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在交流微电网中，变流器的控制目标通常是交流电压电流。根据内模原理 [6] 可知，PI控制器是无法对交流信号进行无静差跟踪的。为了解决这个问题，本节将介绍两种广泛应用的坐标变换方法，从而将时变的三相交流量转变为时不变的直流量。
常见的正序三相电压表达式如下所示：
这组表达式描述了平面abc坐标系中的三相旋转电压矢量，如图2-31所示。
由于平面矢量可以通过二维坐标系进行描述，为了简化计算，可建立αβ平面静止坐标系，如图2-32所示。图中，αβ轴相互垂直，且α轴与a轴重合。αβ0坐标系中的 v αβ 与平面abc坐标系中的 v abc 重合。
图2-31 平面abc坐标系及旋转电压矢量 v abc
考虑到零序分量的存在，定义零轴垂直于αβ坐标平面，则可以建立三维的αβ0坐标系。相应地，也可以建立三维abc坐标系。图2-33画出了这两种坐标系以及空间电压矢量，图中abc空间坐标系的三轴相互垂直，其在αβ平面的投影与平面abc坐标系重合。
图2-32 平面αβ坐标系及旋转电压矢量 v αβ
图2-33 静止abc与αβ0空间坐标系
Clarke变换，就是将abc空间坐标系中的矢量坐标转换到αβ0坐标系中。Clarke变换可以采用幅值不变原则或功率不变原则。
若采用幅值不变原则，则a相电压幅值与α轴电压幅值相等，即 v a，amp = v α，amp 。此时，从abc坐标系到αβ0坐标系的变换矩阵为
若采用功率不变原则，则输入输出矢量的模值相同，即
此时，Clarke变换关系写为
由于本书通常选取输出电压、电流作为控制对象，因此多采用幅值不变原则的Clarke变换。后续内容如无特殊说明，均采用幅值不变原则的Clarke变换矩阵。
为了让PI控制器能够实现三相正弦量的无静差跟踪，需要让三相正弦量转变为时不变的直流量。为此，在αβ0静止坐标系的基础上，进一步建立dq0同步旋转坐标系。如图2-34所示，dq轴位于αβ平面，且与平面矢量 v αβ 同步旋转，旋转角速度为 ω ；d轴与α轴的夹角为 θ = ωt ，q轴超前d轴90°；αβ0静止坐标系与dq0旋转坐标系的0轴是重合的。由于dq轴与平面矢量 v αβ 同步旋转，故 v αβ 在dq轴上的投影始终为定值。因此在dq0坐标系下使用PI控制器，可以无静差跟踪平面矢量v αβ 。
图2-34 静止αβ0空间坐标系与同步旋转dq0坐标系
将αβ0静止坐标系中的矢量坐标转换到dq0旋转坐标系中，相应的变换矩阵 T αβ0/dq0 可以写为
Park变换，就是将abc静止空间坐标系下的电压矢量坐标变换到dq0同步旋转坐标系下。Park变换矩阵可以写为
相应的Park坐标变换矩阵为
该变换矩阵中含有时变量 θ ，一般需要人为给定或通过锁相环获取。以下将给出上述坐标变换矩阵的逆矩阵。
αβ0静止坐标系到abc空间坐标系的变换矩阵为
dq0同步旋转坐标系到αβ0静止坐标系的变换矩阵为
dq0同步旋转坐标系到abc空间坐标系的变换矩阵为
本节将基于计算和波形，对坐标变换进行更加直观的阐述。图2-35给出了220V/50Hz的典型三相交流电压波形，其数学表达式为
首先，利用矩阵 T abc/αβ0 对波形进行Clarke变换，如下所示：
图2-35 工频abc三相交流电压波形（ V RMS =220V）
可见，该矩阵将abc三相标量转换成了αβ0三相标量，且幅值不变。变换后的αβ电压见图2-36。
图2-36 工频αβ电压波形
在验证了Clarke变换之后，接下来利用矩阵 T abc/dq0 进行Park变换，计算如下：
在Park变换结果中，可以看到d轴分量恒定等于相电压的幅值，不随时间变化；而q轴和0轴分量均为0。图2-37给出了Park变换后的dq电压波形，与理论预期一致。
图2-37 dq电压波形
需要说明的是，Park变换需要输入三相旋转电压矢量的相位 θ 。对于并网变流器而言，这一般是通过锁相环从三相电压中提取的。