为

所以 x =0是 f ( x )的可去间断点.

补充定义 f (0)= =1,则 f ( x )在 x =0处连续.

(2)若 及 存在但不相等,则称 为函数 f ( x )的 跳跃间断点 ,并称 为函数 f ( x )在 处的跃度.

例如, x =0是 f ( x )= 的跳跃间断点，因为 =1, =-1,所以跃度为2.又如, x =0是函数 f ( x )=arctan 的跳跃间断点，跃度为π,因为

可去间断点与跳跃间断点统称为 第一类间断点 .

(3)若 与 中至少有一个不存在,则称 x ₀ 为函数 f ( x )的 第二类间断点 .

【 例5 】求函数 的间断点,并说明其类型.

解 函数 在 x =0处没有定义.因为

所以 x =0是 的第二类间断点。通常称这种间断点为 无穷间断点 .

三、二元函数的连续性

与一元函数情形类似，利用函数的极限也可以说明二元函数在一点处连续的概念.

定义4 设函数 z = f ( x , y )在点 的某邻域内有定义.如果

则称 函数 z = f ( x , y ) 在点 处连续 .

如果二元函数 z = f ( x , y )在区域 D 上每一点处都连续，则称 f ( x , y )在 区域D上连续 .

如果函数 z = f ( x , y )在点 处不连续，则称点 为函数 f ( x , y )的 不连续点 或 间断点 .二元函数的间断点有时会构成一条曲线，称为间断线。例如, z = 就有两条间断线：平面 xOy 上的直线 y = x 和 y =- x .

同步训练1-6

1.求函数 y = 当 x = 3,Δ x = - 0.2时的增量.

2.下列函数在指出的点处间断,说明这些间断点的类型.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它在该点连续:

3.设

问:(1) a 为何值时，才能使 f ( x )在 x = 0处左连续?

(2) a , b 为何值时,才能使 f ( x )在 x = 0处连续? tLbB2nX1D+lLda2SeEjduSEVek3Cm2uXmRDbNj3Tk+xgF/M/TtMIGALyX3misJxm